重积分的概念及其性质

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1、第十章一元函数积分学一元函数积分学多元函数积分学多元函数积分学重积分重积分曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分重重 积积 分分 三、二重积分的性质三、二重积分的性质 第一节一、引例一、引例 二、二重积分的定义与可积性二、二重积分的定义与可积性 四、曲顶柱体体积的计算四、曲顶柱体体积的计算 二重积分的概念与性质 第十章第十章 解法解法:类似定积分解决问题的思想类似定积分解决问题的思想:一、引例一、引例1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体给定曲顶柱体:0),(yxfz底：底：xoy 面上的闭区域面上的闭区域 D顶顶:连续曲面连续曲面侧面：侧面：以以 D 的边界为准线的边界为准线,母线平行于母

2、线平行于 z 轴的柱面轴的柱面求其体积求其体积.“大化小大化小,常代变常代变,近似和近似和,求求 极限极限”D),(yxfz D),(yxfz 1)“大化小大化小”用用任意任意曲线网分曲线网分D为为 n 个区域个区域n ,21以它们为底把曲顶柱体分为以它们为底把曲顶柱体分为 n 个个2)“常代变常代变”在每个在每个k ,),(kk 3)“3)“近似和近似和”nkkVV1 nkkkkf1),(),(kkf ),2,1(),(nkfVkkkk 则则中中任取任取一点一点小曲顶柱体小曲顶柱体k ),(kk 4)“4)“取极限取极限”的的直直径径为为定定义义k kk,PPPP 2121max)(令令 )

3、(max1knk nkkkkfV10),(lim D),(yxfz ),(kkf k ),(kk 2.平面薄片的质量平面薄片的质量 有一个平面薄片有一个平面薄片,在在 xoy 平面上占有区域平面上占有区域 D,计算该薄片的质量计算该薄片的质量 M.度为度为),(),(常数常数若若 yx设设D 的面积为的面积为 ,则则 M若若),(yx 非常数非常数,仍可用仍可用其面密其面密“大化小大化小,常代变常代变,近似和近似和,求求 极限极限”解决解决.1)“大化小大化小”用用任意任意曲线网分曲线网分D 为为 n 个小区域个小区域,21n 相应把薄片也分为小区域相应把薄片也分为小区域.Dyx,),(Cyx

4、 2)“常代变常代变”中中任取任取一点一点k 在每个在每个),(kk 3)“近似和近似和”nkkMM1 nkkkk1),(4)“取极限取极限”)(max1knk 令令 nkkkkM10),(lim k ),(kk ),2,1(),(nkMkkkk 则第则第 k 小块的质量小块的质量yx两个问题的两个问题的共性共性：(1)解决问题的步骤相同解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同所求量的结构式相同“大化小大化小,常代变常代变,近似和近似和,取极限取极限”nkkkkfV10),(lim nkkkkM10),(lim 曲顶柱体体积曲顶柱体体积:平面薄片的质量平面薄片的质量:二、二重积分的定义及可积

5、性二、二重积分的定义及可积性定义定义:),(yxf设设将区域将区域 D 任意任意分成分成 n 个小区域个小区域),2,1(nkk 任取任取一点一点,),(kkk 若存在一个常数若存在一个常数 I,使使 nkkkkfI10),(lim 可积可积,),(yxf则称则称 Dyxf d),(),(yxfI为为称称在在D上的上的二重积分二重积分.称称为为积积分分变变量量yx,积分和积分和(,)dDf x y 积分域积分域被积函数被积函数积分表达式积分表达式面积元素面积元素记作记作是定义在有界区域是定义在有界区域 D上的有界函数上的有界函数,DyxfV d),(引例引例1中曲顶柱体体积中曲顶柱体体积:Dy

