二叉树与多叉树

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1、数学与应用数学专业综合课程设计题目 二叉树、三叉树及多叉树模型及其应用姓名班级学号1. 课程设计评价参考标准及得分（占 80%）序号指标分值得分1内容体现应用数学与金融、经 济的结合，体现应用价值和现 实意义 丿、，亠、302综合应用数学专业知识解决实 际问题的能力303与学分相适应的工作量和难 度，有一定的创新204报告撰写质量：图标美观，参 考文献，格式合适等20论文成绩任课教师签名目录0、引言(5)1、二叉树定价模型 (5)1.1 模型的假设 (5)1.2 单时段二叉树期权定价模型模型 (6)1.3 风险中性概率 (7)1.4 两期二叉树期权定价模型 (7)1.5 一般情形(T 期)二叉

2、树期权定价模型(8)1.6 二叉树期权定价模型的应用 (9)2、三叉树定价模型 (9)2.1三叉树模型的建立(10)2.2 三叉树模型分析 (10)2.3三叉树模型的期权定价模型(11)2.4三叉树模型的数值计算(12)2.5 三叉树期权定价模型的应用 (12)3、二叉树、三叉树期权定价模型的比较(14)3.1二叉树、三叉树定价模型的收敛性 (15)4、多叉树期权定价模型(16)4.1 模型的建立 (16)4.2 单期多叉树模型 (16)4.3 多期多叉树模型 (17)4.4多叉树模型的应用(17)参考文献 (19) 附录 (20)期权定价中二叉树、三叉树及多叉树模型的研究摘要现代金融理论的核

3、心问题是金融衍生物定价问题，期权和期货是金融市场中比较重要的 两种金融衍生物，期权是持有人在未来确定时间，按确定价格向出售方购入或售出一定数量 和质量的原生资产的协议，但他不承担必须购入或售出的义务。二叉树模型是金融衍生物定 价的常用方法之一，而并且三叉树的构建和求解过程与二叉树相似，但是三叉树模型较二叉 树模型在应用效果上有更多的优势。而三义树模型的计算结果则是平稳的趋近于BS模型 的结果。而且三义树模型的收敛速度比二义树模型快。在相同的精度要求下，由于三义树模 型较二义树模型需要的步数更少，所以它即减少了计算量，又节省了时间。文章通过建立二 叉树模型、三叉树模型及多叉树模型，并举例在相同条

4、件下，二叉树模型及三叉树模型在期 权定价中的应用，利用数学软件Matlab编程求解模型的定价结果，同时分析了二叉树模型、 三叉树模型的收敛性、精确度，并延拓分析多叉树模型，并运用该多叉树模型，在完全市场 条件下，得到股票连续交易的概率和偶发状况索取现值之间的数量关系。 关键词：二叉树模型 三叉树模型 多叉树模型 期权定价 Matlab0、 引言1990年哈里马科维茨(Harry Markowitz)、威廉夏普(W订liam Sharpe) 和默顿米勒(Merton Miller)获得诺贝尔经济学奖，让整个世界注意到了一 门新学科金融学。此学科研究金融市场如何运作，如何使金融市场更有效率， 以及

5、如何进行调节。现代金融理论的核心问题是金融衍生物定价问题，期权和期 货是金融市场中比较重要的两种金融衍生物，期权是持有人在未来确定时间，按 确定价格向出售方购入或售出一定数量和质量的原生资产的协议，但他不承担必 须购入或售出的义务。期权按合约中有关实施的条款可分为欧式期权和美式期 权，欧式期权是只能在合约规定的到期日实施。美式期权是能在合约规定的到期 日以前(包括到期日)任何一个工作日实施。期权按合约中购入和销售原生资产 可分为看涨期权和看跌期权，看涨期权是一张在确定时间，按确定价格有权购入 一定数量和质量的原生资产的合约，看跌期权是一张在确定时间，按确定价格有 权出售一定数量和质量的原生资产

