Sec26经济函数导数应用

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1、常用经济函数常用经济函数需求函数需求函数)(PfQ 其中其中,Q表示需求量表示需求量,P表示表示价格价格.供给函数供给函数)(PfS 其中其中,S表示需求量表示需求量,P表示表示价格价格.成本函数成本函数)0)(xxCC其中其中,C表示以货币计值表示以货币计值的的(总总)成本成本,x表示产量表示产量;当产量当产量0 x时时,对应的成对应的成本函数值本函数值(0)C就是产品的固定成本值就是产品的固定成本值.单位成本函数单位成本函数或或平均成本函数平均成本函数常用经济函数常用经济函数需求函数需求函数供给函数供给函数成本函数成本函数单位成本函数单位成本函数或或平均成本函数平均成本函数)(PfQ )(

2、PfS )0)(xxCC常用经济函数常用经济函数需求函数需求函数供给函数供给函数成本函数成本函数单位成本函数单位成本函数或或平均成本函数平均成本函数)(PfQ )(PfS )0)(xxCC).0()()(xxxCxC收入函数收入函数,xPR 其中其中,R表示销售收入表示销售收入,P表示价格表示价格,x表示销售量表示销售量.利润函数利润函数,CRL 其中其中,L表示销售利润表示销售利润,R表表示销售收入示销售收入,C表示生产成本表示生产成本.边际函数边际函数在经济学中在经济学中,函数的导函数称为函数的导函数称为边际函数边际函数.设函数设函数)(xfy 可导可导,函数的增量与自变量增量的函数的增量

3、与自变量增量的比值比值xxfxxfxy )()(00 表示表示)(xf在在),(00 xxx 内的内的平均变化率平均变化率(速度速度).根据导数的定义根据导数的定义,导数导数)(0 xf 表示表示)(xf在点在点0 xx 处的处的变化率变化率,在经济学中在经济学中,称其为称其为)(xf在点在点0 xx 处的处的边际函数值边际函数值.当函数的自变量当函数的自变量x从从0 x改变一个单位改变一个单位(即即)1 x 时时,函数的增量为函数的增量为)()1(00 xfxf 边际函数边际函数当函数的自变量当函数的自变量x从从0 x改变一个单位改变一个单位(即即)1 x 时时,函数的增量为函数的增量为)(

4、)1(00 xfxf 边际函数边际函数当函数的自变量当函数的自变量x从从0 x改变一个单位改变一个单位(即即)1 x 时时,函数的增量为函数的增量为)()1(00 xfxf 但当但当x改变的单位很小时改变的单位很小时,或或x的一个单位与的一个单位与0 x值相对来比很小时值相对来比很小时,则有近似式则有近似式),()()1(000 xfxfxf 它表明它表明:当自变量在当自变量在0 x处产生一个单位的改变时处产生一个单位的改变时,函数函数)(xf的改变量可近似地用的改变量可近似地用)(0 xf 来表示来表示.经济学中经济学中,解释边际函数值的具体意义时解释边际函数值的具体意义时,去去“近似近似”

5、二字二字.在在通常略通常略边际函数边际函数),()()1(000 xfxfxf 它表明它表明:当自变量在当自变量在0 x处产生一个单位的改变时处产生一个单位的改变时,函数函数)(xf的改变量可近似地用的改变量可近似地用)(0 xf 来表示来表示.经济学中经济学中,解释边际函数值的具体意义时解释边际函数值的具体意义时,去去“近似近似”二字二字.在在通常略通常略边际函数边际函数),()()1(000 xfxfxf 它表明它表明:当自变量在当自变量在0 x处产生一个单位的改变时处产生一个单位的改变时,函数函数)(xf的改变量可近似地用的改变量可近似地用)(0 xf 来表示来表示.经济学中经济学中,解

6、释边际函数值的具体意义时解释边际函数值的具体意义时,去去“近似近似”二字二字.在在通常略通常略例如例如,设函数设函数,2xy 则则,2xy 边际函数值边际函数值,20)10(y它表示当它表示当10 x时时,变一个单位变一个单位,y(近似近似)改变改变20个单位个单位.在点在点10 x处的处的x改改边际收入与边际利润边际收入与边际利润在估计产品销售量在估计产品销售量x时时,给产品所定的价格给产品所定的价格)(xP称为称为价格函数价格函数,可以期望可以期望)(xP应是应是x的递减函数的递减函数.于是于是收入函数收入函数)()(xxPxR 利润函数利润函数)()()(xCxRxL )(xC是成本函数

7、是成本函数)收入函数的导数收入函数的导数)(xR 称为称为边际收入函数边际收入函数;利润函数的导数利润函数的导数)(xL 称为称为边际利润函数边际利润函数.例例 设某产品的需求函数为设某产品的需求函数为,1001000Px 求量求量300 x时的总收入时的总收入,平均收入和边际收入平均收入和边际收入.解解 销售销售x件价格为件价格为P的产品收入为的产品收入为,)(xPxR 由需求函数由需求函数Px1001000 xP01.010 代入得总收入函数代入得总收入函数.01.010)01.010()(2xxxxxR 平均收入函数为平均收入函数为.01.010)()(xxxRxR 边际收入函数为边际收

