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1、3.3 泰勒泰勒(Taylor)级数展开级数展开一、定理一、定理(泰勒定理泰勒定理)：设设f(z z)在以在以z z0为圆心的圆域为圆心的圆域CR内解析，则对于圆内任意内解析，则对于圆内任意z z点，点，f(z z)可展开为幂级数可展开为幂级数其中其中 CR1为圆为圆CR内包含内包含z z且与且与CR同心的圆同心的圆00)()(kkkzzazf!)()()(210)(101kzfdzfiakCkkR证明：证明：由柯西公式由柯西公式将将 展开为幂级数展开为幂级数 且且1)(21)(RCdzfizfz1)/()(111)()(1100000zzzzzzzz100zzz00000)/()(11kkz
2、zzzzz0100)()(1kkkzzzz代入柯西公式，逐项积分代入柯西公式，逐项积分 的每一项都是的每一项都是z z的解析函数，且在的解析函数，且在其收敛圆内任一同心闭圆上一致收敛。其收敛圆内任一同心闭圆上一致收敛。)|(|)(!)()()(21)()(0000)(10001RzzzzkzfdzfizzzfkkkCkkkR00)(kkkzza讨论：讨论：1.收敛范围：收敛范围：对给定对给定z z0点，找点，找f(z z)最靠近最靠近z z0的奇点的奇点z z1，一般，一般 即即|z z1-z z0|为收敛半径。为收敛半径。2.解析函数的又一充要条件：解析函数的又一充要条件：f(z z)在区域
3、在区域B内解析，当且仅当内解析，当且仅当f(z z)在在B内任一点内任一点的某邻域内可展开成幂级数。的某邻域内可展开成幂级数。3.展开系数的唯一性。展开系数的唯一性。二、将函数展开成泰勒级数的方法二、将函数展开成泰勒级数的方法泰勒展开定理本身提供了一种展开方法，即求出泰勒展开定理本身提供了一种展开方法，即求出f(n)(z z0)代入即可，这种方法称为代入即可，这种方法称为直接展开法直接展开法。当当f(z z)较复杂时，求较复杂时，求f(n)(z z0)比较麻烦，根据泰勒比较麻烦，根据泰勒展开式的唯一性，通常用展开式的唯一性，通常用间接展开法间接展开法，即利用基，即利用基本展开公式及幂级数的代数
4、运算、代换、逐项求本展开公式及幂级数的代数运算、代换、逐项求导或逐项积分等将函数展开。导或逐项积分等将函数展开。初等函数幂级数展开式举例：初等函数幂级数展开式举例：例例1：将：将f(z z)=ez z在在z z=0处展开处展开 f(z z)=ez z在复平面上解析在复平面上解析(整函数整函数)例例2：将：将cosz z、sinz z在在z z=0处展开处展开 利用利用ez z的展开式，可得的展开式，可得!1!)0()(kkfakk.!.!3!21 !)()(32000kzzzzkzzzaezfkkkkkkz00!)(!)(212)cos(kkkkizizkizkizeez奇次幂全部消去奇次幂全
5、部消去同理同理)|(|)!2()1()cos(02zkzzkkk)|(|)!12()1()!12(1 !)(!)(212)sin(0120121200zkzkziikizkiziieezkkkkkkkkkkiziz例例5：把函数：把函数 表示成形如表示成形如 的的幂级数，其中幂级数，其中a、b是不相等的常数。是不相等的常数。则当则当 时，有时，有0)(nnnazabz 1abazababazababazbz111111 )()(111abaz.1112nabazabazabazabaz.)()(1.)()(1)()(1111232nnazabazabazababbz 收敛半径为收敛半径为R=|
6、b-a|，收敛圆为，收敛圆为|z z-a|b-a|例例3：f(z z)=lnz z，在，在z z0=1处展开处展开 f(z z)=lnz z是多值函数，如理解为定义在黎曼是多值函数，如理解为定义在黎曼 面上，则可看成单值解析函数。面上，则可看成单值解析函数。支点为：支点为：0，z z0=1不是支点，以不是支点，以z z0=1为中心展开时，邻域为中心展开时，邻域 内不能包含支点，这样各单值分支相互独立，内不能包含支点，这样各单值分支相互独立，各自可看成单值解析函数。各自可看成单值解析函数。离离z z0=1最近的支点为最近的支点为z z=0收敛半径取收敛半径取R=1，收敛圆为，收敛圆为|z z-1
7、|1而而zz1)(ln)1|1(|)1()1()1()1(11100zzzzzkkkkkCzkdzzdzzzkkkkkk010)1(11)1()1()1(1ln令令z z=1=1代入，得代入，得C=ln1=1=ln|1|+|1|+n2i=n2i (n=0,1,2，.).)其中其中n=0时为主值时为主值例例4：arctgz z，在，在z z0=0点展开点展开)1|1(|)1(1)1(2ln01zzkinzkkk1|)1(11)(022zzzzfkkk1|121)1()1(11012202zCzkdzzdzzarctgzkkkkkk1|121)1(012zzkkarctgzkkk 令令z z=0，
8、得，得C=f(0)=)=arctg0=k例例5：函数函数 在在z z0=0点展开点展开 在在|z z|1 1内解析内解析 将两式按对角线相乘，得将两式按对角线相乘，得zez1zez1|.!.!3!2132zkzzzzekz1|.11132zzzzzzk1|.!31!21!111 !21!111!1111132zzzzzez例例6：把函数把函数 展开成展开成z z的幂级数，即在的幂级数，即在z z0=0点展开成泰勒级数。点展开成泰勒级数。有一个奇点有一个奇点z z=-1 R=|0-(-(-1)|)|=1 由由 可知：可知：2)1(1z2)1(1)(zzf1|.11132zzzzzzn两边求导！两边求导！即：即：1|.)1(.321)1(1122znzzzznn1|.)1(.321)1(11122znzzzznn1|.)1(.1 )(111132zzzzzzznn
泰勒Taylor级数展开
