《阶系统和稳定性》PPT课件

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1、第五章第五章 时域分析法时域分析法5-0 引言5-1 一阶系统的过渡过程5-2 二阶系统的过渡过程5-3 系统稳定性及劳斯判据5-0 引言 时域分析法是根据系统的微分方程，以拉氏变换作为工具，直接解出控制系统的时间响应。然后，根据响应的表达式以及过程曲线来分析系统的性能，如稳定性、快速性和准确性等。时域分析法一般局限于分析一、二阶系统。5-1 一阶系统的过渡过程由一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。其微分方程为：)()()(trtydttdyT其中，y(t)为输出量，r(t)为输入量，T为时间常数5-1 一阶系统的过渡过程其传递函数为：11)()()(sTsRsYsG其中，T 为时间常数其方框

2、图为：1/TsR(s)Y(s)5-1 一阶系统的过渡过程1.一阶系统的单位阶跃响应：ssTsRsGsY111)()()(tTety11)(5-1 一阶系统的过渡过程一阶系统的单位阶跃响应曲线：024681000.10.20.30.40.50.60.70.80.91一般系统对单位阶跃函数的响应：1T2T 3T4T5-1 一阶系统的过渡过程2.一阶系统的单位斜坡响应：2111)()()(ssTsRsGsYtTeTTtTsTsTsLty12111)(5-1 一阶系统的过渡过程一阶系统的单位斜坡响应曲线：Time(sec.)AmplitudeLinear Simulation Results02468

3、100123456 TTr(t)y(t)1()()()(TteTtytrte5-1 一阶系统的过渡过程3.一阶系统的单位脉冲响应：TsTsTsRsGsY11111)()()(tTeTTsTLty1111)(5-1 一阶系统的过渡过程一阶系统的单位脉冲响应曲线：Impulse ResponseTime(sec.)Amplitude05101520253000.020.040.060.080.10.120.140.160.180.2 T2121010)(TteTtdttdytT5-1 一阶系统的过渡过程tTeTTtty1)(tTety11)(tTeTty11)(阶跃响应脉冲响应斜坡响应)()(tt

4、r)0(0)0(1)(tttr)0(0)0()(ttttr5-2 二阶系统的过渡过程二阶系统的微分方程：)()()(2)(222trtydttdyTdttydT由二阶微分方程描述的系统，称为二阶系统。222222121)(nnnsssTsTsGy(t)输出r(t)输入T 时间常数阻尼系数n无阻尼振 荡频率Tn15-2 二阶系统的过渡过程1 0222,1 22nnnnss二阶系统的特征根：5-2 二阶系统的过渡过程二阶系统的单位阶跃响应：sssssssRsGsYnnnn)(12)()()(2122225-2 二阶系统的过渡过程dnnnj122,1 1.0 1（过阻尼）ttnneety)1(22)

5、1(2222)11(21 )11(211)(5-3 稳定性与劳斯判据本教材定义：当输入量去除之后，经过足够长的时间，系统的输出量仍能恢复到原始平衡态的能力。1.稳定性的概念见图5-16在自控理论中，通常采用两种方法定义系统的稳定性：（1）BIBO稳定性；（2）李亚普诺夫稳定性。5-3 稳定性与劳斯判据2.稳定的条件：系统传递函数的极点全部位于复平面的 左侧。x(t)+b+dtx(t)d +b dtx(t)d=by(t)+a+dty(t)d +a dty(t)d am-m-m-mmmn-n-n-nnn01110111 设系统的微分方程为：5-3 稳定性与劳斯判据00111=y(t)+a+dty(

6、t)d +a dty(t)d an-n-n-nnn 当去除输入量后，x(t)及各阶导数均为0，于是：其特征方程为：0011=+a+s+a s an-n-nn若特征方程的根为1,2,3,n，则 微分方程的解为：tntttneCeCeCe y(t)=C3213215-3 稳定性与劳斯判据设特征方程有 k 个实数根 （i=1,2,k)，r 个复数根 （i=1,2,r)，则：)sincos(11321321tBtAeeCeCeCeCe y(t)=Ciiiirittkiitntttiiniiij5-3 稳定性与劳斯判据0 )sincos(lim limlim11tBtAeeCy(t)=iiiirittt