6、的合约。期权定价问题是金融衍生物定价问题 中的重要问题之一。二叉树模型是由考克斯、罗斯和鲁宾斯坦( Cox,Ross and Rubbis tein)首先建立.本文讨论在风险中性的市场中如何利用复制来化解风险， 运用二叉树模型对欧式期权进行定价，并利用MATLAB进行了二叉树的多步实现。三叉树网格定价模型作为一类基本的数值分析方法 , 在金融衍生证券, 特 别是在对基于较少标的变量的低维衍生证券的价格估计中 , 得到了比较广泛的 应用。但由于这些模型本身不足, 使得它们对许多金融衍生证券的价格估计不能 取得理想的效果。相对于二叉树模型而言, 三叉树定价模型由于增加了所要估计 的自由参数, 从而

7、有效地缓解了时间区间的等分化离散方式假设对其造成的影 响。因此, 该模型的价格估计收敛过程的波动性程度要比一般的二叉树模型小, 收敛速度也相对较快。但由于模型自由参数的增加 , 加大了该模型的计算工作 量。所以, 为了提高估计精度而增加时间步骤数时, 将往往致使该模型的计算工 作有较大幅度的增加, 从而也在一定程度上降低了该模型的估计效率。因此, 提 高三叉树定价模型的关键就在于如何有效地减少该模型的计算工作。为此, 本文 将针对三叉树定价模型的问题与特点 , 主要从减少模型的计算工作考虑 , 针对 该模型在对许多金融衍生证券的价格估计误差所具有的特殊性 , 分析与探讨一 种粗细网格并存的混合

8、型三叉树定价模型 , 从而在不过多增加计算工作量的前 提下, 使其估计精度能有一个较大程度的提高。1、二叉树期权定价模型1.1 模型的假设1) 资本市场是完全竞争的市场；2) 不考虑交易成本的税收；3) 无卖空限制；4) 市场存在无风险资产，其利率是固定的5) 股票不支付红利；6) 投资者是理性的。1.2 单时段二叉树期权定价模型首先考虑单期模型，存在两个时刻，时刻0表示现在，时刻1表示将来，用 S表示在0时刻的股票价格，在时刻1的股票价格是随机变量。设有两种状态：价格 上涨u倍(u 1),下跌倍(d 1)，设无风险利率为r“，令r二1 + r，如果市场不存在套利机会，贝Uu 1 + r 1

9、d，股票上涨的概率为q，股票价格变化如图1所示。t = 0Sdst = 1ust = 0u图1.股票价格的变化图2.期权价格的变化设施权价为E，当t = 1时，如果股票价格上涨，则期权的价值为：c = max( us - E,0)；如果股票价格下跌，期权的价值c = max(ds - E,0)，期权在 ud0时刻的价值为C，则期权的价格变化如图2所示。现在我们构造一个组合，选择A份股票和无风险资产B，使该组合复制期权 的价值。为此，A和B满足如下条件：c = Aus + rB( 1)u式(1)表示在时刻1股票上涨时，资产组合的价值等于期权的价值。c = Ads + rB(2)d式(2)表示在时

10、刻1股票下跌时，资产组合的价值等于期权的价值。由方程( 1)和( 2)解得c - cA = u d(3)s(u - d ) uc - dcB = d u(4)(u - d )r根据无套利原则，因为资产组合的价值在时刻1与期权的价值相同，所以在时刻0,期权的价值C与资产组合的价值相等。因此，在时刻0应有:C = AS + B将式(3)和式(4)代入式(5)，得1 r d C = cr u drd令p = ud注意到+二=1, u d u d则1 p = 口，于是u dC =丄pc + (1 p)c r ud5）6）7）1.3 风险中性概率如果将（p ,1 p）看作一个概率分布，则式（7）说明期权

