向量组的线性相关与线性无关

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1、向量组的线性相关与线性无关 1.线性组合 设a ,a ,…,a g Rn， k ,k ,…,k g R，称k a + k a +••• + k a 为a ,a ,…,a 的一 1 2 t 1 2 t 1 1 2 2 t t 1 2 t 个线性组合。 备注 1】按分块矩阵的运算规则， ka + k a + + k a — (a ,a ,•••,a ) 1 1 2 2 t t 样的表示是有好处的。 2.线性表示 设 a , a ,…,a e Rn , b g Rn，如果存在 k , k ,…,k e R , 1 2 t 1 2 t 使得 则称b可由a , a , •

2、••, a线性表示。 1 2 t b — k a + k a +••• + k a ，写成矩阵形式，即 b — (a ,a ,•••,a ) 1 1 2 2 t t 1 2 t (k ) 1 k 2 tt (k ) 1 k 2 I kt丿 。这 。因此，b可 r k) 1 k 2 =b有解，而该方程组有解 I kt丿 由a ,a ,…,a线性表示即线性方程组(a ,a ,…,a ) 1 2 t 1 2 t I kt丿 ^当且仅^当 r(a

3、 , a ,…,a ) — r(a , a ,…,a , b)。 1 2 t 1 2 t 3. 向量组等价 设a ,a ,•••,a ,b ,b ,•••,b g Rn，如果a ,a , •••,a中每一个向量都可以由 1 2 t 1 2 s 1 2 t b ,b ,•••,b线性表示，则称向量组a ,a ,•••,a可以由向量组b ,b ,•••,b线性表示。 1 2 s 1 2 t 1 2 s 如果向量组a ,a ,•••,a和向量组b ,b ,•••,b可以相互线性表示，则称这两个向 1 2 t 1 2 s 量组是等价的。 向量组等价的性质： (1) 自反性 任何一

4、个向量组都与自身等价。 ⑵对称性若向量组I与II等价，则向量组II也与I等价。 (3) 传递性 若向量组 I 与 II 等价，向量组 II 与 III 等价，则向量组 I 与 III 等价。 证明： 自反性与对称性直接从定义得出。至于传递性，简单计算即可得到。 设向量组I为a ,a，…,a ,向量组II为b ,b ,…,b ,向量组III为c ,c ,…,c。 1 2 r 1 2 s 1 2 t 向量组II可由III线性表示，假设b =£ y c , j = 1,2,…,s。向量组I可由向 j kj k k=1 量组II线性表示，假设a =》xb , i = 1,2,…,r。因

5、此, i ji j j=1 a =乙 x b i ji j j=1 =工x工y c ji kj k j=1 k =1 乙（乙y x ）c , kj ji k k =1 j=1 i = 1,2,…,r 因此，向量组 I 可由向量组 III 线性表示。 向量组II可由I线性表示，III可由II线性表示，按照上述办法再做一次, 同样可得出，向量组III可由I线性表示。 因此，向量组I与III等价。结论成立! 4. 线性相关与线性无关 设a ,a ,…,a e Rn，如果存在不全为零的数k ,k ,…,k g R，使得 1 2 t 1 2 t 则称a ,a ,

6、…,a线性相关，否则，称a ,a ,…,a线性无关。 1 2 t 1 2 t 按照线性表示的矩阵记法，a ,a，…,a线性相关即齐次线性方程组 1 2 t 有非零解，当且仅当r(a ,a ,…,a ) < t。a ,a ,…,a线性无关，即 1 2 t 1 2 t 只有零解，当且仅当r(a ,a ,…,a ) = t。 1 2 t 特别的，若t = n，则a , a ,…,a g Rn线性无关当且仅当r (a , a ,…,a ) = n, 1 2 n 1 2 n 当且仅当(a ,a ,…,a )可逆，当且仅当|(a ,a ,…,a )丰0。 1 2 n 1 1 2 n

7、 例1.单独一个向量a e Rn线性相关即a = 0，线性无关即a丰0。因为，若a线性 相关，贝V存在数k主0，使得ka = 0，于是a = 0。而若a = 0，由于1-a = a = 0 ,1主0 因此，a线性相关。 例2.两个向量a,b g Rn线性相关即它们平行，即其对应分量成比例。因为，若a,b 线性相关，则存在不全为零的数k , k，使得ka + kb = 0。k , k不全为零，不妨 1 2 1 2 1 2 k 假设k丰0，则a = b，故a,b平行，即对应分量成比例。如果a,b平行，不妨 1k 1 假设存在九，使得a二九b，则a-九b = 0，于是a,b线性相关。

