多元函数的偏导数和全微分

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1、1一、一、偏导数的概念偏导数的概念二、连续与偏导数存在的关系二、连续与偏导数存在的关系三、高阶偏导数三、高阶偏导数四、可微与偏导数的关系四、可微与偏导数的关系第二节第二节 多元函数的偏导数和全微分多元函数的偏导数和全微分2在二元函数在二元函数 z=f(x,y)中中,有两个自变量有两个自变量 x,y,但但若固定其中一个自变量若固定其中一个自变量,比如比如,令令y=y0,而让而让 x 变化变化.则则 z 成为一元函数成为一元函数 z=f(x,y0),我们可用讨论一元我们可用讨论一元函数的方法来讨论它的导数函数的方法来讨论它的导数,称为称为偏导数偏导数.一、偏导数的定义一、偏导数的定义3设设 z=f

2、(X)=f(x,y)在在 X0=(x0,y0)的的某邻域某邻域 U(X0)内有定义内有定义.固定固定 y=y0,在在 x0 给给 x 以增量以增量 x.相应函数增量记作相应函数增量记作),(),(0000yxfyxxfzx称为称为 z 在点在点 X0 处关于处关于 x 的偏增量的偏增量.定定义义4.),(),(limlim000000存在如果极限xyxfyxxfxzxxx则称这个极限值为 z=f(x,y)在(x0,y0)处对 x 的偏导数.),(00yxfx记作即xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000此时也称 f(x,y)在(x0,y0)处对x 的偏导数存在.否则称f

3、(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数不存在.,00yyxxxzxyxfxfyyxx),(0000或5z=f(x,y)在在(x0,y0)处对处对 y 的偏导数的偏导数.yyxfyfyzyxfyyyxxyyxxy),(,),(00000000或记作yyxfyyxfyxfyy),(),(lim),(00000006z 对对 x 的偏导函数的偏导函数(简称简称偏导数偏导数).),(,),(xyxfxzxzyxfxx记作xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(071.由偏导数定义知由偏导数定义知,所谓所谓 f(x,y)对对x 的偏的偏导数导数,就是将就是将 y 看作常数看作常数,将将 f(

4、x,y)看看 作作 一一元函数来定义的元函数来定义的.因此因此,在实际计算时在实际计算时,注注求求 f x(x,y)时时,只须将只须将 y 看作常数看作常数,用一元用一元函数求导公式求即可函数求导公式求即可.求求 f y(x,y)时时,只须将只须将 x 看作常数看作常数,用一元用一元函数求导公式求即可函数求导公式求即可.82.计算计算三种方法：三种方法：(1)用定义计算用定义计算.(2)先计算先计算 再代值得再代值得(3)先计算先计算 再再计算计算 再再 计算计算 00,yxfx ,yxfx 00,yxfx ,0yxf 00,yxfx ,0yxfx 9例例1.)2 ,1(322处处的的偏偏导导

5、数数在在求求yxyxz 解解或或 f(x,2)=x2+6x+4,f x(x,2)=2x+6故故 f x(1,2)=2+6=8.yxxz32 86221 yxxzyxyz23 74321 yxyz10例例2.2sin2的的偏偏导导数数求求yxz 解解yxxz2sin2 22cos2 yxyzyx2cos22 例例3.),1,0(求求偏偏导导数数设设 xxxzy解解1 yyxxzxxyzyln 11偏导数的概念可推广到三元以上函数中去偏导数的概念可推广到三元以上函数中去.比如比如,设设 u=f(x,y,z).xzyxfzyxxfuxx ),(),(lim0 它的求法它的求法,就是将就是将 y,z

6、均看作常数来求即可均看作常数来求即可.12例例4.222的的偏偏导导数数求求zyxu 解解22222 zyxxux ux 22222 zyxyuy uy 22222 zyxzuz uz 13例例5 已知已知,)1(),(yxyyxf 求求)1,1(,)1,1(yxff解解yxyyyxfyx 1)1(),(12)1(yxyy1)1,1(xfyeyxfyxyy )1ln(),(yxy)1(xyxy1)1ln(xy 2ln21)1,1(yf14.的偏导数求zyxu xuyuzu1zyzxy1)(lnzyzyxxzyyxxzyzln)(ln15由一元函数的导数的几何意义由一元函数的导数的几何意义,可以

