第八章定积分的概念及应用

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1、mathsoft第八章第八章 定积分的概念及应用定积分的概念及应用第一节第一节 定积分的元素法定积分的元素法第二节第二节 平面图形的面积平面图形的面积第三节第三节 体积体积高等数学电子教案 西电mathsoft第四节第四节 平面曲线弧长平面曲线弧长第五节第五节 功、水压力和引功、水压力和引力力第六节第六节 平均值平均值习题课习题课高等数学电子教案 西电教师：任春丽mathsoft 为了说明小元素法，我们先来回顾一下曲边梯形面积转化为定积分的计算过程。step1.分割：任意划分a,b为n个小区间 niiiiAAnixx11),1(,则step2.近似：,1iiixx )(iiixf 计算)1(n

2、i 第一节第一节 定积分的元素法定积分的元素法(或微元法或微元法)微元法mathsoftstep3.求和：niiixfA1)(step4.取极限：niiixfA10)(lim badxxfA)(即分析：分析：在上述问题注意到在上述问题注意到:所求量所求量(即面积即面积)A满足：满足：1。与区间与区间a,b及及a,b上连续函数上连续函数f(x)有关有关;2。对对a,b具有可加性，具有可加性，;1iniAA 即即3。)(,)(iiiixoAfA 且误差为且误差为局部量局部量 实际上，引出实际上，引出A的积分表达式的关键步骤是第的积分表达式的关键步骤是第二步，因此求解可简化如下：二步，因此求解可简化

3、如下：微元法mathsoftstep1:选取积分变量及积分区间 （如x属于a,b）step2:取微区间x,x+dx 求出 )()(局部量dxxfA 称为面积元素并记)(dxxfdA step3:badxxfA)(计算这种方法称为定积分的元素法元素法或微元法微元法。微元法mathsoft 一般的，如果某一实际问题中所求量Q符合条件:1。Q是与某一变量是与某一变量x的变化区间的变化区间a,b有关的量；有关的量；2。Q对于对于a,b区间具有可加性；区间具有可加性；3。局部量局部量.)(iiixfQ 那么，将Q用积分来表达的步骤如下:step1.选取积分变量及积分区间选取积分变量及积分区间 ,:bax

4、 如如step2.取微区间取微区间x,x+dx，求出，求出)(dxxfQ dxxfdQ)(并记并记step3.badxxfA)(计算计算微元法mathsoft例例1.写出长为l的非均匀细直棒质量的积分表达式任一点的线密度是长度的函数。解解:建立坐标如图,oxlx x+dx则任意一点的密度为)(x step1.,0 lx 变量step2.dxxdMdxxx)(,则取微区间step3.dxx)l 0(M 质量 下面用微元法讨论定积分在几何，物理中的一些应用。微元法mathsoft 定积分概念的出现和发展都是由实际问题引起和推动的。因此定积分的应用非常广泛。本章主要介绍几何上、物理上实际问题的应用，

5、例如：计算平面图形面积、曲线弧长、旋转体体积、引力、做功等。基本思想：基本思想：实际问题所求量实际问题所求量Q转化为求求Q=badxxf)(积分模型积分模型)转化方法：转化方法：元素法（或微元法），即从局部到整体元素法（或微元法），即从局部到整体微元法mathsoft一一.直角坐标系情况直角坐标系情况)()()(),(1221xfxfxfyxfy 求由曲线所围图形面积，如图:解解:1。画图，求出交点；2。选积分变量，;,bax 如如3。,dxxx 取微区间dxxfxfdA)()(12 4。babadxxfxf)()()(A12面积特别的特别的:dxxfAxfyba )(0)(21时时，曲边梯形

6、面积曲边梯形面积第二节第二节 平面图形的面积平面图形的面积第二节 平面图形的面积mathsoft例例1.所围成的面积。及计算由 32 2 xyxy解解:画图，求得交点(-1,1)及(3,9)312332)32(dxxxA由公式例例2.所围成的面积。及计算由 42 2 xyxy解解:画图，求得交点(2,-2)及(8,4)选为积分变量，则18)214(422 dyyyA问问:若选若选x为积分变量如何？为积分变量如何？第二节 平面图形的面积mathsoft二二.参数方程情况参数方程情况例例3.所围成的面积。求椭圆 sin,cos tbytax 解解:由对称性 aydxA04)cos(sin4 02t

7、adtb 换元 202sin4 abtdtab一般的，一般的，),0)()(baxxfxfy 若曲边梯形的曲边batytx )(,)()()(:给出，由参数方程 badtttdxxfA )()()(:则则第二节 平面图形的面积mathsoft例例4.轴所围成的图形面积的一拱与求摆线xayax )cos1()sin(解解:20：显然参数 aydxA 20面积daa)cos1()cos1(20 2022)cos1(dada 2022)coscos21(23 a 第二节 平面图形的面积mathsoft三三.极坐标情况极坐标情况.,)(所围图形的面积及射线求由曲线 r解解:1。;,选取变量2。;,d

