向量组的线性相关与线性无关
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1、向量组的线性相关与线性无关1.线性组合设a ,a ,a g Rn, k ,k ,k g R,称k a + k a + + k a 为a ,a ,a 的一12t12t1 12 2t t 12t个线性组合。备注 1】按分块矩阵的运算规则,ka + k a + k a (a ,a ,a )1122t t样的表示是有好处的。2.线性表示设 a , a ,a e Rn , b g Rn,如果存在 k , k ,k e R ,12t12t使得则称b可由a , a , , a线性表示。12tb k a + k a + + k a ,写成矩阵形式,即 b (a ,a ,a )1 12 2t t12t(k )1
2、k2tt(k )1k2I kt丿。这。因此,b可r k)1k2=b有解,而该方程组有解I kt丿由a ,a ,a线性表示即线性方程组(a ,a ,a )12t12tI kt丿当且仅当 r(a , a ,a ) r(a , a ,a , b)。12t12t3. 向量组等价设a ,a ,a ,b ,b ,b g Rn,如果a ,a , ,a中每一个向量都可以由12t 12s12tb ,b ,b线性表示,则称向量组a ,a ,a可以由向量组b ,b ,b线性表示。12s12t12s如果向量组a ,a ,a和向量组b ,b ,b可以相互线性表示,则称这两个向12t12s量组是等价的。向量组等价的性质:
3、(1) 自反性 任何一个向量组都与自身等价。对称性若向量组I与II等价,则向量组II也与I等价。(3) 传递性 若向量组 I 与 II 等价,向量组 II 与 III 等价,则向量组 I 与 III 等价。证明: 自反性与对称性直接从定义得出。至于传递性,简单计算即可得到。设向量组I为a ,a,,a ,向量组II为b ,b ,b ,向量组III为c ,c ,c。1 2 r 1 2 s 1 2 t向量组II可由III线性表示,假设b = y c , j = 1,2,s。向量组I可由向 jkj kk=1量组II线性表示,假设a =xb , i = 1,2,r。因此,iji jj=1a =乙 x b
4、iji jj=1=工x工y cjikj kj=1k =1乙(乙y x )c ,kj ji kk =1j=1i = 1,2,r因此,向量组 I 可由向量组 III 线性表示。向量组II可由I线性表示,III可由II线性表示,按照上述办法再做一次, 同样可得出,向量组III可由I线性表示。因此,向量组I与III等价。结论成立!4. 线性相关与线性无关设a ,a ,a e Rn,如果存在不全为零的数k ,k ,k g R,使得1 2 t 1 2 t则称a ,a ,a线性相关,否则,称a ,a ,a线性无关。1 2 t 1 2 t按照线性表示的矩阵记法,a ,a,,a线性相关即齐次线性方程组1 2 t
5、有非零解,当且仅当r(a ,a ,a ) t。a ,a ,a线性无关,即12t12t只有零解,当且仅当r(a ,a ,a ) = t。12t特别的,若t = n,则a , a ,a g Rn线性无关当且仅当r (a , a ,a ) = n,12n12n当且仅当(a ,a ,a )可逆,当且仅当|(a ,a ,a )丰0。12n112n例1.单独一个向量a e Rn线性相关即a = 0,线性无关即a丰0。因为,若a线性 相关,贝V存在数k主0,使得ka = 0,于是a = 0。而若a = 0,由于1-a = a = 0 ,1主0 因此,a线性相关。例2.两个向量a,b g Rn线性相关即它们平
6、行,即其对应分量成比例。因为,若a,b线性相关,则存在不全为零的数k , k,使得ka + kb = 0。k , k不全为零,不妨1 2 1 2 1 2 k假设k丰0,则a =b,故a,b平行,即对应分量成比例。如果a,b平行,不妨1k1假设存在九,使得a二九b,则a-九b = 0,于是a,b线性相关。(1)(0 ) ( 0 )09190 0丿 0丿 1丿例 3.线性无关,且任意x =(x )1x2Ix丿3G R3都可以由其线性表示,且表示方法唯一。事实上,5. 线性相关与无关的性质(1) 若一向量组中含有零向量,则其必然线性相关证明:设a ,a ,a g Rn,其中有一个为零,不妨假设a =
