《工程力学课件LLLX》PPT课件.ppt

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1、1 2 振动是日常生活和工程实际中常见的现象。 例如：钟摆的往复摆动 ,汽车行驶时的颠簸，电动机、机 床等工作时的振动，以及地震时引起的建筑物的振动等。 利 ：振动给料机 弊 ：磨损，减少寿命，影响强度 振动筛 引起噪声，影响劳动条件 振动沉拔桩机等 消耗能量，降低精度等。 3. 研究振动的目的 ：消除或减小有害的振动，充分利用振动 为人类服务。 2. 振动的利弊 ： 1. 所谓振动就是系统在平衡位置附近作往复运动。 3 4. 振动的分类 ： 单自由度系统的振动 按振动系统的自由度分类 多自由度系统的振动 弹性体的振动 按振动产生的原因分类 ： 自由振动： 无阻尼的自由振动 有阻尼的自由振动，

2、衰减振动 强迫振动： 无阻尼的强迫振动 有阻尼的强迫振动 自激振动 本章重点讨论单自由度系统的自由振动和强迫振动。 4 181 单自由度系统无阻尼自由振动 182 求系统固有频率的方法 183 单自由度系统的有阻尼自由振动 184 单自由度系统的无阻尼强迫振动 185 单自由度系统的有阻尼强迫振动 186 临界转速 减振与隔振的概念 第十八章 机械振动基础 5 18-1 单自由度系统无阻尼自由振动 一、自由振动的概念 ： 6 7 运动过程中，总指向物体平衡位置的力称为 恢复力 。 物体受到初干扰后，仅在系统的恢复力作用下在其平衡位 置附近的振动称为 无阻尼自由振动 。 )/( 0 , )/(

3、0 , )/( 0 , 22 222 22 Im gam gaI lgm glml mkxxkxxm nn nn nn 质量 弹簧系统： 单摆： 复摆： 8 二、单自由度系统无阻尼自由振动微分方程及其解 对于任何一个单自由度系统，以 q 为广义坐标（从平衡位 置开始量取 ），则自由振动的运动微分方程必将是： 0 cqqa a, c是与系统的物理参数有关的常数。令 acn /2 则自由振动的微分方程的标准形式： 02 qq n 解 为： )s in ( tAq n 9 0 0 2 2 02 0 a r c t g , q qqqA n n 设 t = 0 时， 则可求得： 00 , qqqq 或

4、： tCtCq nn s inc o s 21 C1， C2由初始条件决定为 nq CqC / , 02 01 tqtqq n n n s inc o s 0 0 10 三、自由振动的特点 ： A 物块离开平衡位置的最大位移，称为振幅。 n t + 相位，决定振体在某瞬时 t 的位置 初相位，决定振体运动的起始位置。 T 周期，每振动一次所经历的时间。 f 频率，每秒钟振动的次数， f = 1 / T 。 固有频率，振体在 2秒内振动的次数。 反映振动系统的动力学特性，只与系统本身的固有 参数有关。 n T 2 n 11 无阻尼自由振动的特点是 ： (2) 振幅 A和初相位 取决于运动的初始条

5、件 (初位移和初速度 )； (1) 振动规律为简谐振动； (3)周期 T 和固有频率 仅决定于系统本身的固有参数 (m,k,I )。 n 四、其它 1. 如果系统在振动方向上受到某个常力的作用，该常力 只影响静平衡点 O的位置，而不影响系统的振动规律，如振动 频率、振幅和相位等。 12 2. 弹簧并联系 统和弹簧串联系 统的等效刚度 21 21 21 21 2 2 1 1 , )( , kkk kk mg kkmg FFmg k F k F eq stst st 并联 21 21 21 2121 21 ) 11 ( ) 11 ( kk kk k kk mg k mg kk mg k mg k

6、mg eq eq st ststst 串联 并 联 串 联 13 1. 由系统的振动微分方程的标准形式 2. 静变形法： 3. 能量法 ： 18-2 求系统固有频率的方法 02 qq n st n g st ：集中质量在全部重力 作用下的静变形 n由 Tmax=Umax , 求出 14 无阻尼自由振动系统为保守系统，机械能守恒。 当振体运动到距静平衡位置最远时，速度为零，即系统 动能等于零，势能达到最大值（取系统的静平衡位置为零势 能点）。 当振体运动到静平衡位置时，系统的势能为零，动能达 到最大值。 mg AAkU stst )(21 22m a x 2m a x 21 kAUmgk st

7、222m a x 2121 nmAxmT 如： 15 m kkAmA UT nn 2 1 2 1 222 m a xm a x由 能量法是从机械能守恒定律出发，对于计算较复杂的振 动系统的固有频率来得更为简便的一种方法。 例 1 图示系统。设轮子无侧向摆动， 且轮子与绳子间无滑动，不计绳子和弹 簧的质量，轮子是均质的，半径为 R，质 量为 M，重物质量 m ，试列出系统微幅 振动微分方程，求出其固有频率。 16 解 ：以 x 为广义坐标（静平衡位置为 坐标原点） RkgRmM st 2)( gk mMst 2 则任意位置 x 时： kxgmMxkF st 22)2( 静平衡时： 17 应用动量