8、入函数为.02.010)01.010()(2xxxxR 求当需求当需当当300 x时的总收入为时的总收入为,210030001.030010)300(2 R例例 设某产品的需求函数为设某产品的需求函数为,1001000Px 求量求量300 x时的总收入时的总收入,平均收入和边际收入平均收入和边际收入.解解平均收入函数为平均收入函数为.01.010)()(xxxRxR 边际收入函数为边际收入函数为.02.010)01.010()(2xxxxR 求当需求当需当当300 x时的总收入为时的总收入为,210030001.030010)300(2 R例例 设某产品的需求函数为设某产品的需求函数为,100

9、1000Px 求量求量300 x时的总收入时的总收入,平均收入和边际收入平均收入和边际收入.解解平均收入函数为平均收入函数为.01.010)()(xxxRxR 边际收入函数为边际收入函数为.02.010)01.010()(2xxxxR 求当需求当需当当300 x时的总收入为时的总收入为,210030001.030010)300(2 R平均收入为平均收入为,730001.010)300(R边际收入为边际收入为.430002.010)300(R函数的弹性函数的弹性前面所引入的边际函数的概念前面所引入的边际函数的概念实际上是研究函数实际上是研究函数的绝对改变量与绝对变化率的绝对改变量与绝对变化率,经

10、济学中常需研究一经济学中常需研究一个变量对另一个变量的相对变化情况个变量对另一个变量的相对变化情况,为此引入下为此引入下面定义面定义.定义定义设函数设函数)(xfy 可导可导,函数的相对改变量函数的相对改变量)()()(xfxfxxfyy 与自变量的相对与自变量的相对改变量改变量,/xxyy xx 之比之比称为函数称为函数)(xf从从x到到xx 两点间的弹性两点间的弹性(或相对变化率或相对变化率).函数的弹性函数的弹性定义定义设函数设函数)(xfy 可导可导,函数的相对改变量函数的相对改变量)()()(xfxfxxfyy 与自变量的相对与自变量的相对改变量改变量,/xxyy xx 之比之比称为

11、函数称为函数)(xf从从x到到xx 两点间的弹性两点间的弹性(或相对变化率或相对变化率).函数的弹性函数的弹性定义定义设函数设函数)(xfy 可导可导,函数的相对改变量函数的相对改变量)()()(xfxfxxfyy 与自变量的相对与自变量的相对改变量改变量,/xxyy xx 之比之比称为函数称为函数)(xf从从x到到xx 两点间的弹性两点间的弹性(或相对变化率或相对变化率).而极限而极限xxyyx/lim0 称为函数称为函数)(xf在点在点x的的弹性弹性(或或相对变化率相对变化率),记为记为xxyyEExxy/lim0 yxxyx 0lim.yxy 注注:函数函数)(xf在点在点x的弹性的弹性

12、ExEy反映随反映随x的变化的变化)(xf变化幅度的大小变化幅度的大小,即即)(xf对对x变化反应的强烈程度变化反应的强烈程度函数的弹性函数的弹性注注:函数函数)(xf在点在点x的弹性的弹性ExEy反映随反映随x的变化的变化)(xf变化幅度的大小变化幅度的大小,即即)(xf对对x变化反应的强烈程度变化反应的强烈程度函数的弹性函数的弹性或或灵敏度灵敏度.数值上数值上,)(xfExE表示表示)(xf在点在点x处处,的改变时的改变时,函数函数)(xf近似地改变近似地改变)%,(xfExE当当x产生产生1%用问题中解释弹性的具体意义时用问题中解释弹性的具体意义时,通常略去通常略去“近似近似”二字二字.

13、在应在应例如例如,求函数求函数xy23 在在3 x处的弹性处的弹性.解解,2 y注注:函数函数)(xf在点在点x的弹性的弹性ExEy反映随反映随x的变化的变化)(xf变化幅度的大小变化幅度的大小,即即)(xf对对x变化反应的强烈程度变化反应的强烈程度函数的弹性函数的弹性数值上数值上,)(xfExE表示表示)(xf在点在点x处处,的改变时的改变时,函数函数)(xf近似地改变近似地改变)%,(xfExE当当x产生产生1%用问题中解释弹性的具体意义时用问题中解释弹性的具体意义时,通常略去通常略去“近似近似”二字二字.在应在应例如例如,求函数求函数xy23 在在3 x处的弹性处的弹性.解解,2 y函数

14、的弹性函数的弹性数值上数值上,)(xfExE表示表示)(xf在点在点x处处,的改变时的改变时,函数函数)(xf近似地改变近似地改变)%,(xfExE当当x产生产生1%用问题中解释弹性的具体意义时用问题中解释弹性的具体意义时,通常略去通常略去“近似近似”二字二字.在应在应例如例如,求函数求函数xy23 在在3 x处的弹性处的弹性.解解,2 yyxyExEy ,232xx 3 xExEy32332 .3296 需求弹性需求弹性设需求函数设需求函数),(PfQ 这里这里P表示产品的价格表示产品的价格.是是,可具体定义该产品在价格为可具体定义该产品在价格为P时的时的需求弹性需求弹性如如)(PPPQQP

