小波变换的基本原理

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1、10.2 小波变换的基本原理地质雷达的电磁波信号和地震波信号都是非平稳随机时变信号，长期以来，因非平稳 信号处理的理论不健全，只好将其作为平稳信号来处理，其处理结果当然不满意。近年来， 随着科学技术的发展和进步，国内外学术界已将注意力转向非平稳随机信号分析与处理的研 究上，其中非平稳随机信号的时频表示法是研究热点之一。在这一研究中，戈勃展开、小波 变换、维格纳分布与广义双线性时频分布等理论发展起来，这些方法既可以处理平稳信号过 程，也可以处理非平稳随机时变信号。小波变换是上世纪80 年代中后期逐渐发展起来的一种数学分析方法。1984 年法国科学家 J.Molet在分析地震波的局部特性时首先使用

2、了小波这一术语，并用小波变换对地震信号进 行处理。小波术语的含义是指一组衰减震动的波形，其振幅正负相间变化，平均值为零，是 具有一定的带宽和中心频率波组。小波变换是用伸缩和平移小波形成的小波基来分解（变换） 或重构（反变换）时变信号的过程。不同的小波具有不同带宽和中心频率，同一小波集中的 带宽与中心频率的比是不变的，小波变换是一系列的带通滤波响应。它的数学过程与傅立叶 分析是相似的，只是在傅立叶分析中的基函数是单频的调和函数，而小波分析中的基函数是 小波，是一可变带宽内调和函数的组合。小波变换在时域和频域都具有很好的局部化性质，较好地解决了时域和频域分辨率的 矛盾，对于信号的低频成分采用宽时窗

3、，对高频成分采用窄时窗。因而，小波分析特别适合 处理非平稳时变信号，在语音分析和图象处理中有广泛的应用，在地震、雷达资料处理中将 有良好的应用前景。下边就小波分析的基本原理、主要作用及在雷达资料处理中的应用三方面作以介绍。10.2.1 小波分析的基本原理小波函数的数学表达5、定义设函数枫上)GU(R)中井且髓足*申吐=0&1)J B称料八为母小祓函数a对母小破汎D进行伸缩和平移变换若记 伸堀因孑为賦平移因子为占皿，底出且倬0则可稈下列函敷族氏詁(门三1I VS： Hibal (5-2)称也.4)为分折小谶。、函数/他EI?(R的连续小帔变换CWT)的定咒为(i)d;小波波形正弦调和波形Wave

4、lat (dblO)式中化O表示此山的共辄画数若讪小彼函数为实歯数 血:)h也t),则/的连集小滾变换为寸严曲川吩显叮伽(宁)由上述定义可,建集小诫变挽为d w； 啲晦射、它基齢 魏虫亂由恢岛鮒号畑？这馭对母曲附帥 F列對東杂件人一(5-5) X屮応)为时櫛服变换.成【心铢杵怖为容许簾件能足容 許条件的母小搜旳称为春许小淤在此情;；几由 出鮒号/(小有“皿；鲁叭如诚上式的证毗后面所述吋再生公丸式甲Wd.眄问恢塑C5-3)dolheus&(rf jurnc irfccmnlon.(50囁实上，如棗母小玻釈在无殍远赴满足一宦的產减条件.103|（计7|厂灯+*（沁成立，些充井尢与g0吋容洋条忡咤严

5、dav*等怜予 J3go,而= D成立，此时旳母孙波成为容许小滾隹 续小波燹換的逆变换弄隹二二堆相疫间为说明小波变换的时频特性需从相空同的中波窗函数的时 頻垮点人手+为此.先讨论二维堀空阖右二维相空阿绘一T聯时冋 为橫坐标蘋牢为飙塑掠的殴氏空间 相空旬申曲有限t垃拓出建 口，相空同旳柞用与一般坐帳平面不同它恭壘用来剖硕画孜关爭相对应.下面就来详细研究由母小波0）液生出的分析小波 此丄仃）所确定的双窗函数的时频特性一1为使问题分析简化起见，说母小彼函枣邨门是一个标廡的双 窗函锻，其派主岀的皿3为V上（0= a |T面來求U的时域中心r频域中心、时宽及频宽。B时域中心j十| 此) |Jd/= t

6、a令一时/0时訂a | 7=e 1，故 |C w J 12dm =J Ra j m |cd?n + 6|(ra) |zti/ri=i(ifI+&当=0时有G.t2.频域中亡弧Uj-fcU I ,*(W)I MM)eadm当 a0 时 J |_,=-a_t,故 rKrrf)C汶澤 OM-1|adaj一Qi-IW；, =-Cli | dL2 tfi (,4-JUf )-f i | 兔(3 爭tMcr= tc/ *d如=i吉昌s 代入上式得同理.可荷a-时宽4”牺克_-_qirz尸I必*3）I灯3仿肥上述他导万法*可得时世“一工”,4屮 1血丄3I Mr = flix* W卜.所许编租.4,3）在相