6、xM d),(引例引例2中平面薄板的质量中平面薄板的质量:如果如果 在在D上可积上可积,),(yxf也常也常d 二重积分记作二重积分记作.dd),(Dyxyxf,kkkyx 分区域分区域D,因此面积元素因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划可用平行坐标轴的直线来划 记作记作 Dyxyxfdd),(Dyxyxdd),(,ddyx这时这时定理定理1.二重积分存在定理二重积分存在定理:若函数若函数),(yxf),(yxf定理定理2.),(yxf上可上可在在则则Dyxf),(证明略)在在D上可积上可积.限个点或有限条光滑曲线外都连续限个点或有限条光滑曲线外都连续,积积.在有界闭区域在有界闭区域 D上连续

7、上连续,则则若有界函数若有界函数在有界闭区域在有界闭区域 D 上除去有上除去有 例如例如,yxyxyxf 22),(在在D:10 x10 y上二重积分存在上二重积分存在;yxyxf 1),(但但在在D 上上 y1xo1D二重积分不存在二重积分不存在.三、二重积分的性质三、二重积分的性质 Dyxfk d),(.1(k 为常数为常数)Dyxgyxf d),(),(.2 21d),(d),(d),(.3DDDyxfyxfyxf ,1),(.4 yxfD上上若若在在 DD dd1 为为D 的面积的面积,则则),(2121无无公公共共内内点点DDDDD Dyxfk d),(DDyxgyxf d),(d)

8、,(特别特别,由于由于),(),(),(yxfyxfyxf Dyxf d),(则则 Dyxf d),(Dyx d),(5.若在若在D上上),(yxf,),(yx Dyxf d),(6.设设),(min),(maxyxfmyxfMDD D 的面积为的面积为 ,MyxfmD d),(则有则有7.(二重积分的中值定理二重积分的中值定理),(yxf设函数设函数,),(D ),(),(fdyxfD 证证:由性质由性质6 可知可知,MyxfmD d),(1由连续函数介值定理由连续函数介值定理,至少有一点至少有一点D),(Dyxff d),(1),(),(d),(fyxfD 在闭区域在闭区域D上上 为为D

9、的面积的面积,则至少存在一点则至少存在一点使使使使连续连续,因此因此xyoD8.设函数设函数),(yxfD 位于位于 x 轴上方的部分为轴上方的部分为D1,),(),()1(yxfyxf ),(),()2(yxfyxf d),(Dyxf0d),(Dyxf当区域关于当区域关于 y 轴对称轴对称,函数关于变量函数关于变量 x 有奇偶性时有奇偶性时,仍仍1D在在 D 上上 d),(21 Dyxf在闭区域上连续在闭区域上连续,域域D 关于关于x 轴对称轴对称,则则则则有类似结果有类似结果.在第一象限部分在第一象限部分,则有则有1:,221 yxDD 为为圆圆域域如如 Dyxyxdd)(22 Dyxyx

10、dd)(1dd)(422Dyxyx0 例例1.比较下列积分的大小比较下列积分的大小:d)(,d)(32 DDyxyx其中其中2)1()2(:22 yxD解解:积分域积分域 D 的边界为圆周的边界为圆周1 yx332)()(yxyx 2)1()2(22 yx它与它与 x 轴交于点轴交于点(1,0),.1相切相切与直线与直线 yx而域而域 D 位位,1 yx从而从而 d)(d)(32 DDyxyx于直线的上方于直线的上方,故在故在 D 上上 1y2xo1D例例2.判断积分判断积分yxyxyxdd1432222 的正负号的正负号.解解:分积分域为分积分域为,321DDD则则原式原式=yxyxDdd1

11、1322 yxyxDdd12322 yxyxDdd13223 1ddDyxyxDdd1333 )34(23 23D32D11Dyxo0)21(3 猜想结果为负猜想结果为负 但不好估计但不好估计.舍去此项舍去此项例例3.估计下列积分之值估计下列积分之值10:coscos100ddI22 yxDyxyxD解解:D 的面积为的面积为200)210(2 由于由于 yx22coscos1001积分性质积分性质5100200I102200 即即:1.96 I 210101010D10011021xyo例例 4 4 不不作作计计算算，估估计计 deIDyx )(22的的值值，其其中中D是是椭椭圆圆闭闭区区域