8、 (1) (0 ) ( 0 ) 0 9 1 9 0 < 0丿 < 0丿 < 1丿 例 3. 线性无关，且任意x = (x ) 1 x 2 Ix丿 3 G R3都可以由其线性表示，且表示 方法唯一。事实上， 5. 线性相关与无关的性质 (1) 若一向量组中含有零向量，则其必然线性相关 证明： 设a ,a ,…,a g Rn，其中有一个为零，不妨假设a = 0，贝V 1 2 t t 因此，a ,a ,…,a线性相关。 1 2 t (2) 若一向量组线性相关，则增添任意多个向量所形成的新向量组仍然线性相 关；若一向量组线性无关，则

9、其任意部分向量组仍然线性无关。 证明： 设a ,a ,…,a , P , P ,…,P g Rn，a ,a ,…,a线性相关。存在不全为零的数 1 2 t 1 2 s 1 2 t k , k，…,k，使得 1 2 t 、I、匚 这样， k ,k ,…,k不全为零，因此，a ,a ,…,a , P , P ,…,P线性相关。 1 2 t 1 2 t 1 2 s 后一个结论是前一个结论的逆否命题，因此也正确。 (3) 若一个向量组线性无关，在其中每个向量相同位置之间增添元素，所得到的 新向量组仍然线性无关。 证明： 设a ,a，…,a g Rn为一组线性无关的向量。不妨假设

10、新的元素都增加在向量 1 2 t 最后一个分量之后，成为f b 丁 \ Ml八b2丿 b ,b ,…,b是同维的列向量。令 1 2 t 则k a + k a +•••+ k a - 0。由向量组a ,a，…,a线性相关，可以得到 1 1 2 2 t t 1 2 t k = k =•••= k = 0。结论得证！ 1 2 t (4) 向量组线性相关当且仅当其中有一个向量可以由其余向量线性表示 证明： 设a ,a ,•••,a e Rn为一组向量。 1 2 t 必要性若a ,a，…,a线性相关，则存在一组不全为零的数k ,k，…,k，使得 1 2 t 1 2 t

11、k , k，…,k不全为零，设k丰0，贝V 1 2 t j 充分性 若a ,a，…,a中某个向量可以表示成其余向量的线性组合，假设a 1 2 t j 可以表示成a ,•••,a ,a ,•••,a的线性组合，则存在一组数k ,•••,k ,k ,•••,k， i j-i j+i t i j-i j+i t 使得 也就是 但k ,•••,k ,-1,k ,•••,k不全为零，因此，a ,a ,•••,a线性无关。 1 j -1 j +1 t 1 2 t 【备注2】请准确理解其意思，是其中某一个向量可以由其余向量线性表示，而 不是全部向量都可以。 (5)若a ,a ,•••,

12、a e Rn线性无关，b e Rn，使得a ,a ,•••,a ,b线性相关，则b可由 1 2 t 1 2 t a ,a ,•••,a线性表示，且表示方法唯一。 1 2 t 证明： a ,a，…,a ,b线性相关，因此，存在不全为零的数k ,k，…,k ,k，使得 1 2 t 1 2 t t+1 k丰0，否则k = 0，则k a + k a +••• + k a = 0。由a , a，…,a线性无关，我们 t +1 t +1 1 1 2 2 t t 1 2 t 就得到k二k =•••= k二0，这样，k , k，…,k , k均为零，与其不全为零矛盾！ 1 2 t 1 2 t

13、 t+1 这样， 因此，b可由a ,a ,•••,a线性表示。 1 2 t 彳假设 b = x a + x a +••• + x a = y a + y a +••• + y a，贝U 1 1 2 2 t t 11 2 2 t t 由 a , a ,…,a 线性无关，有 x — y = x — y =•••= x — y = 0，即 1 2 t 1 1 2 2 t t 因此，表示法唯一。 【备注3】刚才的证明过程告诉我们，如果向量b可由线性无关向量组a ,…,a线 1t 性表示，则表示法唯一。事实上，向量b可由线性无关向量组a ,…,a线性表示, 1t 即线性方程组(a

14、,…,a )x = b有解。而a ,…,a线性无关，即r(a ,…,a ) = t。因此, 1 t 1 t 1 t 若有解，当然解唯一，即表示法唯一。 ⑹ 若线性无关向量组a ,a ,…,a可由向量组b ,b ,…,b线性表示，则t < s。 1 2 t 1 2 s 证明： 假设结论不成立，于是t > s。 a ,a ,…,a可由b ,b ,…,b线性表示。假设 12 a = x b + x b H b 1 11 1 21 2 xb s1 s 1 2 s r x) ii x 21 =(b1，b2,…，b) a = x b + x b H b 2 12 1