8、取微区间3。212dA面积第二节 平面图形的面积mathsoft例例5.)0()cos1(所围图形面积）计算心形线（或心脏线 aar 解解:20202222023 42sin2sin2)coscos21(cos1212,0aadadaA 对称性另解另解:20242200422223cos8cos4)cos1(atdtadadaAt令第二节 平面图形的面积mathsoft一一.旋转体的体积旋转体的体积 定义定义:由一个平面图形绕平面内一条直线旋转一周由一个平面图形绕平面内一条直线旋转一周而成的立体，叫旋转体。而成的立体，叫旋转体。hrV2 圆柱hrRV2)(环形圆柱hrV231 圆锥)(.31

9、22rRrRhV 圆台第三节第三节 体积体积第三节 体积mathsoft 以上旋转体的体积在中学已经会计算，下面讨论一般的旋转体的体积。例例1.1,0)(体积轴旋转一周而成的立体）绕平面图形（图轴所围及直线求由连续曲线xxbxaxxfy 解解:1。,bax 选积分变量2。dxxfdVdxxx)(,2 则取微区间3。)(2 badxxfV 体积下面将结论推广下面将结论推广:第三节 体积mathsoft如图:badxxgxfV)()(22 类似的，类似的，若旋转体是曲边梯形绕y轴旋转而成的 dcdyy VdyydVdc :22则)(yx y=f(x)y=g(x)第三节 体积mathsoft例例2.

10、。轴旋转而成的立体体积轴，所围图形分别绕计算由椭圆yxbyax1 2222 解解:(1)绕x轴22222234)(,abdxxaabVaaxxaabyaax (2)绕y轴badyybbaVbbyybbaxbby22222234)(,第三节 体积mathsoft例例3.旋转成的立体体积。轴及轴，所围图形分别绕的第一拱与计算由摆线ayyxytayttax20)cos1(),sin(解解:(1)绕x轴旋转dttadttatadxyVax 20632022022sin8)cos1()cos1(换元330635224613516sin162aaduuatu 令第三节 体积mathsoft(2)绕y轴旋转

11、332030222202120226sin)sin(sin)sin(sin)sin(atdtttatdtattatdtattadyxdyxVaay 0)2(,2)(,0)0(:yayy注第三节 体积mathsoft(2)绕y=2a旋转 dxyaaaVaa22022222 所求体积即是中间喇叭状的体积 3232033332023202333202233322033320233322033744sin38sin4cossin8)cossin(sin8)cos1()cos1(8)cos1()cos1(8cos1cos28aataadttadtttaadttttaadtttaadtttaadttata

12、aaa 第三节 体积mathsoft二二.平行截面面积为已知的立体体积平行截面面积为已知的立体体积如图，求立体的体积。是已知的连续函数截面面积)(,xAbax 解解:1。,bax 选积分变量2。dxxAdVdxxx)(,则取微区间3。b)(a )(badxxAV体积第三节 体积mathsoft例例4.体的体积。求平面截圆柱体所得立交成并与底面的圆柱体的底面中心，一平面经过半径为),20(R解解:建立坐标如图，222 Ryx 则底面方程为截面面积则为积分变量，选取,RRxx tan)(21tan21)(22xRyyxA tan32tan)(21)(322RdxxRdxxAVRRRR 第三节 体积

13、mathsoft一、曲线弧长概念一、曲线弧长概念（1）分割）分割:ABn分为 个小弧段（2）近似）近似:i 1ii 1iMMMM（3）求和）求和:总弧长 ni 1ii 1SMM（4）取极限）取极限:若极限ni1i0i1limMM存在,ni1i0i1AB,SlimMM称极限值为的长 即AB这时称可求长yxo1iMiM1M2M1nMnBM0AMaxxxb图图1第四节第四节 平面曲线的弧长平面曲线的弧长第四节 弧长mathsoft二、直角坐标情况二、直角坐标情况C y f xa b设曲线:=()在,上有连续导数,求弧长解解:（图一）1xa,b。取积分变量 i-1i2222x xxSM Mxy1xyx

14、 。取微区间,+,则（）21dsy dx记弧长微元23 S=1aby dx。第四节 弧长mathsoft1.y sinx 2例 求曲线=在0,上对应弧长。解解:2cos 1cosyxdsxdx 2122220221cos1cos2tSxdxSxtdtt令21112222224241 22422tdtt dtdttt12 第四节 弧长mathsoft-22.cosxytdt例 求曲线的全长。解解：cos0t 2 2x 定义域，2cos11cosyxdsy dxxdx 又 1220220 1cos2cos2 2cos42Sxdxdxxdx故全长第四节 弧长mathsoft三、参数方程情况三、参数方

