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1、习题课习题课无穷级数的收敛、求和与展开无穷级数的收敛、求和与展开 第七章)(0 xunn 求和)(xS展开(在收敛域内进行)(0 xunn基本问题基本问题：判别敛散；求收敛域；求和函数；级数展开.时为数项级数;0 xx 当nnnxaxu)(当时为幂级数;一、数项级数的审敛法一、数项级数的审敛法1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.正项级数审敛法必要条件0limnnu不满足发 散满足比值审敛法 limn1nunu根值审敛法nnnulim1收 敛发 散1不定 比较审敛法用它法判别积分判别法部分和极限13.任意项级数审敛法为收敛级数1nnuLeibniz判别法判别法:若,01nnuu且,0li
2、mnnu则交错级数nnnu1)1(收敛,概念概念:且余项.1nnur1nnu若收敛,1nnu称绝对收敛1nnu若发散,1nnu称条件收敛例例1.若级数11nnnnba 与均收敛,且nnnbca,),2,1(n证明级数1nnc收敛.证证:nnnnabac0,),2,1(n则由题设)(1nnnab 收敛)(1nnnac 收敛1nnc)(1nnnnaac)(1nnnac 1nna收敛例2:判别下列级数的敛散性:;1)1(1nnnn;2)!()2(122nnn;2cos)3(132nnnn;ln1)4(210nn.)0,0()5(1sanansn提示提示:(1),1limnnn有时当,Nn 11nn)
3、1(11nnnn据比较判别法,原级数发散.因调和级数发散,0N利用比值判别法,可知原级数发散.用比值法,可判断级数12nnn因 n 充分大时,ln1110nn原级数发散.:2)!()2(122nnn:2cos)3(132nnnn:ln1)4(210nn:)0,0()5(1sanansn用比值判别法可知:时收敛;时,与 p 级数比较可知时收敛;1s时发散.再由比较法可知原级数收敛.1s1a时发散.1a1a21nn发散,收敛,例3.设正项级数1nnu和1nnv12)(nnnvu也收敛.提示提示:因,0limlimnnnnvu存在 N 0,nnnnvvuu22,又因)(222nnvu)()(2Nnv
4、unn利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确.都收敛,证明级数当n N 时2)(nnvu 例4.设级数1nnu收敛,且,1limnnnuv1nnv是否也收敛？说明理由.但对任意项级数却不一定收敛.,)1(nunn问级数提示提示:对正项级数,由比较判别法可知1nnv级数1nnu收敛,1nnvnnnuvlim收敛,级数发散.nnn)1(lim11例如,取nnvnn1)1(;1ln)1()3(1nnnn例5.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:;1)1()1(1npnn;sin)1()2(1111nnnn.!)1()1()4(11nnnnn提示提示:(1)P 1 时,绝对收敛;0 p 1 时,
5、条件收敛;p0 时,发散.(2)因各项取绝对值后所得强级数 原级数绝对收敛.故,111收敛nn11ln)1()3(nnnn)11(ln1lnnnnun因单调递减,且但nnn1ln1nknkk1ln)1ln(lim)1ln(limnn所以原级数仅条件收敛.kknk1ln1nlim由Leibniz判别法知级数收敛;0limnnu11!)1()1()4(nnnnn因nnuu12)2(!)2(nnn1)111(12nnnn1!)1(nnnn11e所以原级数绝对收敛.二、求幂级数收敛域的方法二、求幂级数收敛域的方法 标准形式幂级数:先求收敛半径 R,再讨论Rx 非标准形式幂级数通过换元转化为标准形式直接
6、用比值法或根值法处的敛散性.例6.求下列级数的敛散区间:;)11()1(12nnnxn.2)2(21nnnxn练习练习:1 解解:nnnnnna)11(limlim当ex1因此级数在端点发散,enn1)11(nneu nn)11(nn)11()(01ne.)1,1(eee时,12)11()1(nnnxn,1eR exe11即时原级数收敛.故收敛区间为nnnxn212)2()()(lim1xuxunnn解解:因)1(2121nnxn22xnnxn22,122x当时，即22x,2时当x故收敛区间为.)2,2(级数收敛;一般项nun不趋于0,nlim级数发散;求部分和式极限三、幂级数和函数的求法三、
7、幂级数和函数的求法 求和 映射变换法 逐项求导或求积分nnnxa0)(*xS对和式积分或求导)(xS难直接求和:直接变换,间接求和:转化成幂级数求和,再代值求部分和等 初等变换法:分解、套用公式（在收敛区间内）数项级数 求和nnnxa0例例7.求幂级数.!)12(1)1(120的和函数nnnxnn法法1 易求出级数的收敛域为),(022)(!)12(1)1(21nnnxn原式120!)12()1(21nnnxnx)sin(21xx,cos2sin21xxx),(x法法2 先求出收敛区间,)(xS则xnnnxxxnnxxS01200d!)12(1)1(d)(220!)12()1(nnnxn211
8、20!)12()1(2nnnxnxxxsin2,cos2sin21)(xxxxS,),(设和函数为),(x.)1()2(1nnnnx;212)1()1(21nnnxn解解:(1)(21121nnnx原式)120(2x12)2(1nnxx222211xxx22xx222)2(2xx显然 x=0 时上式也正确,.)2,2(x故和函数为而在2xx0,)2(2)(222xxxS例8.求下列幂级数的和函数：级数发散,(2)nnxnn1111原式xnntt011dxnnttx01d1ttxd110tttxxd1100 x)1ln(x)1(ln11xx)1(ln)11(1xx)10(xttnnxd110tt
9、xnnxd1101)1(nnnnx,)1(ln)11(1xx显然 x=0 时,和为 0;根据和函数的连续性,有)(xS110,)1(ln)11(1xxxx及0 0 x，1 1x，10 xx=1 时,级数也收敛.即得00!)12()1(!)2()1(21nnnnnn0!)12(1)1(nnnn解解:原式=0!)12()1(nnn1cos21的和.1)12(n211sin例9.求级数四、函数的幂级数展开法四、函数的幂级数展开法 直接展开法 间接展开法1.将函数2)2(1x展开成 x 的幂级数.利用已知展式的函数及幂级数性质 利用泰勒公式解解:xx21)2(1221121x0221nnnx,22111nnnxn)2,2(x1.函数的幂级数展开法
人力资源无穷级数复习