15、/lim0 QPPQP 0lim)()(PfPfP 当当P 很小时很小时,)()(PfPfP,)(PQPfP 故需求弹性故需求弹性近似地表示在价格为近似地表示在价格为P时时,价格变动价格变动1%,需求量将变化需求量将变化%,通常也略去通常也略去“近似近似”二字二字.于于下下:注注:一般地一般地,需求函数是单调减少函数需求函数是单调减少函数,需求量随价需求量随价格的上涨而减少格的上涨而减少(当当),0 P 时时,0 Q 故需求弹性故需求弹性需求弹性需求弹性当当P 很小时很小时,)()(PfPfP,)(PQPfP 故需求弹性故需求弹性近似地表示在价格为近似地表示在价格为P时时,价格变动价格变动1%

16、,需求量将变化需求量将变化%,通常也略去通常也略去“近似近似”二字二字.注注:一般地一般地,需求函数是单调减少函数需求函数是单调减少函数,需求量随价需求量随价格的上涨而减少格的上涨而减少(当当),0 P 时时,0 Q 故需求弹性故需求弹性需求弹性需求弹性当当P 很小时很小时,)()(PfPfP,)(PQPfP 故需求弹性故需求弹性近似地表示在价格为近似地表示在价格为P时时,价格变动价格变动1%,需求量将变化需求量将变化%,通常也略去通常也略去“近似近似”二字二字.注注:一般地一般地,需求函数是单调减少函数需求函数是单调减少函数,需求量随价需求量随价格的上涨而减少格的上涨而减少(当当),0 P

17、时时,0 Q 故需求弹性故需求弹性一般是负值一般是负值,它反映产品需求量对价格变动反应的它反映产品需求量对价格变动反应的强烈程度强烈程度(灵敏度灵敏度).例例设某种商品的需求量设某种商品的需求量Q与价格与价格P的关系为的关系为.411600)(PPQ (1)求需求弹性求需求弹性);(P(2)当商品的价格当商品的价格10 P(元元)时时,再上涨再上涨1%,品需求量变化情况品需求量变化情况.解解(1)需求弹性为需求弹性为)()()(PQPQPPPPP 41160041ln411600PPP 41160041160041ln P求该商求该商P)2ln2(.39.1P 例例设某种商品的需求量设某种商品

18、的需求量Q与价格与价格P的关系为的关系为.411600)(PPQ (1)求需求弹性求需求弹性);(P(2)当商品的价格当商品的价格10 P(元元)时时,再上涨再上涨1%,品需求量变化情况品需求量变化情况.解解(1)需求弹性为需求弹性为)(P41ln P求该商求该商P)2ln2(.39.1P 例例设某种商品的需求量设某种商品的需求量Q与价格与价格P的关系为的关系为.411600)(PPQ (1)求需求弹性求需求弹性);(P(2)当商品的价格当商品的价格10 P(元元)时时,再上涨再上涨1%,品需求量变化情况品需求量变化情况.解解(1)需求弹性为需求弹性为)(P41ln P求该商求该商P)2ln2

19、(.39.1P 需求弹性为负需求弹性为负,说明商品价格说明商品价格P上涨上涨1%时时,商品需求商品需求Q将减少将减少1.39P%.量量例例设某种商品的需求量设某种商品的需求量Q与价格与价格P的关系为的关系为.411600)(PPQ (1)求需求弹性求需求弹性);(P(2)当商品的价格当商品的价格10 P(元元)时时,再上涨再上涨1%,品需求量变化情况品需求量变化情况.解解求该商求该商这表示价格这表示价格10 P(元元)时时,价格上涨价格上涨1%,商品的需求商品的需求若价格降低若价格降低1%,加加13.9%.(2)当商品价格当商品价格10 P(元元)时时,9.131039.1)10(13.9%.

20、量将减少量将减少商品的需求量将增商品的需求量将增内容小结内容小结1.边际函数边际函数 函数的变化率函数的变化率函数函数)(xfy 在在0 xx 处的处的边际函数值边际函数值为为.lim)(00 xyxfx 在经济分析中，在经济分析中，)(0 xf 常用来近似表达常用来近似表达当自变量在当自变量在0 x处产生一个单位的改变时，处产生一个单位的改变时，函数函数)(xf的改变量，的改变量，即即函数函数)(xfy 在在),(00 xxx 内的内的平均变化平均变化率率为为;xy ).()()1(000 xfxfxf 内容小结内容小结1.边际函数边际函数 函数的变化率函数的变化率2.函数的弹性函数的弹性 函数的相对变化率函数的相对变化率函数函数)(xfy 在点在点x的的弹性弹性.limlim00yxyyxxyxxyyExEyxx 它反映了它反映了)(xf对对x变化反应的强烈程度或变化反应的强烈程度或灵敏度灵敏度.数值上，数值上，它表示它表示)(xf在点在点x处，处，当当x产生产生1的改变时，的改变时，函数函数)(xf近似地改变近似地改变)%.(xfExE