15、程情况2222()()()()dsdxdytt则 (t),x=(t)设曲线C:(t)(t)在上y=(t)有连续导数。22S=()()tt dt第四节 弧长mathsoft33cos tC:asin tx=a例3.计算星型线的全长。y=解解:14SS由对称性 3232(cos)(sin)dsatatdt3 sin cosattdt2200412sin cos Sdsattdt14SS第四节 弧长210112sin62aaaoxymathsoft四、极坐标情况四、极坐标情况cosy=sinx=r()设C:r=r(),()则 r()2222=()()=dsxydrr d22 S=rr d故第四节 弧

16、长mathsoft2 r=cos2例4、求双纽线的全长。解解:22dsrr d2sin 2cos2cos2cos2dd44200 44cos212sinddS由对称性212sint令120 4 24 2(12)1ndtSlt则第四节 弧长mathsoft一、变力沿直线所作的功一、变力沿直线所作的功=F(b-a)常力做功:oF(x)abxxx()dF x dx变力做功:功的微元()abF x dx例例1:q 把一个带电量的点电荷放在r轴上坐标原点o处，它产生一个电场。若有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点o为r的地方,求电场将其从a点沿r轴移动到b点所做的功。第五节第五节 功、水压力和引力功、

17、水压力和引力第五节 功 水压力和引力mathsoft解解:212 ,()qr rdrF rkr。取小区间而功的微元2 ()qdF r drkdrr则2113.(-)baqkdrkqrab。1.,ra b。取变量a处的电位（场强）2q kdrraqbka 若则称为电场在第五节 功 水压力和引力mathsoft例例2:33r,1t/m=9.8/m 半径为 的半球形水池中注满了水，要把池中水全部抽出 需做功多少？（比重 千牛）解解:建立坐标如图x yo222xyR则圆的方程为:1 0,xR。取积分变量2222 ,9.89.89.8()x xdxdFdVy dxRxdx。取微区间 则 动微元229.8

18、()ddF xx RxdxRRxx dx第五节 功 水压力和引力mathsoft2203 9.8()Rx Rxdx。注:若建立坐标如右图，则计算较烦第五节 功 水压力和引力224019.8 24RRxx249.87.693()4RRKJmathsoft二、水压力（液体的侧压力）二、水压力（液体的侧压力）:hp=h(:)已知水深 处的压强 比重，则水中平放的平板所收压力 P=p A面积 :P=?问 水中竖放的平板所受压力h解解:1 ,()xa bp xx。变量压强2,()()()()x dxdpp x dA xxdA xxf x dx。取微区间 则压力微元3 ()baPxf x dx。第五节 功

19、 水压力和引力mathsoft例例3:有一半径为R=3m的圆形溢水洞,求水位为3m时,作用在闸板上的侧压力。解解:建立坐标如图oxyx dxx222 39xy则圆方程1 0,3x。变量 22 ,2 29x dxdpxdAx ydxxx dx。取则1896.04()千牛33222003 2929(9)Pxx dxxx dx。第五节 功 水压力和引力mathsoft例例4:若在例3中水位为6m时，侧压力为多少？解解:建立坐标如图oxyx dxx(,)x y222 (-)x RyR则圆的方程0,2 xR222 2()dPxydxx RxRdx22202()Rpx RxRdx第五节 功 水压力和引力m

20、athsoft222022202()()2()RRxRRxRdxRx RxRdx2222230321()232RRxRRRR 26 3RR即 时，27()279.8()820.26Pt千牛（千牛）第五节 功 水压力和引力mathsoft三、三、引力引力or1m2m122mmF=kr引力 方向同r12:m,m 质点距离r例例5:lmma设有一均匀细棒,其长为,质量为,另有一质量为 的质点和棒在一条直线上,且到棒的近端距离为,求棒对质点的引力。第五节 功 水压力和引力mathsoft解解:建立坐标如图omxaa lxx dxM,xa alx xdx变量 取微区间 221mmdxkmMldFkdxx

21、lx则 2111()()a lakmMkmMFdxlxlaalkmMa al第五节 功 水压力和引力mathsoft一、函数的平均值一、函数的平均值ba f(x)1y=f(x)dx=f()b-a设在a,b上连续,则平均值例例:解解:2x2 y=e sinx+x+cosx-,计算在上平均值。221sincos)2xyexxx dx（2201(cos)3xx dx第六节第六节 平均值平均值第六节 平均值mathsoft二、均方根二、均方根定义:函数平方的平均值的开方成为均方根。如如:b2a1f(x)dx b-a为f(x)在a,b上的均方根例如例如:非恒定电流的电器上标明的电流值就是指电 流的均方根