15、22 2 xb s 2 s =(b1，b2,…，◊ I尤丿 ' S1丿 r x) 12 x 22 xS 2丿 r x、 1t a = x b + x b H——b x b t 1 t 1 2 t 2 st s =(b1，b2,…，◊ x 2t I xst 丿 rx 11 由于x21 x 12 x 22 I x x： ' S1 s 2 x 1t x 21为一个s X t阶矩阵，而t > s，因此，方程组 兀丿 st ‘ 必有非零解，设为 (k) 1 k 2 ，于是k a + k a +・・・+ k a =

16、0。因此，存在一组不全为 1 1 2 2 t t 零的数k ,k，…,k ,使得k a + k a +・・・+ k a = 0。因此，向量组a ,a，…,a线性相 1 2 t 1 1 2 2 t t 1 2 t 关，这与向量组a ,a ,…,a线性无关矛盾！因此，t < s。 1 2 t (7)若两线性无关向量组a ,a，…,a和b ,b ,…,b可以相互线性表示，则t = s。 1 2 t 1 2 s 证明： 由性质(6)， t

17、,a，…,a线性无关当且仅当 1 2 t 1 2 t Pa ,Pa ,…,Pa线性无关。b可由a ,a ,…,a线性表示，当且仅当Pb可由 1 2 t 1 2 t Pa ,Pa，…,Pa线性表示。若可以线性表示，表示的系数不变。 1 2 t 证明： 由于P可逆，因此 如此，结论得证！ 6. 极大线性无关组 定义1设a ,a ,…,a e Rn，如果存在部分向量组a ,a ,…,a，使得 1 2 t i1 i2 ir (1) a , a ,・・・,a 线性无关； i1 i2 ir (2) a , a ,・・・ , a 中每一个向量都可以由 a ,a ,・・・ , a 线性

18、表示； 1 2 t i1 i2 ir 则称a ,a ,…,a为a ,a ,…,a的极大线性无关组。 i1 i2 ir 1 2 t 【备注5】设a , a ,…,a e Rn， a , a ,…,a为其极大线性无关组。按照定义, 1 2 t i1 i2 ir a ,a ,・・・,a 可由 a ,a ,・・・,a 线性表示。但另一方面， a ,a ,・・・,a 也显然可以由 1 2 t i1 i2 i i1 i2 i a ,a ,…,a线性表示。因此，a ,a ,…,a与a ,a ,…,a等价。也就是说，任何一 1 2 t 1 2 t i1 i2 ir 个向量组都与其极大线性无关组

19、等价。 向量组的极大线性无关组可能不止一个，但都与原向量组等价，按照向量组 等价的传递性，它们彼此之间是等价的，即可以相互线性表示。它们又都是线性 无关的，因此，由之前的性质(7)，向量组的任意两个极大线性无关组含有相同 的向量个数。 这是一个固定的参数，由向量组本身所决定，与其极大线性无关 组的选取无关，我们称其为向量组的秩，即向量组的任何一个极大线性无关组所 含的向量个数。 【备注6】按照定义，向量组a ,a ,…,a线性无关，充分必要条件即其秩为t。 1 2 t 定义2设a ,a ,…,a e Rn，如果其中有r个线性无关的向量a ,a ,…,a，但没有 1 2 t i1 i2

20、 ir i2 更多的线性无关向量，则称a ,a，…,a为a ,a，…,a的极大线性无关组，而r为 i1 i2 ir 1 2 t 【备注7】定义2生动地体现了极大线性无关组的意义。一方面，有r个线性无 关的向量，体现了“无关性”，另一方面，没有更多的线性无关向量，又体现了 极大性”。 【备注8】两个定义之间是等价的。一方面，如果a ,a ,…,a线性无关，且 i1 i2 ir a ,a ,…,a中每一个向量都可以由a ,a ,…,a线性表示，那么，a ,a，…,a就没 1 2 t i i i 1 2 t 1 2 r 有更多的线性无关向量，否则，假设有，设为b ,b，…,b，s

21、 > r。b ,b，…,b当然 1 2 s 1 2 s 可以由a ,a，…,a线性表示，且还线性无关，按照性质(6), s < r，这与假设矛 i1 i2 ir 盾！另一方面，假设a ,a ,…,a为a ,a ,…,a中r个线性无关向量，但没有更多 i1 i2 ir 1 2 t 的线性无关向量，任取a ,a ,…,a中一个向量，记为b，则a ,a ,…,a ,b线性相 1 2 t i1 i2 ir 关。按照性质(5), b可有a , a ,…,a线性表示(且表示方法唯一)。 i1 i2 ir 【备注9】设向量组a ,a，…,a的秩为r，则其极大线性无关向量组含有r个向量。 1 2