7、空间所确定的阴亍时憐悩门为3&d 一丄站匝+2血厂_6屈 4bl-j 凸9*号少卜.千论6&如何变化时頻诲口如下阿仆值不蚕:C 1】囲l I的1EF枳&企-寻2亠4亠2d）顧域中心七頻從的比（S1/iJdiJQ- / w /Ztt综上町W. 血打脚确定的时頗爾口的矩:贱的腰秋r甌仲够3子U的敢交血改变o当口值小时，为-皿寸宽準而牘宽丸的高赫窗：式中*心表耶pO）的共辄亟数若母小配函数为实函数, g 2必应打则/的连集力披变鏡为皿厂/&丛心山=|时冲（午）山僭4w鯛惟 useerr qutncy infcfrriarton.由上述定丈可知，连续小液变换为肃*的殳射，它是否存 血逆变换*由附“恢复

8、出用佶号八0?这需囲对母小洼何卄堆帅 下列约束乘件门2）巴-h *亦0（5而当尬值大时，为一时宽大而频宽窄的低频窗，如图5-1所示。由 于小波函数邛门狂一亍带通團数通过肪述分析，可以得知伸缩 因子。的改变、*）对应着一系列常宽和中吩频率各异的带通 系仏團5-1 分忻小诫 必黒门时歳側口的矩砸懸狀omialian匹连缤小液变换的物理意义违绫小渡噬奕是一种数学变换方法但它在信号分析与处理 中是有鲜明的和重聲的糊理盘义的。下面我们从皋统响应的甬度 理讨论小谨变换.连续小彼变换为若设输入悟号为 WX当系统前单位神簸响应为人（门=时，则乘统的输出为-fl =Ltfl对上或做变绘證换今二“办= |a|-1

9、，=| j =旧“门 曲=少23业）的连续小建变换就相当于信号7X门蚯过一单恆冲激晌 应为 D= l|-V 一十）或一传递函数均HA=a1- “切的垂统的输出*通过前述相空间取窗嘀数的时頻持性分析.是一个带通系统弩穴变化时冲*3对应崙嗦列带宽和中 心频率各异的带迺系统，故由武垢-用町议得岀下列分析结杲“）倩号八“的违续小波变换就是-系列带通滤波器对产“） 滤波陥的输田比川中的n反映了带通減跛罄的带宽和中心頫率. 矗则为滤肢后输山的时间参数（刀忡缩用子的变比形咸的一系列带逋滤波器都是恒Q瀝 谀器Q为滤诫器的品质因數它等于滤波需的中心騒率与带宽之 比*这可由相空间取宙画数的分折得知*因QJS.K中

10、畑峙 皿分别为母小股収的申心硕率和带宽”*3）忡縮因子a变化带通雷皮器的带宽和屮心颉率也变佗亠 小，中心頻卑大+帯宽也宽I九大,中心频率小带宽也窄 f （2通过 这樺的带迪滤波番澹波对分斷倍号JX2的后部特性恨有佛值“ 信号变化缓慢的地方.主鉴为低頻威分频率范圈也比较窄此时 小“换的带通滤渡器应相当于。尢的情况I反之T信号疑生突变 的地方*主要尼胚频成分，频率范围也比较宽小渡变换的带通滤 波器相嘴干区小的悄况因此.伸缩因子的硕城表达式论込、一去“-1笛耐瘵绽的传僵函戟为J .(3、,*3 | 1 l，t- (. flOj I!ylC a dEL由图5-E可见，H.畑为一槽通建破器可以隶山廉中心

11、频率 呗=d鹫g =c/4c为一常敕)品质固数心=出丿他=图5-2 3J腕勺卜草給小玻财打冲Cut) zt累城竹谨捅數/fH a 4)式中食禾g的芷鞄函散苦母小技国融为实踰数. 心3 =血-用打则川门的连绫出洪变换为心网 ih u=5 M l.uc-nEy ir心 martgri叫-1沁心心T/wJ/iW(宁)山g)由上述定史可知r连续小谁变换为1航“的映射*它呈否存 驚蹩豐L族題出附m这需要对删峨咖帥 卩列附束条件H中的1E査基*|攻呦化5)三、离迪小逾变換的构根据上迷框架理论当Wi.h”成为LZ(R)的悵架时可由离 故小独陵按4砂,恢崑岀原信目八打其重枸公式为八门=5J。財+”風“(。(5

12、-3SWF I V式中禺-、3 为 叽”心的对仙框架，而DlV,.=J/(*.B 依i?(m中的正交歯效乐分無称为正丸离散 小波变换，它是无冗余变换“S5-3二进小波变换在离散小波带换中作为一障方便的形式.是进行二进制离 散，其所得的小波和小渡变换称为二进小波和二谨小滅变就nman一，二进小液变换设(r)EL3i：R) +若存在常数片和 乩OVAEBCk.使得 人工I回山)|宝0(5-39)则称0(门是二进小波函数。式5-3阳条件称为稳定籌件若A = li, 则祢为最稳定条件*二进小破是容许小波歯数，其证明如F.当arE时时.武(5-39)两边同乘以1/兽井在区间X叮上 积分有在离散小渡蛮换中

