小波分析课件5

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1、1小波分析课件小波分析课件52基于基于HaarHaar小波的信号分解算法小波的信号分解算法 设已知信号f(x)在采样点 的值，现在要根据这些采样信息分解出高频与低频成分（信号的分解）设信号在采样点之间取值为常数，则有 直接得到,21,0,21,nnx)2()(kxaxfnZkkn)2(nnkkfa 3基于Haar小波信号分解的步骤：将 中的信号 分解到空间 和 中去，然后对 做逐级分解。计算工具：nVnf1nV1nW1nV,2,1,2/)2()2()12(2/)2()2()2(1111lxxxxxxllllll4定理定理3.4 Haar3.4 Haar分解定理分解定理 假设则 可以分解为下列形

2、式其中满足 上述分解过程可以一直进行下去，直到得到下面的分解式llZklklVkxaxf)2()()(xfl)()()(11xfxwxflll11111111)2()()2()(llZklklllZklklVkxaxfWkxbxw2,212211221lklklklklklkaaaaabllnnnWwfwwwf,01215例例 3.13.1 利用Haar小波分解定义在时间区间0，1）上的信号(见图3.6)。设采样点为 ，88)2(kakf.12,2,1,08k 图3.6 原始信号6图3.7 中的分量 图3.8 中的分量7V6V7图3.9 中的分量 图3.10 中的分量5V4V8 图 3.11

3、中的分量7W9基于 Haar小波的信号重构的多分辨分析 基于小波的信号重构是指根据对分解后信号进行处理剩下的信息来恢复原始信息，例如，设处理后的信息为：其中 为分解后的llnnnWwfwwwf,0121lwlw经过处理后的结果。要求不同，得到的结果也不一样，例如，在信号压缩时，我们可以去掉 中系数绝对值很小的部分，而在信号去噪时则去掉某些频带的信息得到 。lwlw10信号重构应该通过函数 与 得到函数 从而完成重构。lmkxm),2(lmkxm),2()2(xl11下面根据得到的 恢复原信号。用到的数学公式为：lw,2,1,)12()2()2()12()2()2(11lxxxxxxllllll

4、具体步骤为：（1）将 以及000)()(VkxaxfZkk000)()(WkxbxwZkk 以 中基函数 进行表示再求和 1V)2()()(100kxaxwxfZkk);2(221Zkkx12（2）将 与 用 中的基函数 来表示，然后计算111)2()(Wkxbxwkk)2()()(100kxaxwxfZkk2V)2(2kx)2()()()(22100nxaxwxwxfZnn上述过程递归地进行下去，直到得到系数)2(nnnkkfa 上述计算过程中的系数：是如何计算出来的？详细过程见黑板推导。lka13定理定理(Haar(Haar重构重构)设满足与则的系数 按照下面的表达式递推地实现：llnnn

5、Wwfwwwf,0121000)()(VkxaxfZkk10,)2()(nlWkxbxwllZklklnnZknknVkxaxf)2()(nka.,3,2,1,12,2,1111nlknbaknbaalklklklkln14例例 应用Haar小波方法对定义在时间段 上的信号 进行压缩。其中设信号的采样值为实际信号如下图所示：)1,0)(xf.12,2,1,0),2(888kkfak15利用信号分解方法对 实现分解得到 其中以及 。)(xf)()()()()(7100 xwxwxwxfxf0000)()(VxaxfllZklklWkxbxw)2()(如果要完成信号的80%压缩，其压缩效果见图3.

6、13,其中压缩后与压缩前信号的均方误差为0.0895。类似地，还可以按照完全相同的过程对同一信号进行了90%压缩的实验，压缩后的信号见图3.14，其中压缩后与压缩前信号的均方误差为0.1838。16 图 3.13 80%的压缩效果 图3.14 90%的压缩效果17信号分解与重构的滤波器表示格式：分解过程流程图 重构过程流程图18 Haar小波方法的信号分解与重构算法：（1）（采样）.如果 为模拟信号，选择 大于Nyquist速率，得到采样信号值 ，其中 的取值保证使得 位于信号 发生的时间范围之内，并在每一个不小于 的时间段内都能取到采样信号 ，于是，我们可以用信号对连续信号 进行高精度的近似

7、。)(tfnN2)2(nnkkfa kNk)(tfN1)2(nnkkfa)2()(kxaxfnZknkn)(tf19第二步（分解）.设信号 逐级分解为 其中 系数 与 按照上标从大到小的顺序从开始直到 结束，递推地得到 其中H与L分别为前面所描述的高、低通滤波器组。)(xfn)()()()()()()()()()(001211121xfxwxwxwxwxfxwxwxwxfinnllnnn)2()()2()(111111kxaxfkxbxwlZklkllZklkl1lka1lkbnl 0lkllkkllkaDHbaDLa)(,)(11203.（信号的处理）.将分解后的信号表示成下面的形式 信号处

8、理的过程就是根据实际问题的需要对系数 作适当的修正。例如，如果用于去噪的目的，则将某个认为不可能存在的频率范围对应的系数设置为0，而用于信号压缩时则可以根据压缩比的大小以及小波系数的取值范围，设置适当的阈值，当小波系数绝对值小于该阈值时则令其为0。设修正后的小波系数记为 .).()2()()()(010010kxakxbxfxwxfZkknllZklknlln lkblkb21第四步（信号的重构）.设重构后的信号值满足则上述信号值可以通过下面的递推过程得到：其中 为根据第二、第三步得到的修正系数。).2()(kxaxfnZknkn.,3,2,1,11nlbUHaULalll1,2,1,0,0n

9、lbal22多分辨分析的概念与性质定义4.1(多分辨分析)空间 中一列闭子空间 称为 的一个多分辨分析（MRA），如果该序列满足下列条件（i）单调性：(ii)逼近性：（iii）伸缩性：（iv）平移不变性：（v）Riesz基存在性：存在 ，使 构成的Risez基。)(2RLZjjV)(2RL;,11ZjVVVjjj);(,02RLVVZjjZjj;,)2()(1ZjVxfVxfjj;,)()(00ZkVkxfVxf0Vg|)(Zkkxg23多分辨分析是由一个尺度函数建立起来的，因此，多分辨分析的建立等价于寻找尺度函数 尺度函数的构造在多分辨分析的框架下尺度函数具有下面的性质：定理定理 设 为一个

10、具有尺度函数 的正交多分辨分析，则下列尺度关系式成立：，其中并且有 (4.4)有时等价地表示为 （4.5）其中;ZnVn)2()(kxhxZkkdxkxxhk)2()(2)2()2(21kxhlxjZklkjjkZklklijh2,22).2(2)(2kxxjjjk24例例1 在Haar小波系统中系数 的值满足而其它系数 均为0。kh110 hhkh例例2（Daubechies，1988）给出的一个更好的简单例子是一个仅有4个非0系数的小波（俗称D4小波），相关系数 的值为而其它的系数为0（系数的推导过程将在后面给出），对应尺度函数的图形如下。kh,431,433,433,4313210hhhh25 图 (a)D4尺度函数 （b）D4小波函数 26尺度函数计算取决于尺度方程的系数 ，求尺度函数等价于 khkh定理 设 为一个具有尺度函数 的正交多分辨分析，则下列等式成立：（1）（2）;ZnVn022lkZklkhh2|2Zkkh2Zkkh.1,1122ZkkZkkhh