22、t 反过来，其中任何r个线性无关向量所成的向量组也是a ,a ,…,a的一个极大线 1 2 t 性无关组。这从定义即可得到。 6.向量组的秩的矩阵的秩的关系 称矩阵A的列向量组的秩为A的列秩，行向量组转置后所得到的列向量组的 秩称为矩阵A的行秩。 定理 1 任意矩阵的秩等于其行秩等于其列秩。 证明： 设A = (a ) e Rm^n, r(A) = r。将其按列分块为A = (a , a ,…,a )。存在m阶 ij 1 2 n 可逆矩阵P，使得PA为行最简形，不妨设为 线性无关，且PA中其余列向量都可以由其线性表示, 因此， 为PA的极大线性无关组，其个数为r，因此,

23、 关，且A中其余列向量均可由其线性表示(且表示的系数不变)。因此，A的列秩 等于A的秩。 厂bT ' 因此，按照前面的结论， i 将A按行分块，A = br ' m丿 的行秩为Ar的秩，而At的秩等于A的秩。至此，结论证明完毕! 【备注 10】证明的过程其实也给出了求极大线性无关组的方法。 7. 扩充定理 定理2设a ,a ,…,a e Rn，秩为r， a ,a ,…,a为其中的k个线性无关的向量， 1 2 t i1 i2 ik k < r，则能在其中加入a ,a ,…,a中的(r-k)个向量，使新向量组为a ,a ,…,a的 1 2 t 1 2 t 极

24、大线性无关组。 证明： 如果k r,则a ,a , ,a已经是a,a , ,a的一个极大线性无关组，无须再 i1 i2 ik 1 2 t 添加向量。 如果k r,则a ,a , ,a不是a ,a , ,a的一个极大线性无关组，于是， i1 i2 ik 1 2 t a ,a , ,a 必有元素不能由其线性表示,设为 a ,由性质(5),向量组 1 2 t ik 1 a ,a , ,a ,a 线性无关。 i1 i2 ik ik 1 如果k 1 r,则a ,a , ,a ,a已经是a ,a , ,a的一个极大线性无关组， i1 i2 ik ik 1 1 2 t 无须再添加向量。

25、 如果k 1 r,则a ,a , ,a ,a不是a ,a , ,a的一个极大线性无关组，于 i1 i2 ik ik 1 1 2 t 是, a ,a , ,a 必有元素不能由其线性表示,设为 a ,由性质(5),向量组 1 2 t ik 2 a ,a , ,a ,a ,a 线性无关。 i1 i2 ik ik 1 ik 2 同样的过程一直进行下去，直到得到r个线性无关的向量为止。 【备注 11】证明的过程其实也给出了求极大线性无关组的方法。只是,这方法 并不好实现。 8.求极大线性无关组并将其余向量由极大线性无关组线性表示 求向量组a,a, a Rn的极大线性无关组，可以按照

26、下面的办法来实现。 1 2 t ⑴ 将a ,a , a合在一起写成一个矩阵A (a, a, a )； 1 2 t 1 2 t (2) 将 A 通过初等行变换化成行阶梯形或者行最简形,不妨设化得的行阶形为 b 11 0 b 12 b 22 b 1r b 2r b 1, r 1 b 2, r 1 b 1, n b 2, n A 0 O • • • •. b： b : • • • ...b： B, b 0,i 1,2, ,r, r r(A) • •: rr r,r 1 •… r,n ii 0 0 0 0

27、 0 0 O • • • ...0 0 • • • ...0 ⑶ 在上半部分找出r个线性无关的列向量，设为j, j, ,j列，则j, j, , j为 1 2 r 1 2 r • • • • • • B列向量组的极大线性线性无关组，也是A列向量组的极大线性线性无关组，也 就是a,a, a的极大线性无关组。 1 2 t 为了在上半部分寻找r个线性无关向量，必须且仅须在上半部分寻找r阶的 非奇异子矩阵。r阶非奇异子矩阵的列向量组线性无关。 显而易见，上面矩阵第1到第r列即向量组的一个极大线性无关组。其余情 形同理。 (4) 将其余向量组表示为极大线性无关组

28、的线性组合。这时候得解方程组。 我们将矩阵化为行最简形，则一步就很容易完成了。不妨设行最简形为 在B中第1到第r列为列向量组的极大线性无关组，而其余向量表示成其线性组 合也非常容易，表示系数即对应的分量。于是，在A中，第1到第r列为列向量 组的极大线性无关组，其余向量表示为该极大线性无关组的线性组合，表示系数 与B中的一致。 我们的理论依据是性质(8)。 '2 -1 -1 1 2、 11 -2 1 4 例4.设矩阵A= ，求A的列向量组的一个极大线性无关组, 4 -6 2 -2 4 6 -9 7 9 并把不属于极大线性无关组的列向量用极大线性无关组线性表示。 【解答】 记 A = (a , a , a , a , a )， 12345 因此，A的列向量的一个极大线性无关组为a ,a ,a， a =-a -a ， 1 2 4 3 1 2 a = 4a + 3a 一 3a 。 4 1 2 3