13、，作为一忡方便的形式是进行二进制庸鼓，梵所得的小波和小波变换称为二进小谀和二进小波变硬3 显煞+上式讥血肃足式(5-4关系*在此情况T.对任意 me l?g,有乞yA0 =-k 吉j 即屮3) XVSuHtlgi5-403、；了 (tw)少 f FccO Jft 2*3亡 id a/(w)edoj=J将式垢-4 丁卜与式炸-4恥代入上式川# (胪IC7(5-5O(5-51上式农明.当兀满足式件跨.楠实可构成诵；构公式 C5 50),旖乂口)威为嵬构小锻JfU 也足-亠个二进小波！有 目应2*3 I咤舟二琏小波变换只对尺屋螯母y(r)也具有此种件喷例如*当/CO平移1时*即则a尹佥也平移C有=

14、尹匚/心门5-52)上丈表明丿心的平移的二逬小波茅于它的二ift小液变换的平移- 但应注怠.两挣职惮值可以不同二、二进 正衰小谊 变旗设0门W呼.)*且满足V? |-(2*) |1=1(5-耳2)JC a则以门成为二进正交小波*住这种怎件下所碍的小滅变採隊为二 进托空小放变换対二进小波变换与二进正交小渡变换在离散小波变换的墓础 上进行硏究”不仅噸理贱率T且更为清晰和方便，在离散小浪变换 中若对式5-2取販=乳有(/) = 2込 *f )CS-54)则它即为二进小波晡敞+其中不但打做了二进高锻化，参:&冷也做 了二进詞墩化对任意W，g wmWZJ幷不是正左的函 数系*貝有对闵=1的0E*且卩4,

15、3 7n)(5-55)它才胞观为正交的瞼数系*也就星二进正交小渡函数系上述的证 H月+ TE肓面的雾分鳞率分析瞬究中再来解决为了时此了轲清莲起 见*下面先举一例说明之。例3-土 设母小波国奴为(5-56)_ sinnJccMan/ _ siip aJnZicrret2-兀由 jV(5-57. (f ,x(i dr ,zzr/弍中,、sinOr关于公武(5-59)的证明可见文献19。(1)为血总时，可得、,1 血i2心(5-59)(5-60)adionAi A*饷2忒矿勺_2亦1 点 n2Fk(2Y-旷)22所以4几+哉血一只产a当帼0时点同理可得-0(3J当也三菇厲工【时、有.1 51114初

16、一町 冲占石1 sin2ir(/ r)施=內扎=亦讥_小伽_丄弓旳卯“一对一亦注住一刘)= 山=話irU-fl)1吕inir 用竺用訓一八丁 云賈Q间当 m=k、K flf 5 *A沖i+ Ai-AtAi .0所以综上分析.得A=这春明忖“人切工是二进正交函数系，要使它为桩唯二谨 疋交函数累很卩毘=1，母小滾萌数妙G)必须选蜂为I心)_-兰说缶*? _对J14哒 一Hin龙血云Trc 信号戸的二进正交小波空换的定义为del 亠肌仙*挖 =f f .BCJd/ =匸2_w，!二进正交小波翅变换为_csr孙/3= 22S 叭s加必.OW - IfeC H h CO = 1iJCZ +2rt)(5-

17、65)三、二进正交小渡圏数的生成原理从系统响应殆度来祈，二进正空小植函数42是带逋滤波 品其中心硕帝与口=旷底反比，当旳弋00时b.)的中心频率 榜趋于不，m其濒带阿低埶方向移助.園此旳取0到+8所得的 无限个带通谑漩器作用于信号的总效果，就大体上相当一个低诫 滤渡器在数学上，对这种结果可描迷沽F= 2 I 叭F5-66）-1式中与就加）相对应的是一个低ifiSI破器一对任鳶aHO*由上 式有，cI讽23】也冃壬皿2）F= S 哦2%叶 （5-硏）祸*1*1由二进疋交小皱函数定史却3CV 1（2） |E=1nrmoc?| 0（0）|e = lim |貿（2。）|= lim ,|（2-4t）|i

18、 15-6阳i -*一匕出而BU| 夙8丹=1血 |仇2S|*=lim ICr?r=O （5-69） ，由式（5-68）与式（5-69）结果，反映贰“确实具有低逋滤彼性，圉此，式CS-66）的数学描述式改立*此外，由武待-66与式（5-57）有冲（血卩一|护（甌）F = |単（沁）I（近亠？。）5-71)(5-72)由上武可见，若能设计朗肛F）*就茁按诙戎生成二进1空小波 曙数2*根据后面多分拂奉分析的曙究*就门为尺度函数*它应 満足如F収尺度方捉 对上式陶边取轉氏密换*碍护伽）=H 血/ 2冲3/2）其中1当 屮S满足一定条件时必定存在尺度函数亦人使得曲 eL2成立屆此住虑妁的任劳填际上归结为寻 求瞒足式允）的HM * |H）|S小于1点求妙（叭 这是因为