8、矩定理： k x RRFgRmMFm xRmM R xMRRxMRxmL A A 42)()( ) 2 3( 2 1 2 由 ， 有 )( Fm dt dL AA k x RxRmM 4)23( 振动微分方程： 固有频率： mM k x mM kx n 23 8 0 23 8 18 解 2 ： 用机械能守恒定律 以 x为广义坐标（取静平衡位置为原点） 2 22 2 2 ) 2 3( 2 1 2 1)( 22 1 2 1 xmM xm R xMRxMT 以平衡位置为计算势能的零位置， 并注意轮心位移 x时，弹簧伸长 2x gxmMxkkx gxmMxkU st stst )(22 )()2(2

9、2 22 因平衡时 gxmMxk st )(2 22 k xU 19 由 T+U= 有： const c ons tkxxmM 22 2)23(21 04)23( kxxmM mM k x mM k x n 23 8 0 23 8 对时间 t 求导，再消去公因子 ，得 x 20 18-3 单自由度系统的有阻尼自由振动 一、阻尼的概念 ： 阻尼 ：振动过程中，系统所受的阻力。 粘性阻尼 ：在很多情况下，振体速度不大时，由于介质粘性 引起的阻尼认为阻力与速度的一次方成正比，这种阻尼称为粘 性阻尼。 vcR 投影式： xcR x c 粘性阻尼系数，简称阻尼系数。 21 二、有阻尼自由振动微分方程及其

10、解 ： 质量 弹簧系统存在粘性阻尼： xckxxm 02 2 , 22n xxnx mcnmk n 则令 有阻尼自由振动微分方程的标准形式。 22 其通解分三种情况讨论： 1、小阻尼情形 mkcn n 2 )( )s in ( tAex dnt 22 nnd 有阻尼自由振动的圆频率 则时设 , , , 0 00 xxxxt 00 22 01 22 2 002 0 tg ; )( nxx nx n nxxxA n n 23 衰减振动的特点： (1) 振动周期变大， 频率减小 。 mk cn n T n n d d 2 1 2 22 22 22 阻尼比 有阻尼自由振动： 当 时， 可以认为 nn

11、1 TT dnd 2 2 2 1 1 1 nd d d ff TT 24 (2) 振幅按几何级数衰减 对数减缩率 2 1 2 lnln 2 1 d nT i i nTe A A d 2、临界阻尼情形 临界阻尼系数 ) 1 , ( nn mkc c 2 )( 000 tnxxxex nt ) , , 0( 00 xxxxt 时 d di i nT Ttn nt i i e Ae eA A A )( 1 相邻两次振幅之比 25 可见，物体的运动随时间的增长而无限地趋向平衡位置， 不再具备振动的特性。 )( 2222 21 tn tnnt nn eCeCex 代入初始条件 ) , , 0( 00 x

12、xxxt 时 22 00 22 222 0 22 0 1 2 )( ; 2 )( n n n n n xxnnC n xnnxC ) 1 , ( nn )( ccc 3、过阻尼（大阻尼）情形 所示规律已不是周期性的了，随时间的增长， x 0， 不具备振动特性。 26 例 2 质量弹簧系统， W=150N， st=1cm , A1=0.8cm, A21=0.16cm。 求阻尼系数 c 。 20 21 20 3 2 2 1 21 1 )( dnTe A A A A A A A A 解： 20)(16.0 8.0 dn Te 21 220205ln n n dn T 由于 很小， 405ln )s

13、/ c mN(122.0 9801 1502 40 5ln2 40 5ln2 2 st W g Wmkc 27 18-4 单自由度系统的无阻尼强迫振动 一、强迫振动的概念 强迫振动：在外加激振力作用下的振动。 简谐激振力： H 力幅； 激振力的圆频率 ； 激振力的初相位。 )s in ( tHS )s in ( tHkxxm 则令 , 2 mHhmkn )s in (2 thxx n 无阻尼强迫振动微分方程的标准形式， 二阶常系数非齐次线性微分方程。 二、无阻尼强迫振动微分方程及其解 28 21 xxx )s in ( )s in ( 2 1 tbx tAx n 为对应齐次方程的通解 为特解

14、)s i n ( , 22222 thxhb nn )s i n ()s i n ( 22 thtAx n n 全解为： 稳态强迫振动 3、强迫振动的振幅大小与运动初始条件无关，而与振动系统 的固有频率、激振力的频率及激振力的力幅有关。 三、稳态强迫振动的主要特性 ： 1、在简谐激振力下，单自由度系统强迫振动亦为简谐振动。 2、强迫振动的频率等于简谐激振力的频率，与振动系统的 质量及刚度系数无关。 29 (1) =0时 k Hhb n 20 (2) 时，振幅 b随 增大而增大；当 时， n bn (3) 时，振动相位与激振力相位反相，相差 。 rad n 22 n hb b 随 增大而减小；