7、 0,贝V1 2 t t因此,a ,a ,a线性相关。1 2 t(2) 若一向量组线性相关,则增添任意多个向量所形成的新向量组仍然线性相 关;若一向量组线性无关,则其任意部分向量组仍然线性无关。证明:设a ,a ,a , P , P ,P g Rn,a ,a ,a线性相关。存在不全为零的数1 2 t 1 2 s 1 2 tk , k,,k,使得1 2 t、I、匚这样,k ,k ,k不全为零,因此,a ,a ,a , P , P ,P线性相关。1 2 t 1 2 t 1 2 s 后一个结论是前一个结论的逆否命题,因此也正确。(3) 若一个向量组线性无关,在其中每个向量相同位置之间增添元素,所得到
8、的 新向量组仍然线性无关。证明:设a ,a,,a g Rn为一组线性无关的向量。不妨假设新的元素都增加在向量1 2 t最后一个分量之后,成为f b 丁 Ml八b2丿b ,b ,b是同维的列向量。令12t则k a + k a + k a - 0。由向量组a ,a,,a线性相关,可以得到1 12 2t t12tk = k = k = 0。结论得证!12t(4) 向量组线性相关当且仅当其中有一个向量可以由其余向量线性表示 证明:设a ,a ,a e Rn为一组向量。12t必要性若a ,a,,a线性相关,则存在一组不全为零的数k ,k,,k,使得12t12tk , k,,k不全为零,设k丰0,贝V12
9、tj充分性 若a ,a,,a中某个向量可以表示成其余向量的线性组合,假设a12tj可以表示成a ,a ,a ,a的线性组合,则存在一组数k ,k ,k ,k, ij-i j+itij-i j+it使得也就是但k ,k ,-1,k ,k不全为零,因此,a ,a ,a线性无关。1j -1j +1t1 2t【备注2】请准确理解其意思,是其中某一个向量可以由其余向量线性表示,而不是全部向量都可以。(5)若a ,a ,a e Rn线性无关,b e Rn,使得a ,a ,a ,b线性相关,则b可由12t12ta ,a ,a线性表示,且表示方法唯一。12t证明:a ,a,,a ,b线性相关,因此,存在不全为
10、零的数k ,k,,k ,k,使得12t12t t+1k丰0,否则k = 0,则k a + k a + + k a = 0。由a , a,,a线性无关,我们 t +1t +11 1 2 2t t1 2t就得到k二k = k二0,这样,k , k,,k , k均为零,与其不全为零矛盾!12t12t t+1这样,因此,b可由a ,a ,a线性表示。12t彳假设 b = x a + x a + + x a = y a + y a + + y a,贝U1 12 2t t 112 2t t由 a , a ,a 线性无关,有 x y = x y = x y = 0,即1 2 t 1 1 2 2 t t 因此
11、,表示法唯一。【备注3】刚才的证明过程告诉我们,如果向量b可由线性无关向量组a ,a线1t性表示,则表示法唯一。事实上,向量b可由线性无关向量组a ,a线性表示, 1t即线性方程组(a ,a )x = b有解。而a ,a线性无关,即r(a ,a ) = t。因此,1t1t1t若有解,当然解唯一,即表示法唯一。 若线性无关向量组a ,a ,a可由向量组b ,b ,b线性表示,则t s。 a ,a ,a可由b ,b ,b线性表示。假设12a = x b + x b Hb1 11 1 21 2xbs1 s1 2 sr x)iix21=(b1,b2,,b)a = x b + x b Hb2 12 1
12、22 2xbs 2 s=(b1,b2,,I尤丿 S1丿r x)12x22xS 2丿r x、1ta = x b + x bHb x bt1 t 12 t 2st s=(b1,b2,,x2tI xst 丿rx11由于x21x12x22I xx: S1 s 2x1tx21为一个s X t阶矩阵,而t s,因此,方程组兀丿st 必有非零解,设为(k)1k2,于是k a + k a + k a = 0。因此,存在一组不全为1 1 2 2 t t零的数k ,k,,k ,使得k a + k a + k a = 0。因此,向量组a ,a,,a线性相12t1 12 2t t12t关,这与向量组a ,a ,a线性
13、无关矛盾!因此,t s。12t(7)若两线性无关向量组a ,a,,a和b ,b ,b可以相互线性表示,则t = s。12 t 12 s证明: 由性质(6), ts, s r。b ,b,,b当然 12 s12 s可以由a ,a,,a线性表示,且还线性无关,按照性质(6), s r,这与假设矛 i1 i2ir盾!另一方面,假设a ,a ,a为a ,a ,a中r个线性无关向量,但没有更多 i1 i2ir1 2t的线性无关向量,任取a ,a ,a中一个向量,记为b,则a ,a ,a ,b线性相 1 2ti1 i2ir关。按照性质(5), b可有a , a ,a线性表示(且表示方法唯一)。i1 i2ir