7、得到偏可以得到偏导数的几何意义导数的几何意义.设设 z=f(x,y)在点在点 X0=(x0,y0)处的偏导存在处的偏导存在,记记 z0=f(x0,y0).点点M0(x0,y0,z0)则则二、偏导数的几何意义二、偏导数的几何意义16f x(x0,y0)就是以平面就是以平面 y=y0与曲面与曲面z=f(x,y)相截相截,得到截线得到截线 1.1 上点上点 M0(x0,y0,z0)处处 切切 线线对对 x 轴的斜率轴的斜率.f y(x0,y0)就是以就是以就是以平面就是以平面 x=x0与曲面与曲面 z=f(x,y)相截相截,得到截线得到截线 2.2 上点上点 M0(x0,y0,z0)处切线处切线对对

8、 y 轴的斜率轴的斜率.17yxzoz=f(x,y)X0M0即 f x(x0,y0)表示 y=y0 与 z=f(x,y)的交线在 M0处的切线对 x 的斜率.T11:z=f(x,y0)1y0平面平面18yxzoz=f(x,y)M0X022:z=f(x0,y)x0T2即 f y(x0,y0)表示 x=x0 与 z=f(x,y)的交线在 M0处的切线对 y 的斜率.平面平面19例例6 求函数求函数224yxz在点在点(1,1)的偏导数，并说明其几何意义的偏导数，并说明其几何意义解解xzx211yxxz2yzy211yxyz211yxxz的几何意义是曲面的几何意义是曲面224yxz与平面与平面1y交

9、线交线:224yxz1y在点（在点（1,1)处切线的斜率处切线的斜率:tan 11yxxz2其中其中是切线关于是切线关于x轴的倾斜角轴的倾斜角,02011 yxyz的几何意义是曲线的几何意义是曲线224yxz1x在点（在点（1,1)处切线的斜率处切线的斜率:tan 11yxyz2其其中中是切线关于是切线关于y轴的倾斜角轴的倾斜角,021在一元函数中在一元函数中,可导必连续可导必连续,但对多元函数但对多元函数不适用不适用.即即,对多元函数对多元函数 f(X)而言而言,即使它在即使它在 X0 的对各个自变量的偏导数都存在的对各个自变量的偏导数都存在,也不能保证也不能保证 f(X)在在 X0 连续连

10、续.三、偏导与连续的关系三、偏导与连续的关系22例例7 设设 ),(yxfz,0 ,2222时时当当 yxyxxy,0 ,022时时当当 yx证明证明：z=f(x,y)在在(0,0)的两个偏导都存在的两个偏导都存在,但但 它在它在(0,0)不连续不连续.23xfxffxx )0,0()0,0(lim)0,0(0 xxxx 000lim220 =0yfyffyy )0,0()0,0(lim)0,0(0 yyyy 000lim220 =0故故 z=f(x,y)在在(0,0)的两个偏导都存在的两个偏导都存在 z=f(x,y)在在(0,0)的两个偏导都存在的两个偏导都存在.证证 24),(lim0yx

11、fkxyx 21kk 当当 k 不同时不同时,极限也不同极限也不同.f(x,y)在在(0,0)的极限不存在的极限不存在.)1(lim2220kxkxx z=f(x,y)在在(0,0)的极限不存在的极限不存在,因此它因此它在在(0,0)不连续不连续.25从几何上看从几何上看,f x(x0,y0)存在存在.只保证了一只保证了一元函数元函数 f(x,y0)在在 x0 连续连续.也即也即 y=y0 与与 z=f(x,y)的截线的截线 1 在在 M0=(x0,y0,z0)是连续的是连续的.同理同理,f y(x0,y0)存在存在.只保证了只保证了x=x0 与与 z=f(x,y)的截线的截线 2 在在 M0

12、连续连续.但都不能保证曲面但都不能保证曲面 z=f(x,y)在在 M0连续连续.26在二元函数中，连续不一定能保证偏导数存在，有时某些在二元函数中，连续不一定能保证偏导数存在，有时某些不连续的点，偏导数却存在不连续的点，偏导数却存在.例例:函数函数22yxz在点（在点（0,0)连续，但其偏导数不存在连续，但其偏导数不存在.00yxxzxfxfx)0,0()0,0(lim0 xxx00)0(lim220 xxx20limxxx0lim(不存在不存在)同理同理00yxyz(不存在不存在)27连连续续曲曲面面在在0M当当 X 从任何方向从任何方向,沿任何曲线趋于沿任何曲线趋于X0时时,f(X)的极限