15、0 ; , 2 0 bbbn 时时 振幅比或称动力系数 频率比 曲线 幅频响应曲线 （幅频特性曲线） 1 30 4、共振现象 , 时n b ，这种现象称为共振。 此时， )c o s (2 tBtx n )c o s ( 2 2 , 2 2 ttbx thbhB n n nn 31 18-5 单自由度系统的有阻尼强迫振动 一、有阻尼强迫振动微分方程及其解 tHQxcRkxF xxx s i n , , tHxckxxm s in 将上式两端除以 m ，并令 mHhmcnmkn ; 2 ; 2 thxxnx n s in2 2 有阻尼强迫振动微分方程的标准形式，二阶常系数非齐次微 分方程。 21

16、 xxx 32 x 1是齐次方程的通解 )02( 2 xxnx n 小阻尼： )s in ( 221 tAex nnt （ A、 积分常数，取决于初始条件） x2 是特解： )s in ( 2 tbx 代入标准形式方程并整理 22 22222 2 tg 4)( n n n n h b 强迫振动的振幅 强迫振动相位滞后激振力相位角 振动微分方程的全解为 )s i n ()s i n ( 22 tbtAex nnt 衰减振动 强迫振动 33 振动开始时，二者同时存在的过程 瞬态过程。 仅剩下强迫振动部分的过程 稳态过程。需着重讨论部分。 nn nbb ; , 0 令 频率比 振幅比 阻尼比 因此：

17、 22222 1 2 t g; 4)1( 1 二、阻尼对强迫振动的影响 1、振动规律 简谐振动。 2、频率： 有阻尼强迫振动的频率，等于激振力的频率。 3、振幅 )s in (2 tbx 34 (1) , 1 , )(1 时n 可不计阻尼。 , 0bb (2) , 0 , )(1 时n 阻尼也可忽略。 时时 0 . 7 0 , )(1 n (3) 阻尼对振幅影响显著。 一 定时，阻尼增大，振幅显著 下降。 222 212 , 0 nn nddb 得由 共振频率 此时： 2 0 m a x22m a x 12 2 bb nn hb n 或 35 2 , , 1 0m a x bbn 时当 4、相

18、位差 有阻尼强迫振动相位总比激振力滞后一相位角 ， 称为 相位差 。 21 2tg (1) 总在 0至 区间内变化。 (2) 相频曲线（ - 曲线）是一条单调上升的曲线。 随 增 大而增大。 (3) 共振时 =1， ，曲线上升最快，阻尼值不同的曲线， 均交于这一点。 (4) 1时， 随 增大而增大。当 1时 ，反相。 2 36 例 1 已知 P=3500N， k=20000N/m , H=100N, f=2.5Hz , c=1600Ns/m , 求 b, ,强迫 振动方程。 解 ： r a d / s 58.10350 0 8.9200 0022 Pkgmk eqn m 105.2200002

19、 1002 30 kHkHb eq 485.1 58.10 5.222 ; 212.0 58.10 24.2 r a d / s 24.2 8.9/35002 1600 2 nnn fn m c n 37 mm 84.15.2736.0 736.0 485.1212.04)485.11( 1 4)1( 1 0 2222222 bb )847.05s i n (84.1 )r a d( 847.0)522.0(a r c t g)1/(2a r c t g 2 22 tx 38 18-6 临界转速 减振与隔振的概念 一、转子的临界转速 引起转子剧烈振动的特定转速称为 临界转速 。这种现象是 由共

20、振引起的，在轴的设计中对高速轴应进行该项验算。 单圆盘转子 ： 圆盘：质量 m , 质心 C点；转轴过盘的几 何中心 A点， AC= e ，盘和轴共同以匀角速 度 转动。 当 n（ n为圆盘转轴所组 成的系统横向振动的固有频率）时， OC= x+e (x为轴中点 A的弯曲变形）。 39 kxexm 2)( （ k为转轴相当刚度系数） 11 2 2 2 n e m k ex xn , 时当 临界角速度： 临界转速： cc nc n m k 30 40 , 运转时当 n 质心 C位于 O、 A之间 OC= x- e 2 2 )(11 n e m k ex exx nn , ; , , 时当时当 当

21、转速 非常高时，圆盘质心 C与两支点的连线相接近， 圆盘接近于绕质心 C旋转，于是转动平稳。 为确保安全，轴的工作转速一定要避开它的临界转速。 41 二、减振与隔振的概念 剧烈的振动不但影响机器本身的正常工作，还会影响周围 的仪器设备的正常工作。减小振动的危害的根本措施是合理设 计，尽量减小振动，避免在共振区内工作。 许多引发振动的因素防不胜防，或难以避免，这时，可以 采用减振或隔振的措施。 减振 ： 在振体上安装各种减振器，使振体的振动减弱。例如， 利用各种阻尼减振器消耗能量达到减振目的。 42 隔振： 将需要隔离的仪器、设备安装在适当的隔振器（弹性 装置）上，使大部分振动被隔振器所吸收。 隔振 主动隔振：将振源与基础隔离开。 被动隔振：将需防振动的仪器、设备单独与振源隔离开。 43