11、在0时刻的价格C等于时刻1的价格（随机变量），对上述分布取期望，然后用无风险利率折现。由公式（6）、（7）可见期权价格与股票价格S、施权价格E、股票上涨倍数 u和下跌倍数d有关，与投资者的风险偏好无关。如果存在套利机会，由于投资 者追求财富最大化，就会利用套利机会套利，从而使套利机会消失。我们这里用取期望的分布是（ p ,1 p ），而不是原来股票上涨和下跌的概率。 如果原来股票上涨的概率满足q（us） + （1 q）ds = rS（8）rdq = pud式（8）说明此时上涨和下跌的期望值等于无风险资产的价值，因此称 p 为 风险中性概率。1.4 两期二叉树期权定价模型此时股票价格的变动模式如

12、图3所示。对于两期二叉树定价模型期权的价格变化可用图4表示。t = 0 t =1t=2uuSudSuCdt=2CuuCudCduddS图3.股票价格的变化Cdd图4.期权价格的变化其中， cuu= max( u 2 s E ,0) ， c du= c = max( uds E,0)， c = max( dds E,0) 。uddd如果我们将t = 1到t = 2看作是单期，则由单期模型定价公式(7),得C =-pc + (1 -p)c (9)uruuudC =-pc + (1 - p)c (10)druddd将式(9)和(10)代入式(7)，得C =p2c + 2p(1 - p)c + (1

13、- p)2c (11)r 2 uu ud dd显然p2 + 2p(1 一 p) + (1 一 p)2 = 1(12)可将 p2,2p(1- p),(1- p) 2 看成概率分布。式(11 )说明，对于两期模型期权的价格等于t = 2时期权的价值上用上述概率分布取期然后再折现。1.5 一般情形(T期)二叉树期权定价模型此时股票价格的变动模式如图5所示。对于多期二叉树定价模型期权的价格变化可用图6表示。liliuSuuSwiSudcfS图5股票价格的变化Cudf - Cddd图6多期二叉树定价模型期权价格的变化对于T期的情形，如果股票价格有n次上涨，T - n次下跌，此时期权的价值为max( un

14、dT-nS - E,0)，则用数学归纳法，可以证明ma xundT-ds-E,013)1T B(n|T, p) rTn=o其中B(n|T, p) =Pn (1 - p)T-n(14)n!(T - n)!Hsia(1983)研究中发现，间断性下的二叉树在中央极限定理(Central Limit Theorem)与特定的参数设定下包括机率与跳动，可被证明出二叉树最后会收敛成 为连续时间下的BS模型。该模型在于简单且方便使用，因此到目前为止已经被 许多的学者广泛的扩展。Cox, Ross&Rubinstein(1979)指出，二叉树树状定价 模型的基本概念是假设股价的变动是间断时间下的定价模型，而B

15、S模型中的连 续，若将存续时间做n次分割，则可逼近连续随机过程，亦就是二叉树定价模型 逼近于BS模型。Hull&White(1988)利用控制变异的方法(Control Variate Met hod)适度的去修正二叉树模型来评价期权，研究发现到此方法的收敛速度会 增加。Boyle&Law(1994)发现到以二叉树评价界限期权时，会出现其收敛状态相 当不稳定且呈现锯齿状，也就是收敛后，当期数增加，产生的值又跳离收敛值。 因此提出控制期数的方式来使某个结点刚好接近界限价格，结果显示此计算出的 界限期权价，将会比较快接近真实价值。Breen(1991)通过一参数值(V)修正二叉 树模型发展出加速二

16、叉树模型(Accelera ted Binomial Opt ion Pricing Model) 来评价美式的卖权，研究结果显示出在固定的分割期数(n)之下，可以加速二叉 树的收敛性，并且其精确性与收敛速度会优于二叉树模型。此外，此方法更可以 广泛的被应用在外汇、期货、发放股利的股票期权上，更可以评价有二种以上标 的物的期权。1.6 二叉树期权定价模型的应用例：某股票的当前价格为40美元，在今后两个3个月的时间段内，股票价格 或上涨10 或下跌10，无风险利率为每年12(连续复利)。执行价格为42 美元， 6个月的欧式看涨期权价格为多少？解：依题意可知，u = 0.1， d = 0.1， r