13、都是的极限都是 f(X0).)()(lim00XfXfXX 连连续续曲曲面面在在0M偏偏导导数数存存在在不不连连续续曲曲面面在在0M也也可可能能偏偏导导数数存存在在,28).,(),(),(yxfyxfyxfzyx 的的偏偏导导数数为为设设由于它们还是由于它们还是 x,y 的函数的函数.因此因此,可继续讨论可继续讨论.),(),(的的偏偏导导数数yxfyxfyx 四、高阶偏导数四、高阶偏导数29 xfyyxfyxzxy),(2 xfxyxfxzxx),(22设设),(yxfz 在区域在区域D内可偏导内可偏导,若若),(yxfx),(yxfy 偏导偏导 yfyyxfyzyy),(22 yfxyx

14、fxyzyx),(230注：注：（1）二元函数的二阶导数一共有四个：）二元函数的二阶导数一共有四个：2 22 2x xz zyxz2xyz222yz二阶混合偏导数二阶混合偏导数31类似类似,可得三阶可得三阶,四阶四阶,n 阶偏导数阶偏导数.则记可偏导若如,:22xz,2233xzxxz.,2223等等xzyyxz32例例1.,3sin3322xzyxyxz求全部二阶偏导和设解解:122xyxzyyxyzcos222222yxzyxyzsin2222xyyxz42xyxyz42033xz33.,122xyzyxz有中在例若不是若不是,那么满足什么条件时那么满足什么条件时,二阶混合二阶混合偏导数才

15、相等呢偏导数才相等呢?问题问题:是否任何函数的二阶混合偏导数都相等是否任何函数的二阶混合偏导数都相等?34定理定理1若二阶混合偏导数连续，则它们与若二阶混合偏导数连续，则它们与yxz2xyz2即即:求导次序无关求导次序无关.35例例2 求)(sin2byaxz的二阶偏导数xz解解:)sin(2byax)cos(byaxa)(2sinbyaxayz)sin(2byax)cos(byaxb)(2sinbyaxb22xz)(2cosbyaxaa2)(2cos22byaxayxz2)(2cosbyaxab2)(2cos2byaxabxyz2)(2cosbyaxba2)(2cos2byaxab22yz)

16、(2cosbyaxbb2)(2cos22byaxb36五、全微分的概念五、全微分的概念复习一元函数的微分：复习一元函数的微分：)(xfy)()(00 xfxxfy )(xoxAy xAdy dyy xxfdy)(0 dxxfdy)(0 )(0 xfdxdy 可导可导微商微商可微可微37一般说来一般说来,算这算这个改变量较麻烦个改变量较麻烦,希望找计算它的近似公式希望找计算它的近似公式.该近似公式应满足该近似公式应满足(1)好算好算.(2)有起码的精度有起码的精度.在实际中在实际中,常需计算当两个自变量都改常需计算当两个自变量都改变时变时,二元函数二元函数 z=f(X)=f(x,y)的改变量的改

17、变量 f(x0+x,y0+y)f(x0,y0).38类似一元函数的微分概念类似一元函数的微分概念,引进记号和定义引进记号和定义.记记 z=f(x0+x,y0+y)f(x0,y0)=f(X+X)f(X0).其中其中 X0 =(x0,y0).X=(x,y)称为称为 z=f(X)=f(x,y)在点在点X0=(x0,y0)的的全增量全增量.39设设 z=f(X)=f(x,y)在在U(x0)内有定义内有定义.若若 z=f(x,y)在点在点(x0,y0)的全增量的全增量 z=f(x0+x,y0+y)f(x0,y0)z=A x+B y+o(|X|)(22yxoyBxA 其中其中A,B是只与是只与x0,y0有

18、关有关,而与而与 x,y无关的常无关的常数数.).0,0()(2222 yxyxyxo 的的高高阶阶无无穷穷小小表表示示定定义义40称称 A x+B y 为为 z=f(x,y)在点在点(x0,y0)处的处的全微分全微分.则称则称 z=f(x,y)在点在点(x0,y0)可微可微.yBxAzzXXXX 00d .d 即即记作记作)(22yxoyBxAz dzz 411.按定义按定义,z=f(x,y)在点在点(x0,y0)可微可微)(22yxoyBxAz 0)(lim 222200 yxyxoyx 其其中中注注422.若若 z 在点在点 X0=(x0,y0)可微可微.d 0zyBxAzXX 近近似似

19、代代替替则则以以 .|22的的高高阶阶无无穷穷小小所所产产生生的的误误差差是是yxX 即即 z(A x+B y)=o(|X|)(22yxo 433.若若 z=f(x,y)在区域在区域 D 内处处可微内处处可微,则则称称 z=f(x,y)在在 D 内可微内可微.z 在在(x,y)D 处的处的全微分记作全微分记作 dz.即即 dz=A(x,y)x+B(x,y)y它实际上是一个以它实际上是一个以 x,y,x,y为自变为自变量的四元函数量的四元函数.44一元函数一元函数z=f(x):若若 z=A x+o(x)(1)若若z=f(x,y)在点在点(x0,y0)可微可微,微分式微分式 dz=A x+B y中

