《工程力学》教学课件第十四章应力状态与强度理论.ppt

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1、 第一节 应力状态的概念 第二节 平面应力状态下的应力分析 第三节 空间应力状态简介 第四节 材料的破坏形式 第五节 强度理论的概念 第十四章 应力状态与强度理论 本章介绍一般情况下构件的应力应变状态及材料破 坏的强度理论。学习时要掌握一点的应力状态的概 念，会求平面应力状态下单元体任意斜截面上的应 力及单元体主应力、主方向、最大切应力。在任意 状态下能通过广义胡克定律建立应力应变关系。了 解材料破坏的方式，掌握四种强度理论。 教学目的和要求 一点的应力状态； 任意斜截面上的应力及应力极值； 广义胡克定律； 强度理论及其选用。 教学重点 应力状态的概念； 任意斜截面上的应力及应力极值； 空间应

2、力状态及广义胡克定律； 强度理论的选用。 教学难点 第一节 应力状态的概念 一点的应力状态 是指通过一点不同方位截面上的应力 情况，或指所有方位截面上应力的集合。 研究这些 不同方位截面上应力随截面方向的变化规律 。 1.一点的应力状态 一点的应力状态可用围绕该点截取的微 单元体 （微正六面 体）上 三对互相垂直微面 上的应力情况来表示。 2.一点的应力状态的确定方法 3.主平面、主应力 主应力单元体： 任一点上三对相互垂直 的主平面组成的单元体。 主平面： 切应力为零的截面。 主应力： 主平面上的正应力。 主应力排列规定：按代数值大小顺序排列。 321 1 2 3 x y z x y z 主

3、应力排列规定 ： 321 30MPa、 0MPa、 -50MPa， 1 2 3 30 0 50 M P a M P a 321 （ 1）单向应力状态， 仅一个主应力不为零的应力状态。 （ 2）二向应力状态， 仅一个主应力为零的应力状 态。 （ 3） 三向应力状态， 三个主应力都不为零的应力状态。 A x x 1 2 3 4.应力状态的分类 等价 x t xy y x y z x y x txy y O 第二节 平面应力状态下的应力分析 平面应力状态的普遍形式如图所示 。单元体上有 x 、 tx 和 y 、 t y。 单元体可用平面图形来表示。 规定： 截面外法线同向为正； t 绕研究对象顺时针

4、转为正； 逆时针为正。 图 1 1.任意斜截面上的应力 x y x txy y O y txy x t x y O t n 图 2 0 nF 0s i n)s i n( c os)s i n( c os)c os( s i n)c os( t t dA dA dA dAdA y yx x xy 列平衡方程 0 tF 0c o s)s i n(s i n)s i n( s i n)c o s(c o s)c o s( t tt dAdA dAdAdA yyx xxy y txy x t x y O t n 利用三角函数公式 )2c o s1(21c o s 2 )2c o s1(21s i n

5、2 2s i nc o ss i n2 并注意到 化简得 xyyx tt t 2s i n2c o s)(21)(21 xyyxyx tt 2c o s2s i n)(21 xyyx 例 14-1 求如图所示的单元体斜截面上的应力。 030 MPa20 MPa40 MPa10 x y n 060 t 4 0 M P ax 20 M P ay 10 M P axyt 60 0040 ( 20 ) 40 ( 20 ) c os( 12 0 ) ( 10 ) sin( 12 0 ) 13 .6 7 M P a22 0040 ( 20 ) sin( 12 0 ) ( 10 ) c os( 12 0 )

6、 21 MP a 2t 解 由图示可知 利用应力转换方程可得出 02c o s22s i n 00 0 t xyyxd d令 2.极值应力 yx xy t 22t a n 0和两各极值）、（ 由此的两个驻点 20101 应力！所以极值正应力就是主 00 t ） 22 22 xy yxyx m in m ax t （ x y x txy y O 主 单元体1在切应力相对的项限内， 且偏向于 x 及 y大的一侧。 0dd: 1 t 令 xy yx t 22t a n 1 2 2 2 x y y x min max t t t ） （ m i n2m a x1 ; 2 1 1 0 2t a n 12

7、t a n 4,222 0101 最大和最小切应力所在的平面与主平面的夹角为 450。 MPa40 MPa60 MPa20 x y 例 14-2 如图所示，求单元体的主应力及主平面，并 在单元体上画出主平面和主应力。 M P a20M P a ,40M P a ,60 xyyx t 6.27 4.7220) 2 4060( 2 4060 22 m i n m a x M P a4.721 M P a6.272 24060 2022t a n 0 0000 7.31,4.632 解 故 MPa40 MPa60 MPa20 x y 07.31 1 2 则可以得到单元体的主平面及主应力情况如右图所示