17、 = 0.12， E = 42， S = 40 ,f由公式C =p2c + 2p(1 - p)c + (1 - p)2 c r 2uuuddd且 c = max(u 2 s 一 E ,0)， c = c = max( uds 一 E ,0)， c = max( dds 一 E ,0)， uudu uddd计算可得6个月的欧式期权价格C =37.7777元。其Matl ab运行程序见附录1.2、三叉树期权定价模型2.1 三叉树模型的建立三叉树是在二叉树的基础上扩展的，包括左子树、中子树、右子树三部分。其中第n层上至多有3（”-1）个结点，高度为h的三叉树至多有竺巴个结点。在标2 准三叉树中，首先

18、假定树形图的每个节点上的价格变化为上升、去中间值、下降 的概率分别为P，P，P，树形的步长为At，则经过步长At后的价值分别变化为 abcS ,S,S ，其三叉树图如下图 7 所示：ud2.2 三叉树模型分析图 7. 三叉树模型由ItO过程理论知道股价符合对数正态分布，即in S Nln S （0）+-1 b 2 t Q 2tI v 2丿 丿15）令 v=卩-1 b2,W =ln S .,2tt有 WN（W，b 2）则卩=ew的数学期望为16-W E（p）=J + 8 ewe 2b2 dW-8兀b 2（W-Ww-26 丿dW=eW+2b216）因为 S =ew，有 E（S ）=eW +2b2t

19、 =ett宀-ln S -亡2t =S（。）+vt +2 b 心（0 ）e 宀假设市场处于风险中性中，则股票的期望收益是无风险利率r。由tO过程得 在时间间隔At末的股价期望值为SerAt，因此对三叉树模型有17)SerAt =p S +p S +p Sa u b c d综上可得：在一个微小的时间段At内，附加变化的方差是S2b 2At。由于 var (x)=E C )-(E (x)1，设 S =Su,S =Sd 可得d(b - 1)S 2 e 2At eb2 At - 1=S 2 S 2p+S S (p u p +p d)2a u b ca b cd18)又因为 p +p +p =1， S

20、=uS,S =dS 可得如下方程组：a b cudp +p +p =119)a b c up +p +dp =e rAta bcu 2 p +p +d2 p =e 2 Atebt2 b 3a bc21由于当At很小时，股价波动也很小，为了简便计算，直接设p =-，u =eb3At，d =- b 3u解方程组，得：20)通过上面的分析可以知道，在0时刻，股票的价格为S,时间为At时，股票的价格有三种可能：S ,S,S，当时间为2At时，股票价格有5种可能，即 udu2S,uS,S,dS,d2S。以此类推，在iAt时刻，股票价格有2i+1种情况。引用标准三叉树的原理，并可以从起点沿着三叉树图路径计

21、算出每个节点的值，如图8所示。SuSSdSuzu22.3三叉树模型的期权定价模型假设价格变化由以下三叉树模型描述：圄图9.标的资产价格的三叉树图图10.期权价格的三叉树图其中图中，S表示某股票的价格，C表示以该股票为标的资产的期权价格。由于无套利均衡分析方法不涉及参与者风险偏好，因此我们可以用风险中性 分析方法为标的资产期权定价。风险中性分析方法的关键构造风险中性概率。设 资产A的初始价格为S资产B的初始价格为S2,风险资产的利率为r,记r =1+r。现用人份资产A, A份资产B及L份无风险资产来复制该种期权，无套利均衡分析 12技术如下：A u S +A u S +rL=C21)111222

22、u A m S +A m S + rL=C111222mA dS +A d S +rL=Cl 1 1 12 2 2d解之得：A=1(C -C )(u -d )-(C -C )(u=ru m 2_y-m d_、/ 2 2、S P(u -m )(u -d 丿-(u -m )(m -d )1 1 1 2 2 2 2 1 122)一一一2Ad-(u(m32z(x11-r一一L m-2)22 -22-m2 cm-1(u2u+2m )1-d弘mG一一1p1mG/V)1mm址2-2%)(u2-u1)m1d2一2m-2 71mc/V)1mm址2-2u1)d12d-21 m-1一一3p32 m-2)004562

