临清市高一数学 2.2.3向量数乘运算及其几何意义教案 新人教A版

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1、高一数学高一数学 2.2.3 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义教案向量数乘运算及其几何意义教案 新人教新人教 A A 版版一、教学内容分析一、教学内容分析实数与向量的积及它们的混合运算称为向量的线性运算，也叫向量的初等运算，是进一步学习向量知识和运用向量知识解决问题的基础。实数与向量的积的结果是向量，要按大小和方向这两个要素去理解。向量平行定理实际上是由实数与向量的积的定义得到的，定理为解决三点共线和两直线平行问题又提供了一种方法。特别：向量的平行要与平面中直线的平行区别开。二、教学目标设计二、教学目标设计1掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算

2、律进行有关的计算；2理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行；3通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想。三、教学重点与难点三、教学重点与难点重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件；难点：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件。四、教学用具准备四、教学用具准备多媒体、实物投影仪五、教学流程设计五、教学流程设计向量平行的充要条件情境设置数乘向量的运算律引入定义运用与深化(例题解析、巩固练习、课后习题)六、教学过程设计六、教学过程设计用心 爱心 专心11 1设置情境：设置情境：引入：位移、力、速度、加速

3、度等都是向量，而时间、质量等都是数量，这些向量与数量的关系常常在物理公式中体现。如力与加速度的关系Fm a，位移与速度的关系sv t。这些公式都是实数与向量间的关系。师：我们已经学习了向量的加法，请同学们作出aaa和(a)(a)(a)向量，并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？a生：a(a)a的长度是a的长度的 3 倍，其方向与a的方向相同，(a)(a)的长度是a长度的 3 倍，其方向与a的方向相反。师：很好！本节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题，（板书课题：实数与向量的乘积）2 2探索研究探索研究1 1）定义：）定义：请大家根据上述问题并作一下类比，看看怎

4、样定义实数与向量的积？（可结合教材思考）可根据小学算术中333333 5的解释，类比规定：实数与向量a的积就是a，它还是一个向量，但要对实数与向量a相乘的含义作一番解释才行。实数与向量a的积是一个向量，记作a.它的长度和方向规定如下：（1）|a|a|.（2）特别地，当0时，a的方向与a的方向相同；当0或a0时，a0.0时，a的方向与a的方向相反；2 2）运算律：）运算律：问：求作向量2(3a)和6a（a为非零向量）并进行比较，向量2(a相等吗？（引导学生从模的大小与方向两个方面进行比较）生：2(3a)b)与向量2a2b6a，2a2b2(ab).师：设a、b为任意向量，、为任意实数，则有：（1）

5、()aaa；（2）(a)用心 爱心 专心(a)；（3）(ab)ab.2通常将（2）称为结合律，（1）（3）称为分配律。小练习小练习 1 1：计算：（1）(3)4a；（2）3(a（3）(2ab)2(ab)a；3bc)(3a2bc).3 3）向量平行的充要条件：）向量平行的充要条件：请同学们观察a生：因为bmn，b2m2n，回答a、b有何关系？2a，所以a、b是平行向量.a？为什么？可得出ab吗？为什么？引导：若a、b是平行向量，能否得出b生：可以！因为a、b平行，它们的方向相同或相反.师：由此可得向量平行的充要条件：向量b与非零向量a平行的充要条件是有且仅有一个实数，使得ba.对此定理的证明，是

6、两层来说明的：其一，若存在实数，使b行，即b与a平行.其二，若b与a平行，且不妨令aa，则由实数与向量乘积定义中第(2)条可知b与a平0，设|b|a|接下来看a、b（这是实数概念）方向如何：a、b同向，则b实数（a，若a、b反向，则记ba，总而言之，存在或）使ba.3AB，DE3BC，试判断AC与AE是否平行3(ABBC)3AC小练习小练习 2 2：如图：已知AD解：AEADDE3AB3BCAE与AC平行.4 4）单位向量：）单位向量：单位向量：模为 1 的向量.向量a（a0）的单位向量：与a同方向的单位向量，记作a0.3用心 爱心 专心思考：a0如何用a来表示？（a3 3例题与练习：例题与练

7、习：|a|a0a01a）|a|A题题 1 1：如图，在ABC中，D是AB的中点，E是BC延长线上的点，且BE2BC，是根据下列要求表示向量BDDE：（1）用BA、BC表示；（2）用CA、CB表示.CE题1题题 2 2：如图，在ABC中，已知M、N分别是AB、AC的中点，用向量方法证明：1MN/BC2AC1NMCBB1CBO题 2A题 3A1题题 3 3：如图，已知OA练习：P145 1、2、3、44 4课堂小结：课堂小结：kOA1，OBkOB1，OC求证：ABCA1B1C1kOC1，（1）与a的积还是向量，a与a是共线的；（2）向量平行的充要条件的内容和证明思路，也是应用该结论解决问题的思路。

8、该结论主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题；（3）运算律暗示我们，化简向量代数式就像计算多项式一样去合并同类项。5 5作业布置：作业布置：练习部分 P88-89 习题 3 A 组 2、3、4、5.P89 习题 3 B 组 2、3.6 6拓展思考题：拓展思考题：设a、b是两个不共线向量，已知AB三点共线，求m的值。用心 爱心 专心42amb，CBa3b，若A、B、C七、教学建议与说明七、教学建议与说明1从实际问题出发引入新课，不但展示了教学的主要内容，而且还激发了学生学习兴趣。如可以通过物理中力与加速度的关系F引入实数与向量的积。2实数与向量的三个运算律，为了降低难度课本上没有证明，可以结合图形给学生直观解释，程度好的学生可以适当指导给出证明，证明的关键是向量的两要素：方向和大小。3由于学生已理解平行向量，因此可以让学生观察平行向量间的关系，可以提示从方向和大小两个方面来考虑。然后指出向量平行的充要条件实质上是由实数与向量的积得到的。给学生说明定理的作用，通常用来判断三点在同一条直线上或两直线平行，要指出与平面中直线间的平行的区别。m a，位移与速度的关系sv t等实际问题用心 爱心 专心5