8、。 由 2 1 x y z 3 12 3 t 1.空间应力状态的概念 第三节 空间应力状态简介 三向应力状态的实例： （ 1）滚珠轴承中，滚珠于外圈接触点处； （ 2）桥式起重机大梁两端的滚动轮于轨道的接触处； （ 3）火车车轮与钢轨的接触处。 A 2.最大正应力和最大切应力 弹性理论证明，图 a单元体内任意一点任意斜截面上的 应力都对应着图 b的应力圆上或阴影区内的一点坐标值。 图 a 图 b 整个单元体内的最大切应力为 。 t max 2 31 m a x t 2 1 x y z 3 12 3 t 注意 同理，某点的三个主应力中，任意两个主应力都可找出一组切应力极值，分别为 该点单元体的最

9、大切应力 应为三者当中的最大者，即 2 31 m a x t 2 32 1 t P 2 31 2 t P 2 21 3 t P 主切应力 所在平面 3Pt 1 2 3 2Pt 所在平面 3 1 2 2 1Pt 所在平面 1 3 而最大切应力所在平面的法向应为 1， 3两方向 的角平分线方向。 3 2 1 tmax 最大切应力所在平面上的 正应力为 =？ 12 2 3.广义胡克定律 xx E E x xy x y x （ 1）轴向拉压胡克定律 横向变形 （ 2）纯剪切胡克定律 t G t xyzyxx E )(1 G xy xy t yzxzyy E )(1 zxyxzz E )(1 G yz

10、yz t G zx zx t 广义胡克定律的一般形式 三向应力状态的广义胡克定律 叠加法 2 3 2 3 1 1 1 E 1 E 2 E 3 3211 1 E 1322 1 E 2133 1 E 平面应力状态下的应力应变关系 1 1 1 x x y y y x z x y x y x y E E E G t 或 213 122 211 1 1 E E E 1m a x 1 3 61 102 4 0 63 101 6 0 例 14-3 如图所示，已知一受力构件自由表面上某一点处 在表面内的主应变分别为 弹性模量 E=210GPa，泊松比为 =0.3， 试求该点处的主 应力及另一主应变。 解 自由

11、面上 02 ，所以该点处为平面应力状态 311 1 E 133 1 E ； MP3.200M P a3.44 321 6132 103.34 E 故有 ，线应变为 第四节 材料的破坏形式 1.材料的破坏形式 塑性材料，如普通碳素钢破坏时会发生屈服现象，出现 塑 性变形 。我们通常把这类构件在受拉伸、压缩、扭转等作 用时，试件的应力达到屈服点后发生明显塑性变形，使其 失去正常的工作能力的破坏称为 塑性屈服 。而脆性材料， 如铸铁等发生破坏时会出现突然断裂。我们通常把这类在 受拉伸或扭转时，在未产生明显的塑性变形情况下就突然 断裂的破坏称为 脆性断裂 。 金属材料有两种极限抵抗能力 另一种是抵抗塑

12、性屈服的极限能力 正常情况下脆性材料对塑性屈服的抵抗能力大于对脆 性断裂的抵抗能力，塑性材料对脆性断裂的抵抗能力 大于对塑性屈服的抵抗能力。 一种是抵抗脆性断裂的极限能力 b st 2.应力状态对材料破坏形式的影响 材料的应力状态会对它们的破坏形式产生影响，当然 材料的破坏还与 温度、加载速度、冲击载荷和交变应 力 等方面有关系。 材料在简单应力状态下的强度可通过试验加以测定。 但是材料在 复杂应力状态 下的强度，则 不可能总是由试 验来测定 。因而需要通过对材料破坏现象的观察和分析 寻求材料强度破坏的规律。 人们根据长期的实践和大量 的试验结果，对材料失效的原因提出了各种不同的假说， 通常将

13、这些假说称为 强度理论 。 1）脆性断裂的强度理论 分为最大拉应力理论和最大伸长线应变理论。 第五节 强度理论的概念 1.强度理论的概念 2.几种常用的强度理论 （ 1）最大拉应力理论（第一强度理论）。 最 大拉应力 是引起材料断裂的主要因素。 无论材料 处于何种应力状态，只要最大拉应力 1达到材料在轴向 拉伸试验中发生脆性断裂时的强度极限 jx，材料即发 生断裂破坏。 即材料断裂破坏的条件为 jx1 相应的 强度条件 为 式中， 为对应于脆性断裂的许用拉应力， jx/n， 式中 n为安全因数。 1 （ 2） 最大伸长线应变理论（第二强度理论）。 最 大拉应变 是引起材料断裂的主要因素。 无论

14、材料 处于何种应力状态，只要最大拉应变 1达到材料在轴向 拉伸试验中发生脆性断裂时的极限拉应变值 jx，材料即 发生断裂破坏 。即材料断裂破坏的条件为 jx1 )(1 3211 E 复杂应力状态下的最大拉应变为 而材料在单向拉伸断裂时的最大拉应变为 E jx jx jx321 )( 考虑安全因数后，第二强度理论的 强度条件 为 则材料断裂破坏的条件可改写为 )( 321 当 脆性材料处于双向拉伸 -压缩应力状态，且应力 值不超过拉应力值时，该理论与试验结果基本符合。但 对于脆性材料双向受拉或受压的情况，该理论与试验结 果却完全不符。 （ 1）最大 切应力 理论（第三强度理论）。 最 大切应力

