圆和圆的位置关系

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1、一. 内容：圆和圆的位置关系二. 教学目标：1. 使学生掌握圆与圆的五种位置关系的定义、性质及判定方法。2. 使学生掌握两圆连心线的性质。3. 通过演示两圆的位置关系，培养学生用运动变化的观点来分析和发现问题的能力；培养学生的辩证唯 物主义观点。三. 教学重点和难点：两圆的五种位置与两圆的半径、圆心距的数量之间的关系既是重点也是难点。四. 教学过程：（一）复习：直线和圆有几种位置关系？各是怎样定义的？ 直线和圆有三种位置关系，即直线和圆相离、相切、相交。各种位置关系是通过直线与圆的公共点的 个数来定义的。二）新课电脑演示，做两圆的相对运动。1、定义：（1）如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆

2、相离。外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离。（图（1）内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含（图（5）。两圆同心是两圆内含的一个特例。（图（6）（2）如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切 外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫 做这两个圆外切。这个唯一的公共点叫做切点。（图（2）内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切。这个唯一的公共点叫做切点。（图（4）（3）两个圆有两个公共点，此时叫做这两

3、个圆相交。（图（3）注意：（1）两圆外离与内含时，两圆都无公共点，但同时要考虑内部和外部的因素。两圆外切与内切也有 这样的比较。（2）两圆外切和内切统称两圆相切，即外切和内切的共性是公共点的个数唯一。（3）两圆位置关系的五种情况也可归纳为三类：相离（外离和内含）；相交；相切（外切和内切）。提问：从两圆的公共点的个数考虑，无公共点则相离；有一个公共点则相切；有两个公共点则相交。 除以上关系外，还有其它关系吗？可能不可能有三个公共点？答 “不在同一直线上的三个点确定一个圆”判断出这两个圆是同一个圆。即重合。结论：在同一平面内任意两圆只存在以上五种位置关系。2、两圆位置关系的数量特征010201设两

4、圆半径分别为R和r。圆心距为d,用电脑或投影再次出示两圆的五种位置关系，让学生观察R, r和d之间有何数量关系？01 RP202(1)两圆外切O d = R + r； 两圆内切 d = R - r(Rr)(4)(3)两圆外离0 dR + r；两圆內含O dr)o学生很可能只说出dR-r，则应向学生说明，这时两圆还可能外切或外离，如果只说出dVR+r，则 还可能内切或内含。结合上图会发现R, r和002构成 AO1O2的三边。所以只有R-rVdVR+r时。才能 判定两圆相交。反过来也成立，于是有：R+r外切为了方便记忆，将这五种数量关系用数轴表示为：内含 相交 外离R-r内切例：如图，00的半径

5、为5厘米，点P是0O外一点，OP=8厘米。求：（1）以P为圆心作0P与0O外切，小圆0P的半径是多少?（2）以P为圆心作0P与0O内切，大圆0P的半径是多少？解（1）设小圆op与。0外切于点a,贝yPA=OPOA=85=3cm所以OP1的半径是3cm(2) 设大圆0P与0O内切于点B,则PB=OP+OB=8+5=13cm所以OP2的半径是13cm3、相切两圆的性质。P 思考109观察发现：相切两圆也组成轴对称图形,通过两圆圆心的直线叫连心线,是它们的对称轴 相切两圆的连心线的性质：如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上。(轴对称来说明,证明可用反证法,不作要求)例：如图，已知，00和002外切

6、于P,并且00和OO1OO2分别内切于M、N,VOO和00相外切120 0 =r +r1 2 1 2 又00和00 、00 分别相内切12. 0 0=Rr ， 0 0=Rr 。1 1 2 20 0 0的周长为18cm即120 0 +0 0+0 0=( r +r ) +( Rr ) +( Rr ) =18。1 2 1 2 1 2 1 2 . R=9( cm)V0A= 0B.0在AB的垂直平分线上70 A=0B22.02在AB的垂直平分线上 直线0 02垂直平分AB总结：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。例：求ZO1AB的度数解：圆o1经过o2OO = O A = O A1 2 1 2AZO

7、AO =6012 O A=O B，O A=O B1 1 2 2O O 丄 AB OA = OB121AZO AB= 2 ZO AO =301 1 2 在解决有关相交两圆的问题时，常常添加以下几种辅助线：连心线、公共弦、连结交点与圆心。从而可以把两圆半径、公共弦长的一半、圆心距集中到同一个三角形中，利用三角形的有关知识加以解决。例：如图，已知O和OO相交于点A、B, O在OO上，AC是OO的直径，CB与0O相交于点D, 1 2 1 2 1 2连结 AD。(1) 求证：AD是OO的直径。2(2) 求证：DA=DC。证明 (1)连结 AB， AC是OO】的直径，AZ ABC=90，.ZABD=90,

