值域和定义域的例题讲解

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1、高中函数值域和定义域的大小，是高中数学常考的一个知识点，本文介绍了函数求值域最常用 的九种方法和例题讲解.一观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。例1求函数y=3+2 3x)的值域。点拨：根据算术平方根的性质，先求出2 3x)的值域。解：由算术平方根的性质，知7(2 3x)20,故 3+7(2 3x)23。.函数的知域为.点评：算术平方根具有双重非负性，即：(1)被开方数的非负性，(2)值的非负性。本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失 为一种巧法。练习：求函数y=x(0x5)的值域。(答案：值域为：(0，1，2

2、，3, 4，5)二.反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1 2y)/ (y1)，其定义域为yl的实数，故函数y的值域为 (y ly#1,yRo点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思 想，是数学解题的重要方法之一。练习：求函数y=(1Ox+1O-x)/(1Ox1O-x)的值域。(答案：函数的值域为(y|y1)三配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可以利用配

3、方法求函数值域例3 ：求函数y=7(x2+x+2)的值域。点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。解：由一x2+x+220,可知函数的定义域为 xG 1，2。此时一x2+x+2=(x1/2) 2+9/4丘0, 9/4 .07x2+x+23/2,函数的值域是0,3 点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是 数学的一种重要的思想方法。练习：求函数y=2x5 + 7154x的值域.(答案:值域为y ly3)四判别式法若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数，可用判别式法求函数的值域。例 4 求函数 y=(2x22x+3)/(x

4、2x+1)的值域。点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。解：将上式化为(y2) x2 (y2)x+(y-3)=0 (*)当 y#2 时，由 A=(y2)2 4 (y2) x+(y3)20，解得：2x10/3当y=2时，方程(*)无解。函数的值域为2y10/3。点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=O，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的 值域。常适应于形如 y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及 y=ax+b7(cx2+dx+e)的函数。练习：求函数y=1/(2x23x+1)的值域。(答案：值域为y0)。五最值法对于闭

5、区间a,b上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间a,b内的极值，并与边界值f(a).f(b)作比较，求 出函数的最值，可得到函数y的值域。例 5 已知(2x2-x-3)/(3x2+x+l)W0,且满足 x+y=l，求函数 z=xy+3x 的值域。点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。解：3x2+x+10,上述分式不等式与不等式2x2-x-30同解，解之得一1 x3/2,又x+y=1,将y=1-x 代入 z=xy+3x 中，得 z=-x2+4x(-lx3/2),.z=-(x-2)2+4且xe-1,3，函数z在区间-1,3/2上连续，故只需比

6、较边界的大小。当 x=-1 时，z=5 ；当 x=3/2 时，z=15/4。函数z的值域为z | 5z15/4。点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获 得函数的值域。练习：若寸x为实数，则函数y=x2+3x-5的值域为()A. (g，+g) B. 7，+ gC. 0，+g) D. 5，+g)(答案：D)。六图象法通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。例6求函数y= I x+1 | +x-2)2的值域。点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。解：原函数化为一2x+1(x1)y=3(-1x2)它的图象如图所示。

7、显然函数值y3,所以，函数值域3，+刈。点评：分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域七单调法利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。例1求函数y=4x寸l-3x(xl的值域。点拨：由已知的函数是复合函数，即g(x)=71-3x,y=f(x)+g(x),其定义域为x1/3，在此区间内分别讨 论函数的增减性，从而确定函数的值域。解：设f(x)=4x,g(x)= 71-3x,(xl/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)=4x71-

8、3x 在定义域为x1/3上也为增函数，而且yf(l+g(1=4/3,因此，所求的函数值域为y|y3)八.换元法以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。例2求函数y=x-3+#2x+l的值域。点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。 解：设 t=#2x+l (t0),则x=1/2(t2-1)。于是 y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4l/2-4=-7/2.所以，原函数的值域为y|y-7/2o点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的 值域。这种

9、解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。练习：求函数yix-1x的值域。(答案：y|yAC=5。当A、K、C三点共线时取等号。.原函数的知域为y|y5。点评：对于形如函数y=62+ac-x)2+b(a,b,c均为正数)，均可通过构造几何图形，由几何的性质，直 观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。练习：求函数y=#x2+9+5-x)2+4的值域。(答案：y|y5寸2)以上九种是函数求值域最常用的方法，下面介绍三种特殊情况下求值域的几种方法.十比例法对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值 域。例4已知x,y WR，且3x-4y-

10、5=0,求函数z=x2+y2的值域。点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式，设置参数，代入原函数。解：由 3x-4y-5=0 变形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k 为参数).x=3+4k,y=1+3k, .z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。当 k=-3/5 时，x=3/5,y=-4/5 时，zmin=1。函数的值域为z|z1.点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转 化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。练习：已知 x,yGR，且满足 4x-y=0,求函数 f(x,

11、y)=2x2-y 的值域。(答案：f(x,y)|f(x,y)1)十一利用多项式的除法例5求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。解：y=(3x+2)/(x+1)=3 1/(x+1)。V1/(x+1)#0，故 y#3o函数y的值域为y#3的一切实数。点评：对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。练习：求函数y=(x2-1)/(x-1)(x#1)的值域。(答案：y#2)十二不等式法例6求函数Y=3x/(3x+1)的值域。点拨：先求出原函数的反函数，根据自变量的取值范围，构造不等式。解：易求得原函数的反函数为y

12、=log3x/(l-x),由对数函数的定义知x/(1-x)01-X弄0解得，0x0,则原函数可化为y=(t+l)/(t-1)-t=(y+l)/(y-l) 0y1或y-15、利用零点讨论法弋012由题意可知函数有3个零点-3, 1, 2, 当 x9 当-3Wx1 时，y=-(xT) + (x+3)-(x-2)=-x+65yW9 当 1 Wx2 时，y=(xT) + (x+3)-(x-2)=x+45Wy0_1 X 0 0=-5x 0=xe(- + 2, +I.22所从 原函数的定义域是1-5-) Y (-菩爲)Y (贺习.2 、求函数$=1少-2乎)妝沁且住工1)的定义域当解析:分类讨论Q 对 l

13、og a 2由题育可知,/ -23沁丫沁3当0 a 3,(a 1)时,x log勒2,: 3)或疋c log巴2, ( c说c 3,.33一3、已知函数y=lg(mx2-4mx+m+3)的定义域为R,求实数m的取值范围.解析：利用复合函数的定义域进行分类讨论当m=0时，则mx2-4mx+m+3=3,f 原函数的定义域为R；当 m#0 时，贝U mx2-4mx+m+30, mVO时，显然原函数定义域不为R； 山0,且厶=(-4m)2-4m(m+3)0时，即0 VmVl，原函数定义域为R,所以当mW 0,1)时，原函数定义域为R.4、求函数y=log x + 1 (x4)的反函数的定义域.2解析:求原函数的值域由题意可知，即求原函数的值域，x4,logx2 y32所以函数y=log x + 1 (x4)的反函数的定义域是3,+s).25、函数f(2x)的定义域是-1, 1,求f(logx)的定义域.2解析：由题意可知2-i2x2i f(x)定义域为1/2, 2f l/2WlogxW2 V 2WxW4.2所以f(log x)的定义域是V 2,4.23、搜集整理向真贤7月6号