14、【备注9】设向量组a ,a,,a的秩为r,则其极大线性无关向量组含有r个向量。 12t反过来,其中任何r个线性无关向量所成的向量组也是a ,a ,a的一个极大线 12t性无关组。这从定义即可得到。6.向量组的秩的矩阵的秩的关系称矩阵A的列向量组的秩为A的列秩,行向量组转置后所得到的列向量组的秩称为矩阵A的行秩。定理 1 任意矩阵的秩等于其行秩等于其列秩。证明:设A = (a ) e Rmn, r(A) = r。将其按列分块为A = (a , a ,a )。存在m阶 ij12 n可逆矩阵P,使得PA为行最简形,不妨设为线性无关,且PA中其余列向量都可以由其线性表示,因此,为PA的极大线性无关组,
15、其个数为r,因此,关,且A中其余列向量均可由其线性表示(且表示的系数不变)。因此,A的列秩 等于A的秩。厂bT 因此,按照前面的结论,i将A按行分块,A =br m丿的行秩为Ar的秩,而At的秩等于A的秩。至此,结论证明完毕!【备注 10】证明的过程其实也给出了求极大线性无关组的方法。7. 扩充定理定理2设a ,a ,a e Rn,秩为r, a ,a ,a为其中的k个线性无关的向量,1 2ti1 i2ikk r,则能在其中加入a ,a ,a中的(r-k)个向量,使新向量组为a ,a ,a的1 2 t 1 2 t 极大线性无关组。证明:如果k r,则a ,a , ,a已经是a,a , ,a的一个
16、极大线性无关组,无须再 i1 i2ik1 2t添加向量。如果k r,则a ,a , ,a不是a ,a , ,a的一个极大线性无关组,于是,i1 i2ik1 2ta ,a , ,a 必有元素不能由其线性表示,设为 a ,由性质(5),向量组1 2tik 1a ,a , ,a ,a 线性无关。i1 i2ik ik 1如果k 1 r,则a ,a , ,a ,a已经是a ,a , ,a的一个极大线性无关组, i1 i2ik ik 11 2t无须再添加向量。如果k 1 r,则a ,a , ,a ,a不是a ,a , ,a的一个极大线性无关组,于i1 i2ik ik 11 2t是, a ,a , ,a 必
17、有元素不能由其线性表示,设为 a ,由性质(5),向量组1 2tik 2a ,a , ,a ,a ,a 线性无关。i1 i2ik ik 1 ik 2同样的过程一直进行下去,直到得到r个线性无关的向量为止。【备注 11】证明的过程其实也给出了求极大线性无关组的方法。只是,这方法并不好实现。8.求极大线性无关组并将其余向量由极大线性无关组线性表示求向量组a,a, a Rn的极大线性无关组,可以按照下面的办法来实现。1 2 t 将a ,a , a合在一起写成一个矩阵A (a, a, a );1 2 t 1 2 t(2) 将 A 通过初等行变换化成行阶梯形或者行最简形,不妨设化得的行阶形为b110b1
18、2 b22b1rb2rb1, r 1b2, r 1b1, nb2, nA0O .b:b : .b:B, b 0,i 1,2, ,r, r r(A) :rrr,r 1r,nii000000O .00 .0 在上半部分找出r个线性无关的列向量,设为j, j, ,j列,则j, j, , j为1 2r1 2r B列向量组的极大线性线性无关组,也是A列向量组的极大线性线性无关组,也 就是a,a, a的极大线性无关组。1 2 t为了在上半部分寻找r个线性无关向量,必须且仅须在上半部分寻找r阶的 非奇异子矩阵。r阶非奇异子矩阵的列向量组线性无关。显而易见,上面矩阵第1到第r列即向量组的一个极大线性无关组。其
19、余情 形同理。(4) 将其余向量组表示为极大线性无关组的线性组合。这时候得解方程组。 我们将矩阵化为行最简形,则一步就很容易完成了。不妨设行最简形为在B中第1到第r列为列向量组的极大线性无关组,而其余向量表示成其线性组 合也非常容易,表示系数即对应的分量。于是,在A中,第1到第r列为列向量 组的极大线性无关组,其余向量表示为该极大线性无关组的线性组合,表示系数 与B中的一致。我们的理论依据是性质(8)。2 -1 -1 1 2、11-214例4.设矩阵A=,求A的列向量组的一个极大线性无关组,4 -62-2 46-979并把不属于极大线性无关组的列向量用极大线性无关组线性表示。【解答】 记 A = (a , a , a , a , a ),12345因此,A的列向量的一个极大线性无关组为a ,a ,a, a =-a -a ,124312a = 4a + 3a 一 3a 。4123
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