23、22z(v z(v z(v且Pi+P2+P3=l，其中P2叫称为风险中性概率。由此得到单周期三叉树期权定价公式为：C=r-1 p C +p C +p C 1 u 2 m 3 d进一步可以推出多周期三叉树期权定价公式为：27)C=r-n 乞 二 pipj(1-p -p )n-iTCijG-j)i!j!ln-i-j 丿！ 121 2i,j=0umd28)2.4 三叉树模型的数值计算设标的资产的价格P服从dP =aPdt+oPdw ,t=t ,P=P随机微分方程，则股票t tt t 00价格在(t ,t+At)时期的变化可近似描述为：P At，以概率p1p2P e、At，以概率p3P( t +A )

24、t = ,P以概率29)其中P为股票价格在期初t时的值,设1p =+1 2九22九g1当九=1时，三叉树模型转换为二叉树模型:p =1-p -p 。213(G 2、af 2丿2九G1P (t ,t+At) = _ 1Pe九g At，以概率p =12_ 1Pe-E At，以概率p =32G 2 a2GG 2、aI 2丿2g30)At2.5 三叉树期权定价模型的应用例：某股票的当前价格为40美元，在今后两个3个月的时间段内，股票价格 或上涨10 或下跌10，无风险利率为每年12(连续复利)执行价格为42美元， 6个月的欧式看涨期权价格为多少？ 由推出的多周期三叉树期权定价公式C=r-n j/!.、

25、册2(1巴-p丿-i-j Cj-j),图11.股票价格的一步三叉树图C图12. 期权价格的一步三叉树图ill lyn-i-j 丿！ 1 212 umdi,j=0可得两周期的期权定价公式：,i + J 2(31)(1 -p -p、Cud12C=r_2 2pi pi (1 - p - p )2-1 -iCuimid2-1 -j”0i!i!(2 - i- i)! 1 212即C=r-2(1 - p - pCd 2 + 2p G - p - p、Cmd + p 2Cm2 + 2p1 2 2 1 2 2 1+ 2p p Cum + p2Cu2)(32)1 2 1由已知条件可得r = 1 + r = 1

26、12 , u = 1.1,m = 1.05,d = 1.05,C = 40, At =丄& 2=0.1.2又可解得：p =0.212,p =0.667,p =0.121。将其代入方程(32)中可得到C=35.861. 1233、二叉树、三叉树期权定价模型的比较二叉树和三叉树主要运用与离散时间模型中，在取极限的情况下，二叉树与 三叉树模型得到的结果是一致的，并且三叉树的构建和求解过程与二叉树相似， 但是三叉树模型较二叉树模型在应用效果上有更多的优势。第一，三叉树模型每 一步均有三个可能的标的资产价值变化，因此针对连续的标的资产价值变化过 程，三叉树比二叉树拥有更好的模拟效果。第三，二叉树期权定价

27、模型的计算结 果随着步数的增加是上下波动的，不稳定；而三义树模型的计算结果则是平稳的 趋近于BS模型的结果。而且三义树模型的收敛速度比二义树模型快。在相同的 精度要求下，由于三义树模型较二义树模型需要的步数更少，所以它即减少了计 算量，又节省了时间。第四，三叉树模型在复杂的期权定价方面更具有优势，并 且它还能够扩展剑波动率随时间变化的期权定价模型。由此可见，三叉树模型具 有二义树模型不可比拟的优势。因此，本文将构建定价复合实物期权的三又树模 型及含有均值回复的三叉树复合期权定价模型理论并随之将此方法应用到房地 产投资项日中，以达到项目收益更大化的目标，通过理论和应用的相结合凸显本 研究的实用性