15、是引起材料屈服的主要因素。 无论材料 处于何种应力状态，只要最大切应力 max达到材料在单 向拉伸屈服时的最大切应力 jx ，材料即发生屈服破坏 。即材料屈服破坏的条件为 jxmax tt 复杂应力状态下的最大切应力为 2 31 m a x 2）塑性屈服的强度理论 分为最大切应力理论和形状改变比能理论。 而材料单向拉伸屈服时的最大切应力则为 2 s jx t 考虑安全因数后， 第三强度理论 的 强度条件 为 则材料屈服破坏的条件可改写为 s 31 31 这 一理论与试验符合较好，比较满意地解释了塑性 材料出现屈服的现象，因此在工程中得到广泛应用。但 对于三向等值拉伸情况，按该理论分析，材料将永

16、远不 会发生破坏，这与实际情况不符。 构件因其形状和体积发生改变而在其内部积蓄的能 量，称为变形能。通常将构件单位体积内所积蓄的变形 能，称为 比能 。比能可分为 形状改变比能 和 体积改变比 能 两部分 。 该理论认为 形状改变比能 是引起材料屈服的主要因 素。 无论材料处于何种应力状态，只要形状改变比能 Ud 达到材料在单向拉伸屈服时的形状改变比能极限值 Udu ，材料即发生塑性屈服破坏 。即材料屈服破坏的条件为 （ 2）形状改变比能理论 （第四强度理论）。 d j xd UU 而材料单向拉伸屈服时的形状改变比能极限值为 ： 考虑安全因数后， 第四强度理论 的 强度条件 为 则材料屈服破坏

17、的条件可改写为 三向应力状态下的形状改变比能为 )()()(61 213232221d EU 2 sdu 3 1 EU s213232221 )()()(21 )()()(21 213232221 需要指出的是， 破坏形式不但与材料性质有关，还 与应力状态等因素有关 。 例如由低碳钢制成的等直杆处 于单向拉伸时，会发生显著的塑性流动；但当它处于三 向拉应力状态时，会发生脆性断裂。低碳钢制圆截面杆 在中间切一条环形槽，当该杆受单向拉伸时，直到拉断 时，也不会发生明显的塑性变形，最后在切槽根部截面 最小处发生断裂，其断口平齐，与铸铁拉断时的断口相 仿，属脆性断裂。这是因为在截面急剧改变处有应力集

18、中，属三向拉应力状态。相应的切应力较小，不易发生 塑性流动之故。又如大理石在单向压缩时，其破坏形式 为脆性断裂；而处于双向不等压应力状态时，却会显现 出塑性变形。 3.强度理论的选用 具体可以归结为如下四点： （ 1）脆性材料，当最小主应力大于等于零时，使用第一理论； （ 3）简单变形时，一律用与其对应的强度准则。如扭转等要求 （ 2）塑性材料，当最小主应力大于等于零时，使用第一理论； tt m a x （ 4）破坏形式还与温度、变形速度等有关。 当最大主应力小于等于零时，使用第三或第四理论。 其他应力状态时，使用第三或第四理论。 。 本章小结 1.从受力杆件中围绕一点取出一个边长为无限小的正

19、六面 体，所截取出来的单元体中剪应力为零的平面称为主平面。 主平面上的正应力称为主应力。正应力以拉应力为正，压 应力为负；切应力以绕单元体顺时针转动为正，逆时针为 负。 2.多数构件受力时的危险点均处于二向应力状态。在进行 强度计算时，通常需要确定在危险点处的主应力。 （ 1）任意斜截面上的应力为 t 2s i n2c o s22 xyyxyx tt 2c o s2s i n2 xyyx 本章小结 （ 2）极值应力为 极值正应力 极值切应力 22 m i n m a x ) 2(2 xy yxyx t 22 m i n m a x ) 2 ( xyyx t t t 本章小结 3.在受力构件的空

20、间应力状态的单元体上可以找到三对互 相垂直的平面，在这些平面上而只有正应力，没有切应力。 按这样用三对平面截取的单元成为空间应力状态的主单元 体，相应的三个正应力成为主应力。 4. 试件的应力达到屈服点后发生明显塑性变形，使其失去 正常的工作能力的破坏称为塑性屈服。受拉伸或扭转时在 未产生明显的塑性变形情况下就突然断裂的破坏称为脆性 断裂。 本章小结 5.四种常用的强度理论 （ 1）有关脆性断裂的强度理论 最大拉应力理论（第一强度理论） 最大伸长线应变理论（第二强度理论） （ 2）有关塑性屈服的强度理论 最大切应力理论（第三强度理论） 形状改变比能理论（第四强度理论） 上述介绍的四种强度理论可写成统一形式 )4,3,2,1( iri 11 2 1 2 3 3 1 3 2 2 2 4 1 2 2 3 3 1 () 1 ( ) ( ) ( ) 2 r r r r 谢谢大家！