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1、S FW=|F|s|cos 根据功的计算根据功的计算,我们定义了平面两向量的我们定义了平面两向量的数量积运算数量积运算.一旦定义出来一旦定义出来,我们我们发现这种运发现这种运算非常有用算非常有用,它能解决有关它能解决有关长度和角度长度和角度问题问题.回回 顾顾1)1)两个向量的夹角的定义两个向量的夹角的定义:O OA AB Ba a b b 知知 新新类似地，可以定义空间向量的类似地，可以定义空间向量的数量积数量积两个向量的夹角是惟一确定的！两个向量的夹角是惟一确定的！2 2）两个向量的数量积）两个向量的数量积注注:两个向量的数量积是数量，而不是向量两个向量的数量积是数量，而不是向量;规定规定
2、:零向量与任意向量的数量积等于零零向量与任意向量的数量积等于零.abA1 1B1 1BAabA1 1B1 1BA数量积数量积 等于等于 的长度的长度 与与 在在 的方向上的投影的方向上的投影 的乘积的乘积.baaabacosb3)3)空间两个向量的数量积性质空间两个向量的数量积性质注：注：性质性质是证明两向量垂直的依据；是证明两向量垂直的依据；性质性质是求向量的长度（模）的依据是求向量的长度（模）的依据.4)4)空间向量的数量积满足的运算律空间向量的数量积满足的运算律注：注：向量的数量积运算类似于多项式运算向量的数量积运算类似于多项式运算,平方平方差公式、完全平方公式、十字相乘等均成立。差公式
3、、完全平方公式、十字相乘等均成立。如如果不能，请举出反例果不能，请举出反例能能得到得到吗？吗？由由,对于三个均不为对于三个均不为0 0 的的数数a,b,c,若若ab=ac,则则b=c.对于向量对于向量,abcbacacb.不能，例如向量不能，例如向量 与向量与向量 都垂都垂直时，有直时，有 而未必有而未必有acb,caba.cb对于三个均不为对于三个均不为0的数的数 若若 则则 对于向量对于向量 若若 能否能否写成写成 也就是说也就是说向量有除法吗？向量有除法吗？,cba,cab).(acbbca或,bakba?)(akbbka或对于三个均不为对于三个均不为0的数的数 对于向量对于向量 成立吗
4、？也就成立吗？也就是说，向量的数量积满足结是说，向量的数量积满足结合律吗？合律吗？,cba).()(bcacab若,cba)()(cbacba222222)()()()3)()()4)()a bcab cpqp qpqpqpq 135 ADFCBE1(2)(3)(4)图间边条边对线长点别点计（）3.如3.如：已已知知空空四四形形的的每每和和角角都都等等于于1，1，、分分是是、的的中中。算算：ABCDEFABADEF BAEF BDEF DCEF AC4.DCBDABCAABCDA B C D 4AB 3,5,90,60ADAABADBAADAA AC 已知线段已知线段 、在平面、在平面 内，线
5、段内，线段 如果，求、之间的距离如果，求、之间的距离.ABBD BDAB AC ,ABaBDbACcCDcab CABD解：解：22222222|()|CDCAABBDCAABBDabc 222CDabc例例1、已知棱长为1的正三棱锥O-ABC，E，F分别是AB，OC的中点，试求 所成角的余弦值.BFOE,OABCEFP92.1.如图，在三棱柱 中，若 则 所成角的大小 为多少？111CBAABC,21BBAB BCAB11与ABC1A1B1CD 另外另外,空间向量的运用还经常用来判定空间垂直关系空间向量的运用还经常用来判定空间垂直关系,证两直线证两直线垂直线常可转化为证明以这两条线段对应的向
6、量的数量积为零垂直线常可转化为证明以这两条线段对应的向量的数量积为零.P O A la 证明：证明：如图如图,已知已知:,POAOllOA射射影影且且求证：求证：lPA 在直线在直线l上取向量上取向量 ,只要只要证证a 0a PA ()0.a PAaPOOAa POa OA ,aPAlPA 即即.为为 P O A la 0,0,a POa OA 逆命题成立吗?P O A la 分析分析:同样可用向量同样可用向量,证明思路几乎一样证明思路几乎一样,只只不过其中的加法运算不过其中的加法运算用减法运算来分析用减法运算来分析.分析：要证明一条直线与一个平面分析：要证明一条直线与一个平面垂直垂直,由直线
7、与平面垂直的定义可由直线与平面垂直的定义可知知,就是要证明这条直线与平面内就是要证明这条直线与平面内的的任意一条直线任意一条直线都垂直都垂直.例例3(试用试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理向量方法证明直线与平面垂直的判定定理)已知直线已知直线m,n是平面是平面 内的两条相交直线内的两条相交直线,如果如果 m,n,求证求证:.lll lmngm g m l 取已知平面内的任一条直线取已知平面内的任一条直线 g ,拿相关直线的方拿相关直线的方向向量来分析向向量来分析,看条件可以转化为向量的什么条件看条件可以转化为向量的什么条件?要要证的目标可以转化为向量的什么目标证的目标可以转化为向量的什么
8、目标?怎样建立向量怎样建立向量的条件与向量的目标的联系的条件与向量的目标的联系?共面向量定理共面向量定理,有了有了!lmngn g m l,gxmyn ,l gxl myl n 0,0,l ml m 0,.l glg 即即,lgll 即即 垂垂直直于于平平面面 内内任任一一直直线线.证证:在在 内作不与内作不与m,n重合的任一直线重合的任一直线g,在在 ,l m n g 上取非零向量上取非零向量 因因m与与n相交相交,故向量故向量m,n,l m n g 不平行不平行,由共面向量定理由共面向量定理,存在唯一实数存在唯一实数 ,使使 (,)x yOACB()|cos|cos|cos证证明明：因因为为OA BCOA OCOBOA OCOA OBOAOCOAOBOAOB|cos0OAOB OABCOABCOBOCAOBAOCOABC 7 7、已已知知空空间间四四边边形形，求求证证：6、NMABDC证明：因为证明：因为MNMAADDN 22()111()2220AB MNAB MAADDNAB MAAB ABAB DNaaAB BCBD MNAB同理，同理，MNCD ABCDaMNABCDMNABMNCD8 8、已已知知空空间间四四边边形形的的每每条条边边和和对对角角线线的的长长都都等等于于，点点、分分别别是是边边、的的中中点点。求求证证：，。7、a b a b,a b
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