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1、数列求和1数列求和的常用方法（1）倒序相加法：类似于等差数列前n项和公式的推导方法；（ 2）分组求和法：适用于等差与等比数列相加减；（3）裂项相消法：适用于其中 a 是各项不为0的等差数列，c为常数；部分I a a Inn n+1 丿无理数列、含阶乘的数列等；（4）错位相减法：适用于佥b 其中a 是等差数列，缶是各项不为0的等比数列。n nnn2常用结论1)2)y 71 + 2 ,n(n +1)k 1 + 2 + n =2kiy (2k -1) 1 + 3 + 5 + (2n +1) n21 _ 1 _ 1n(n + 1)n n + 1i孑恳蒔肅各牛击就二1、倒序相加主要思想和等差数列求和一样
2、，首末配对！【例】已知f（%）_ 1 二 2,则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（2）+f（3）+f（4）=_【变式训练1】设fx）=42，则+/畔）的值为（）A5 B10 C15 D202、分组求和【例2】已知数列an是3+2 1,6+221,9+23 1,12+241,，写出数列的通项公 式并求其前n项和S .n11【变式训练2】求数列3+ 3，6+玉,1，3n+ 的各项的和.3n3. 裂项相消法如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有： 1 = 1 - n(n +1)n n +1 ； ncn1；!)=1(n- n+k
3、)；1= 1(1 -丄) n(n + 2)2 n n + 22n(2 n + 1)(2n+1 + 1)2n + 1 2n+1 + 1=丄 -n(n+1)(n+ 2)2 n(n +1) (n+1)(n+ 2)n 11(n + 1)!一 n! (n +1)!适当放缩：1 11 1 1 k+1 (k+1)kk2 (k-1)kk-12(*n +1 - Pn) =- -= 2(5-、；n -1)n + n +1xn n +n 1例 3】求和：(1) a =1 ，求a 的前n项和S ；n n 2 + nnn2) an1(2n 1)(2n +1)求a 的前n项和S ；nn3)an(3n 2) x (3n +
4、1)求a 的前n项和Snn4)an1n(n + 2)3求证：a 的前n项和S ；n n 45)an求a 的前120项和;n6)an2n(2 n 1)(2n+1 1)求a 的前n项和Snn7)Sn n11+ +2x 4 4x 61+2n(2n + 2)(8)求 1+1 1 1+ +1+2 1+2+3 1+2+3+411+2+3+ +n,(neN*)4. 错位相减法【例4】(1)已知数列a = n- 2n，求数列ia 的前n项和s。nnn求和s二2+4+8+n 2481、在数列a 中,n1n + n +12、设a 是公比为正数的等比数列，a =2, a =a +4.n132(1) 求a 的通项公式
5、；n(2) 设b 是首项为1,公差为2的等差数列，求数列a + b 的前n项和sn.nn n3设 a 是等差数列， b 是各项都为正数的等比数列，且 a1=b1=1，a3+b5=21，nn1135a +b =13.53(1)求a , b 的通项公式； nn(a )求数列盲的前n项和S .Ib丿nn4.等差数列a 的各项均为正数，a =3，前n项和为S .b 为等比数列，b =1，且n1n n1b S =64，b S =960.2 23 3求a与b ；nn111+ + + -sss12n5.已知数列a 的满足条件：a = t, a = 2a +1。n1n+1n(1)判断数列a +1是否为等比数列；n2n1naan n +1n12 nnanan+1 T 1)，1n +1n
数列求和与递推公式