12、域：12222 byax )0(ab .在在D上上 2220ayx ,12220ayxeee 由由性性质质 6 知知,222)(aDyxede 解解 deDyx)(22 ab.2aeab 区域区域 D的面积的面积 ,ab例例 5 5 估估计计 DxyyxdI16222 的的值值，其其中中 D：20,10 yx.区域面积区域面积2 ,16)(1),(2 yxyxf在在D上上),(yxf的的最最大大值值)0(41时时 yxM),(yxf的最小值的最小值5143122 m)2,1(时时 yx 故故4252 I.5.04.0 I解解例例 6 6 判判断断 122)ln(yxrdxdyyx的的符符号号.

13、,1)(0222 yxyx由于由于故故 0)ln(22 yx;于于是是0)ln(122 yxrdxdyyx.解解例例 7 7 比较积分比较积分 Ddyx)ln(与与 Ddyx 2)ln(的大小的大小,其中其中 D 是三角形闭区域是三角形闭区域,三顶点各为三顶点各为(1,0),(1,1),(2,0).解解三三角角形形斜斜边边方方程程2 yx在在 D 内内有有 eyx 21,因因此此 Ddyx)ln(Ddyx 2)ln(.oxy121D1)ln(0 yx故故,)ln()ln(2yxyx 于于是是xbad 设曲顶柱的底为设曲顶柱的底为 bxaxyxyxD)()(),(21 任取任取,0bax 平面平

14、面0 xx 故曲顶柱体体积为故曲顶柱体体积为 DyxfV d),(yyxfxAxxd),()()()(000201 截面积为截面积为yyxfxxd),()()(21 baxxAd)(截柱体的截柱体的)(2xy )(1xy zxyoab0 xD四、曲顶柱体体积的计算四、曲顶柱体体积的计算ydcxo)(2yx )(1yx yydcd dycyxyyxD ),()(),(21 同样同样,曲顶柱的底为曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算则其体积可按如下两次积分计算 DyxfV d),(xyxfyyd),()()(21 xyxfyyd),()()(21 dcydxyzRRo解解:设两个直圆柱方程为设

15、两个直圆柱方程为,222Ryx 利用对称性利用对称性,考虑第一卦限部分考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为其曲顶柱体的顶为则所求体积为则所求体积为yxxRVDdd822 220dxRyxxRRd)(8022 3316R 222Rzx 22xRz 00:),(22RxxRyDyxxxRRd8022 222Ryx 222Rzx D例例1.求两个底圆半径为求两个底圆半径为R 的直交圆柱面所围的体积的直交圆柱面所围的体积.内容小结内容小结1.二重积分的定义二重积分的定义 Dyxf d),(iiinif ),(lim10 )dd(dyx 2.二重积分的性质二重积分的性质(与定积分性质相似与定积分性质相似)

16、3.曲顶柱体体积的计算曲顶柱体体积的计算二次积分法二次积分法被积函数被积函数相同相同,且且非负非负,思考与练习思考与练习yxyxIyxdd1122 yxyxIyxdd12 yxyxIdd11113 解解:321,III由它们的积分域范围可知由它们的积分域范围可知312III 11xyo1.比较下列积分值的大小关系比较下列积分值的大小关系:,d31 DxyI,d322 DxyI DxyI d3213的大小顺序为的大小顺序为().)(;)(;)(;)(213123312321IIIDIIICIIIBIIIA 提示提示:因因 0 y 1,故故;212yyy D故在故在D上有上有,03 x又因又因323321xyxyxy yox1D2.设设D 是第二象限的一个有界闭域，且是第二象限的一个有界闭域，且 0 y,；4 4、.三、三、1 1、DDdyxdyx 32)()(；2 2、dyxdyxD2)ln()ln(.四、四、100)94(3622dyx.练习题答案练习题答案