28、和现实性。Tian(1998)通过考虑股价为偏度(Skewness)与峰度(Kurtosis)的情况下修 正三项式评价模型，研究中发现到股价在考虑到偏度与峰度来评价买权价值时， 误差可达21%显示出，在考虑偏度与峰度的SK三项式模型更能符合实际的状况， 以提供更为正确的期权价值。Tian(1993)通过修正二叉树与三叉树模型，导出三 种修正模型，并且通过最小的收敛步骤(Minimum Convergence St ep, MCS)发现 到修正后二叉树模型会原本的二叉树模型更精确，修正后三叉树模型与Boyle (1986)的模型一样精确，除此之外更发现到所有的三项式模型比二叉树模型的评 价更为精

29、确。Rubinstein(2000)在二叉树模型与三项式模型的关连性的研究中， 发现K锄rad&Rit chken(1991)三叉树模型与二叉树模型的比较下，印证Rit chken (1995) 所提出的论点，也就是三叉树模型优于二叉树模型乃是前者多提供了另一 项自由度(another degree of freedom)，可以让股价的移动u(moving spacing)63 与分割期间At( move t iming)互相独立。因为在二叉树中u与分割期间之间是固 定不变的。一参数决定另一个就决定。以外，另一个重要的结论是在比较二叉树 模型与三项式模型的收敛速度时，若在理论的参数设定上二叉树

30、模型可以略过单 期数(every other period)的计算步骤，则此两种模型的收敛速度应该没有差异 性的存在。 Ritchken(1995) 则指出，三叉树树状定价模型的优点超过二叉树，是 因为价格移动间隔(Illove spacing)的设定与时间的移动(move timing)无关，因 此提供了另一个自由度。 CheukVorst(1996) 更进一步指出，三项式模型的弹性 也优于二叉树模型，这些额外的弹性有助于订定结构复杂的衍生性产品价格。3.1 二叉树、三叉树定价模型的收敛性在大多数的实践分析中, 为了减少误差, 需要对时间进行细化, 但是时间 的细化却会显著增加节点的数目.

31、所以, 必须要考虑计算的步数以及计算的时 间。首先, 比较两个模型在相同的时间分割时的节点数目. 二叉树定价模型中, 第i步的节点数是i +1个，整个模型(n +1)2 + (n +1)/2个节点。三叉树模型中, 在第i的节点数目是2i +1个，有整个模型有(n +1)2个节点。表1给出了这种比较 结果。表1.不同模型节点数的比较步数二叉树模型二叉树模型三叉树模型三叉树模型每步的节点总结点数每步的节点总节点数2365945159258945178116171533328964652145129422512812983852571664125025131625501630015005011257

32、511001251001999100050050019991000000500050011250750110001251010019999100001000500019999100000000从表1中可以看出，计算时间将会随着精确度的提高而显著而显著增加，三 叉树模型的节点树几乎是二叉树模型节点数的两倍。由本文1.6及2.5中二叉树期 权定价模型及三叉树定价模型的应用实例中可以看出，三叉树期权定价模型近似 值在精度上会优于二叉树定价模型。并且无论在计算量大小还是在计算速度上， 三叉模型的计算步数以及计算时间随着步数的增加都显著多于二叉树模型。4、多叉树期权定价模型4.1 模型的建立我们假设股票

33、运动的过程可以表示成一系列节点的集合，每个节点都有m个 后续节点，并且节点之间存在一种偏序树的关系。表示多叉树股票运动过程的简 化示意图如图11.图13.多叉树期权定价模型示意图4.2 单期多叉树模型证券组合的收益表为：u S 11 1M M k ,s = u s 112k 1M Mu S 1m1为避免套利，可得S 二兀(uS ) + A + 兀(uS ) + A + 兀(u S )1 11 122 2m m 1S 二兀+A +兀 +A +兀2 12m，可得引入复杂期权，使得市场完全化。再根据沢u1dn j4.3 多期多叉树模型证券组合的收益表为：C 的现值为C = 9 Cus , S L2，