7、tkiitii若是一个稳定的系统，则只有当时 时，才有0 0ii0 limy(t)t5-3 稳定性与劳斯判据3.劳斯判据 虽然通过求出系统传递函数的极点，并根据极点在复平面上的分布情况可以判断系统的稳定性，但一般并不这样做。原因有二：（1）只需要极点的分布情况，并不需要知道极点的 具体位置；（2）对于高阶代数方程，求解困难。因此，通常采用前人总结的判据方法进行判断。劳斯判据就是其中的一种方法。5-3 稳定性与劳斯判据（1）必要条件：闭环传递函数特征方程的所有系数 全部为正（不允许为0或负数）。（2）充分必要条件：劳斯计算表（劳斯阵列）中第 一列元素全部为正。5-3 稳定性与劳斯判据劳斯计算表：

8、snanan-2an-40sn-1an-1an-3an-50sn-2b1b2b30sn-3c1c2c30sn-4d1d2d30s1u10000s0v100005-3 稳定性与劳斯判据snanan-2an-40sn-1an-1an-3an-50sn-2b1b2b30sn-3c1c2c30sn-4d1d2d30s1u10000s0v1000013121nnnnnaaaaab5-3 稳定性与劳斯判据snanan-2an-40sn-1an-1an-3an-50sn-2b1b2b30sn-3c1c2c30sn-4d1d2d30s1u10000s0v1000015142nnnnnaaaaab5-3 稳定性

9、与劳斯判据snanan-2an-40sn-1an-1an-3an-50sn-2b1b2b30sn-3c1c2c30sn-4d1d2d30s1u10000s0v10000121311bbbaacnn5-3 稳定性与劳斯判据snanan-2an-40sn-1an-1an-3an-50sn-2b1b2b30sn-3c1c2c30sn-4d1d2d30s1u10000s0v10000131512bbbaacnn5-3 稳定性与劳斯判据snanan-2an-40sn-1an-1an-3an-50sn-2b1b2b30sn-3c1c2c30sn-4d1d2d30s1u10000s0v10000121211

10、cccbbd5-3 稳定性与劳斯判据snanan-2an-40sn-1an-1an-3an-50sn-2b1b2b30sn-3c1c2c30sn-4d1d2d30s1u10000s0v10000131312cccbbd5-3 稳定性与劳斯判据 如果劳斯计算表中第一列元素均为正值，则特征方程的根全部为左根，系统稳定。反之，若出现负值，则必有右根，且右根的个数等于符号变化的次数。5-3 稳定性与劳斯判据例5-4 设系统的特征方程为02432345sssss试确定系统的稳定性，如不稳定，则确定右根的个数。解：劳斯计算表为：s5131s4142s3-1-10s2320s1-1/300s0200由于存在

11、负值，所以不稳定，符号变化4次，因此有4个右根。5-3 稳定性与劳斯判据例5-5 设系统的特征方程为0301925234ssss试确定系统的稳定性，如不稳定，则确定右根的个数。解：劳斯计算表为：s41-2530s31-190s2-6300s1-1400s03000由于存在负值，所以不稳定，符号变化2次，因此有2个右根。5-3 稳定性与劳斯判据例5-11 设系统的特征方程为)125.0)(11.0()()(sssKsHsG试确定使系统稳定K值。解：先求系统的闭环特征方程R(s)Y(s)125.0)(11.0(sssKA5-3 稳定性与劳斯判据系统的闭环传递函数为KsssKsssKsssKs)125.0)(11.0()125.0)(11.0(1)125.0)(11.0()(因此，闭环特征方程为0)125.0)(11.0(Ksss040401440)4)(10(23KsssKsss5-3 稳定性与劳斯判据0404014 23Kssss3140s21440Ks10s040K0劳斯计算表为：1460540-K01460540-K40K 00 K 145-3 稳定性与劳斯判据0D(s)2CBsAss2ACs1B0s0C0对于二阶系统只需各系数均大于0即可。