8、 AD 是OO 的直径。2( 2)连结 O O ，12 AO =O C，AO =O D，1 1 2 2AO O CD，12AZ C=Z AO O 。12乂 / O A=O O，2 2 1AZO AO =ZAO O ，2 1 1 2AZ C=Z O AO ，12A DA=DC。1 1 2 2-O1O2为AB的垂直平分线A AB 丄 。？ , AC=CB例：已知：圆O1与圆O2是等圆，相交于A、B, 2在圆0上，AC是圆2的直径，直线CB交圆 0于D，E为AB延长线上一点。()证明： AD 是圆 0 的直径；AAB 丄 DC.ZABD=90AAD 为圆 0 的直径。(2)法一：TAD是圆0的直径

9、.点 0为 AD 中点，连 002点O2在圆O1上，圆O1与圆02的半径相等O O = AO = AO1 2 1 2.AAOiO2是等边三角形AZAO O =6012由中位线。卩？ DCAZ ADB=Z AO O =6012 AB 丄 DC,ZE=60AZBDE=30AZADE=ZADB+ZBDE=60 +30 =90 AD 直径ADE 是圆 O1 的切线法二：连002点02在圆01上，圆01与圆02的半径相等 点01在圆02上AO = AO = O O1 2 1 2Z O AO =6012 AB 公共弦 AB 丄 00。12ZO1AB=30 Z E=60 ZADE=180（ZE+ZO1AB）

10、=180（60 +30）=90 AD 是直径， DE 是切线例：已知，如图所示，圆01与圆02相交于A、B两点，圆心0在圆02上,过B点作两圆的割线CD, 射线 DO1 交 AC 于 E 点。求证：0E丄AC证：连结AB、作圆0的直径AC AC1 为直径ZBAC+ZACB=90Z C=Z CZCAB=ZDZ C+Z D=90 DE 丄 ACECD2C1 B例：已知，如图所示，圆0与圆02相交于A、B两点，过A点的弦分别交两圆于C、D，弦CE/DB, 连结EB,试判断EB与圆02的位置关系，并证明你的结论。证：连结BO2并延长交圆02于F,VBF为直径.Z1+Z2=9OJ EC/DB.ZE+ZE

11、BD=180AZE+ZEBO +Z3=1802JZ2=ZE，Z1=Z3.Z2+Z1+ZEBO =1802.Z EBO =90，2【模拟试题】(答题时间：25 分钟)1. 若两圆无公共点，则两圆的位置关系为。2. 若两圆有公共点，则两圆的位置关系为。3. 已知两圆半径为12.4cm和7.3cm，则两圆相切时，圆心距等于。4. 已知两圆的半径之比为3： 5,若两圆内切时圆心距等于6cm，则两圆的半径分别为；若两圆无公共点，则圆心距d的取值范围为。5. 若两圆半径为r和R,圆心距为d,且dvR+r，则两圆位置关系为。6. 若两圆的半径分别是2cm和4cm，圆心距是1cm，则两圆的位置关系是。7. 在

12、厶ABC中，ZC=90, AC=4cm,BC=3cm,圆A、圆B、圆C两两外切，则圆C的半径是。8. 若两圆直径分别是8+t和8t，圆心距为16,则两圆的位置关系为。9. 若两圆半径分别为R和r (Rr),其圆心距为d,且有R10. 若两圆半径分别为R和r,圆心距为d,且d R - r，则两圆位置关系为。11. 已知圆o1和圆O2相切，这个图形是对称图形，它的对称轴是，切点与对称轴的位置关系为。12. 两个半径相等的圆的位置关系有种。13. 已知两圆的半径R、r ( R r )是方程x2 - 3x +1 = 0的两根，两圆的圆心距为d。 若d=5，试判定两圆的位置关系； 若d=2，试判定两圆的

13、位置关系； 若两圆相交，试确定d的取值范围； 若两圆相切，求d的值。14. 已知，如图，施工工地的水平地面上，有三根外径都是 1m 的水泥管两两相切摞在一起，求其最高 点到地面的距离。 - r2 + d2 = 2Rd，则两圆的位置关系为。【试题答案】1. 外离或内含2. 外切或相交或内切3. 19.7cm 或 5.1cm4. 9cm 15cm d24cm 或 0Wdv6cm5. 内含或内切或相交6. 内含7. 1cm8. 外离9. 内切或外切10. 不内含11. 轴 两圆的连心线 切点在对称轴上12. (外离、外切、相交)三13. 由R、r是方程x2 - 3x + 1 = 0的两根可得R+r=3,Rr=1, R-r=IR-rl= (R + r)2 - 4Rr =、9 - 4(1) d=5R+r，所以两圆外离；(2) d=2R-r，所以两圆内含；(3) 因两圆相交，RrvdvR+r,5 d 3 ；(4) 两圆相切，d=R+r或d=Rr,所以d=3或占。m14. 其截面图中三个圆的圆心组成一个边长为1m的正三角形，其高为2，其最高点到地面和距离为(3 + 1)m2 。