34、兀 二hmr+.p C /rmum从而可得兀Un1 u2.utu mu n SMu n u n2Mu n Sm1.uS11Mun2 .u 2u nmmn n .n丿1 2 mp m p m2 . p mm+2mrm所以，我们得到多叉树期权模型的低价公式为：un 2 .2unm Cn.utun n .n 丿1 2 mp m p m2 . pmm12m -rm32)4.4 多叉树模型的应用目前，中国股市正处于解决股权分置问题的转型时期#政府有关部门（上市公 司和理论界提出并实施了一系列解决分置问题的方案。2005年6月4日，中国监 证会和深圳（上海证券交易所）发布了权证业务管理暂行办法（征求意见稿

35、）， 迈出了中国证券市场划时代的一步。 同时，为利用权证（一种股票期权）解决 股权分置问题方案的实施奠定了基础。我们设计的权证方案，是向流通股股东无偿分配代表流通权的权证，非流通 股股东通过从流通股股东手中购买权证获得流通权。通过权证的上市交易，可以给股票的流通权定价，非流通股股东可以酌情减 持，免除了分类表决中的种种矛盾。将权证应用于股权分置问题的解决，可以将 股权分置解的预期从股价中分离#给股票的流通权和实际价值分别定价，形成两 个市场。同时，公司的股票价格还能对权证的价格产生影响，形成对于权证的稳 定预期。如此，对权证的合理定价就变得非常重要。我们通过一个例子，阐述如何利 用多叉树模型给

36、权证定价。例：我们给长江电力（600900）设计权证，以,2005年6 月.14日收盘价7.91 元 作为股票的现值，即S的值，行权日期是2005年9月.14日；取K = 12元；n = 10000;r = 1.0225。设定四个增长因子，分别为u = 0.73,u = 0.9,u = 1.1,u = 1.33把1234以上数据带入多叉树期权定价公式，利用matlab算得C沁1.89元，即该权证的价 值为1.89 元。参考文献1 李英华，李兴斯.不完全市场下最大化收益期权定价法.系统工程理论与实践 J.2011.12（12）2 郭尊光，仉志余.二叉树模型在股票及股票期权定价中的应用.太原师范学

37、院 学报（自然科学版）J.2011.03 （1）3 高凤丽，曹英姿二叉树期权定价模型在投资决策中的应用.市场周刊财 经论坛J.2003.094 何颖俞. 美式期权的二叉树与三叉树定价模型收敛速度比 . 杭州师范学院学 报（自然科学版） J.2007.11（6）5 马俊海，张同声，刘凤琴. 期权定价的混合型三叉树模型及其应用研究. 浙江 财经学院学报（自然科学版） J.2005.126 郭亚敏. 多叉树模型定价实物复合期权及其应用. 河北师范大学学报（自然科 学版） J.2009.037 刘宏伟，陈浪南. 我国可转换债券价值影响因素的敏感度分析. 财会通讯（学 术版） J.2006.03（ 3）

38、8 郭多祚. 数理金融（资产定价的原理与模型） M. 北京：清华大学出版社， 2006.119 刘鹏程，杨文博，李畅. 曲线弯曲多叉树模型及其在地图综合中的应用. 计算 机应用研究J.2012.07 （07）附录1、二叉树期权定价模型运用Mat lab运行程序及结果 s=40;E=42;T=1;r=0.12;M=2;t=T/M;u=1.1;d=0.9;p=(exp(r*t)-d)/(u-d)q=1-pw=zeros(M+1,1);for n=1:M+1w(n)=s *(d(M+l-n) *(G(nT);endfor n=1:M+1w(n)=max(w(n)-E,0);endfor i=M:-1:1for n=1:iw(n)=exp(-r*t)*(p*w(n+1)+q*w(n);endenddisp(欧式看涨期权的价格为)disp(w(1)p =0.8092q =0.1908欧式看涨期权的价格为37.7777