22、。第六节 平均值mathsoft例例:m i(t)=I sint 0,求正弦电流在上的有效值。解解:2222220011()sin2mIIt dtItdt201cos22mtIdt022mmII第六节 平均值mathsoft小结小结:1、几何应用:面积 旋转体,已知平面截 面立体体积平面曲线弧长2、物理应用:做功侧压力引力3、平均值,均方根定积分习题课定积分习题课定积分习题课mathsoft例例1:2,2yxyxyx求由及所围图形面积。解解:画图，求出交点 12201(2-)(2-)Ax x dxx xdx761401 (-)(-)22yyAydyydy或76o12xy2yx2yxyx定积分习

23、题课mathsoft例例2:32 y=x-x-2x 求曲线与x轴所围图形的面积。解解:322(2)(1)yxxxx xx 0 -1,0,2yx令得(-1,0)(0,0)(2,0)x故曲线与 轴交点2321 2Axxx dx21(2)(1)x xxdx0210(2)(1)(2)(1)x xxdxx xxdx0232321037(2)(2)12xxx dxxxx dxoxy定积分习题课mathsoft例例3:2(0,0),0,1yaxbxcx设抛物线通过点且当2,0,ya b cyaxbxc时试确定的值，使抛物线41,0,9xyx与直线所围图形面积为且该图形绕 轴旋转而成的旋转体体积最小。解解:2

24、 yaxbxc过0点2 0 cyaxbx故1204()932abaxbx dx又43 32ab定积分习题课mathsoft1122200()()xV by dxaxbxdx124320(2)a xabxbxdx22()532abab221 4343()()5 3232 32bbbb422()()0531515bbV b又()015Vb又5,2,0,3abc 故时 体积最小定积分习题课mathsoft例例4:2,yx已知试在0,1内求一点x,使下图两阴0影的面积相等,并求两阴影绕x=x 旋转而成立体的体积。解解:001220(1)xxx dxxdx由02 3x 得方法一方法一:241294092

25、2()()33Vydyydy2102()318ydy定积分习题课mathsoft方法二方法二:022,33xxxyy 坐标平移至则22()3yx抛物线方程为2 (01)3xyy即2102 V()318ydy定积分习题课mathsoft例例5:2 cos xytdt求曲线的全长。解解:2 cos-,2 2xytdt 定义域为22222 1()1cosSy xdxxdx全长2220022cos2 2cos22xxdxdx14 2sin4 2422x定积分习题课mathsoft例例6:2 2 ypx计算抛物线从顶点到此曲线上一点(,)M x y 的弧长。oxy(,)x y解解:2 ,:2yyyx y

26、 c xp选 为积分变量222 11ydsx dydyp222200 yypySpu dup03301tansecyuuptptdtp令定积分习题课mathsoft例例7:,R有一半径为中心角为 的圆弧形细棒,其线密度m。求这细棒对圆心处质量为 的质点的引力。解解:建立坐标如图oxy,222 则 变量积分变量 ,d 取微区间22 mpdsGmpGmpdFGRddRRR则 0 xF 由对称性定积分习题课mathsoft sinsinyGmpdFdFdR 又222222 2sin cos yGmpGmpFdRR 22cos()sin222GmpGmpRR222:sin2xyGmpFFFR引力大小方

27、向:指向圆弧中点定积分习题课mathsoft例例8:洒水车上水箱是一横放的椭圆柱体（如图），当水箱装满水时，计算水箱的一个端面所受的 压力。解解:取截面,建立坐标如图2222 110.75xy则椭圆方程oxy0.750.75112m1.5m0.750.75(0.75)2dPyxdy222(0.75)10.75yydy定积分习题课mathsoft20.750.75 2(0.75)10.75yPydy220.7500.7540.750.75ydy0.7522040.75y dy20.754 9.8417.3()干牛定积分习题课mathsoft例例9:半径为r的球沉入水中,球的上部与水相切,球 的比

28、重与水相同。现将球从水中取出,需做功?解:建立坐标如图222:()yRxR圆方程(,)球比重水比重只有露 出水面时 上升部分做功,0,2 y ydyyR取微区间22 9.8(2)dWx dy yRyyydy则2234049.8(2)9.83RWRyy dyR定积分习题课mathsoft例例10:23221(1)33yxyx计算立方抛物线被抛物线 所截得的一段弧的长度。解解:oxy2(2,)32(2,)32322(1)3 13yxyx求交点22,3xy 31(1)2dSxdx定积分习题课mathsoft213 21(1)2Sx212312xdx232121 2(31)3 32x32 2(52 2)9385()1)92定积分习题课mathsoft例例11:22(2)+y1 yx 求圆盘绕 轴旋转而成的旋转体体积。解解:oxy221yy221xy221122(21)(21)yyVydy1218 1y dy120161y dy221644定积分习题课mathsoft教师：任春丽