20、系数中系数 A,B 如何求如何求,是否与是否与z的偏导有关的偏导有关?(2)在一元函数中在一元函数中,可微与可导是等价的可微与可导是等价的.在二在二元函数中元函数中,可微与存在两个偏导是否也等价可微与存在两个偏导是否也等价?(3)在一元函数中在一元函数中,可微可微连续连续,对二元函数对二元函数是否也对是否也对?dz=A x=f (x)x.45结论结论:对二元函数对二元函数 z=f(x,y),z 在在(x0,y0)可微可微(不是存在两个偏不是存在两个偏导导)z 在在(x0,y0)连续连续.46若若 z=f(x,y)在点在点 X=(x,y)处可微处可微,则则 z=f(x,y)在点在点(x,y)处两

21、个偏导处两个偏导,存存在在yzxz dyyzdxxzz d且且 z 在在(x,y)处的全微分为处的全微分为47偏导数存在偏导数存在 可微可微dyyzdxxzz d 且且可微可微 存在两个偏导存在两个偏导,偏导数存在且连续偏导数存在且连续 可微可微48例例1 000,),(222222yxyxyxxyyxfz设设证明证明 z 在在(0,0)处的两个偏导存在处的两个偏导存在,但但 z 在在(0,0)不可微不可微.证证 由偏导定义由偏导定义xfxffxx )0,0()0,0(lim)0,0(0 =0yfyffyy )0,0()0,0(lim)0,0(0 =049)0,0()0,0(yfxfzyx但而

22、z22yxyx2322002200)(limlim yxyxyxzyxyx0故 z 在(0,0)不可微.50连续、可导与可微的关系连续、可导与可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续偏导存在偏导存在 )0,0(),(,0)0,0(),(,1sin22yxyxyxxy 在在)0,0(.定理定理定理定理可微的可微的定义定义 例例1(0,0)22在在yxz (0,0)22在在yxz 51例例2 求 z=x2 cos xy 的全微分.解解 故 dz=(2xcosxy x2ysinxy)dx x3sinxydyxyxxzcos2yxyx)sin(2xxyxyz)sin(252例例3

23、 求求 z=exy 在点在点(2,1)处的全微分处的全微分.解解,yexzxy xeyzxy 故故 dz=yexydx+xexydyyexezyxd2dd2212 53例例4 求求 u=xyz 的全微分的全微分.解解,1 yzyzxxuxzxyuyzln 故故 du=yzxyz1 dx+zxyz lnxdy+yxyz lnxdzxyxzuyzln =xyz1(yzdx+xzlnxdy+xylnxdz)54111 zzyxyzyyxzxuzyxzzd,求求练习：练习：zyxyxyyxyxzxyxyzuzzzdlnddd121 1221 zzyxyxzyxyxzyuyxyxzuzln 55二、全微

24、分在近似计算中的应用二、全微分在近似计算中的应用都较小时，有近似等式都较小时，有近似等式连续，且连续，且个偏导数个偏导数的两的两在点在点当二元函数当二元函数yxyxfyxfyxPyxfzyx ,),(),(),(),(yyxfxyxfdzzyx ),(),(也可写成也可写成yyxfxyxfyxfyyxxfyx ),(),(),(),(求增量求增量改变后改变后的的 量量56解解.),(yxyxf 设函数设函数.02.0,04.0,2,1 yxyx取取,1)2,1(f,),(1 yxyxyxf,ln),(xxyxfyy,2)2,1(xf,0)2,1(yf由公式得由公式得02.0004.021)04.1(02.2 .08.1 57解解hRV2 例例6 设有一无盖圆柱形容器，容器的壁与底的设有一无盖圆柱形容器，容器的壁与底的厚度均为厚度均为0.1cm,内高为内高为20cm，内半径为，内半径为4cm，求容器外壳体积的近似值求容器外壳体积的近似值欲求欲求V dVV RRh 2hR 2 )2(hRRhR )1.041.0202(414.3 )(26.553cm 58多元函数全微分的概念；多元函数全微分的概念；多元函数全微分的求法；多元函数全微分的求法；多元函数连续、偏导、可微的关系多元函数连续、偏导、可微的关系（注意：与一元函数有很大区别）（注意：与一元函数有很大区别）三、小结三、小结