切比雪夫1型滤波器讲解

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1、目录1课题描述12 设计原理12.1滤波器的分类12.2模拟滤波器的设计指标12.3切比雪夫1型滤波器22.3.1切比雪夫1型滤波器的设计原理32.3.2切比雪夫1型滤波器的设计步骤33 脉冲响应不变法3.1脉冲响应不变法原理 64设计内容64.1设计步骤64.2用MATLAB编程实现 64.3设计结果分析105总结106参考文献101课题描述数字滤波器是数字信号处理的重要工具之一，它通过数值运算处理改变输 入信号所含频率成分的相对比例或者滤出某些频率成分的数字器件或程序，二 数字滤波器处理精度较高，体积小，稳定，重量轻，灵活，不存在阻抗匹配问 题，可以实现模拟滤波器无法实现的特殊功能。故本书

2、课题使用MATLAB信号 处理箱和运算用切比雪夫法设计数字低通滤波器。利用脉冲响应不变法设计切比雪夫1数字低通滤波器，通带截止频率 100hz，阻带截止频率150Hz，采样频率1000hz，通带最大衰减为0.5dB，阻 带最小衰减为10dB，画出幅频、相频响应曲线，并设计信号验证滤波器设计的正确性。设计原理2.1. 滤波器的分类(1) 从功能上分；低、带、高、带阻。(2) 从实现方法上分:FIR、IIR(3) 从设计方法上来分：Chebyshev(切比雪夫)，Butterworth (巴特 沃斯)(4) 从处理信号分：经典滤波器、现代滤波器2.2模拟滤波器的设计指标设ha( jQ)是一个模拟滤

3、波器的频率响应，则基于平方幅度响应J (Q) =Ha(jQ)的低通滤波器技术指标为：0W| Ha (jQ) | W1/A”2,QsW| QI其中为通带波动系数，pQ和sQ是通带和阻带边缘频率。A为阻带衰减系数从图知必须满足L 其中参数e和A是数字滤波器指标2.3切比雪夫1型滤波器2.3.1 切比雪夫滤波器介绍在巴特沃兹滤波器中，幅度响应在通带和阻带内都是单调的。因此，若滤波 器的技术要求是用最大通带和阻带的逼近误差来给出的话，那么，在靠近通 带低频端和阻带截止频率以上的部分都会超出技术指标。一种比较有效的途 径是使逼近误差均匀地分布于通带或阻带内，或同时在通带和阻带内都均匀 分布，这样往往可以

4、降低所要求的滤波器阶次。通过选择一种具有等波纹特 性而不是单调特性的逼近方法可以实现这一点。切比雪夫型滤波器就具有这 种性质：其频率响应的幅度既可以在通带中是等波纹的，而在阻带中是单调 的（称为I型切比雪夫滤波器），也可以在通带中是单调的，而在阻带中是等 波纹的（称为II型切比雪夫滤波器）。I型切比雪夫滤波器的幅度平方函数是期间|其中隹|1。而=是滤波器在截止频率M的放大.其中隹|1。而是滤波器在截止频率M的放大率（注意：常用的以幅度下降3分贝的频率点作为截止频率的定义不适 用于切比雪夫滤波器!）从定义切比雪夫多项式可以直接得出由Tn (x)和Tn-1 (x)求Tn+1 (x) 的递推公式。将

5、三角恒等式得 Tn+1 (x) =2 (x) T (x) -Tn-1 (x)当0x1时，cos-是虚数， 所以Tn(x)像双曲余弦一样单调地增加；I Hn(w) I对于0Ww/w0W1呈现 出在1和1/ (2 ”2)之间的波动；而对于w/w01单调地减小。需要用 三个参量来确定该滤波器： , w0和N。在典型的设计中，用容许的通带 波纹来确定，而用希望的通带截止频率来确定w0。然后选择合适的阶 次n,以便阻带的技术要求得到满足。2.3.2切比雪夫1型滤波器的设计原理切比雪夫滤波器(又译车比雪夫滤波器)是在通带或阻带上频率响应幅度等波纹 波动的滤波器。在通带波动的为“I型切比雪夫滤波器”，在阻带

6、波动的为“II 型切比雪夫滤波器”。切比雪夫滤波器在过渡带比巴特沃斯滤波器的衰减快，但 频率响应的幅频特性不如后者平坦。切比雪夫滤波器和理想滤波器的频率响应曲 线之间的误差最小，但是在通频带内存在幅度波动。切比雪夫I型为例介绍其设计原理 幅度平方函数用I H(j ) |表示为小于1的正数，表示通带内幅度波动的程度，越大，波动幅度也 越大。Qp称为通带截止频率。令入二Q/Qp，称为对Qp的归一化频率。定义 允许的通带内最大衰减a p用下式表示定义允许的通带内最大衰减pa用下式表示a p=10lg max I Ha(j Q) I ”2/ minI Ha(j Q) I ”2 I Q IWQp式中 m

7、ax I Ha(j Q) I ”2=1min I Ha(j Q) I ”2=1/(1+ ”2)因此 a p= 10lg(1+ ”2) ”2=10”(0.1a p)-1这样，可以根据通带内最大衰减a p，可求出参数。阶数N影响过渡带的宽 度，同时也影响通带内波动的疏密，因为N等于通带内的最大值和最小值的总个 数。设阻带的起点频率为Qs，则有令 4 =T 由 & JCv（2f） = ch（rMf） = -刊（沦）1可以解出 arch I -1*=区（沦）m心）一pQ =Q ch arch -1 r卜血（E 3dB截止频率用Q表习%g）r=%按照2-3-1）式，有（1 I）Q =Q ch 一arch

8、 3 E）经过一系列推论得归一化系统函数为GP)=Umi去归一化的系统函数为%（s）=Gj（） v =V-j=i2.3.3切比雪夫低通滤波器的设计步骤（1）确定低通滤波器的技术指标：边带频率Q P，它们满足gp=IOlg17油Mg） = 10Ig1网 W4）（2）求滤波器阶数N和参数8archk1N =archk.先求出1/k1，再求出阶数N，取符合条件的N的最小整数。（3）求归一化系统函数Ga（p）（4）将去归一化，得到实际的Ha（s）乩= G（p）%函数说明:用MATLAB设计切比雪夫1型低通滤波器(1) z,p,k=cheb1ap(N,Rs)该格式用于计算N阶切比雪夫1型归一化模拟滤波器

9、的零极点和增益因子， 返回长度为N的列向量Z和P，分别给出N个零点和极点的位置。Rs是阻带最小 衰减。(2) N,wso=cheb1ord(wp,ws,Rp,As)该格式用于计算切比雪夫1型数字滤波器的阶数N和阻带截止频率wso,调 用参数分别为数字滤波器的通带频率和阻带边界频率的归一化值。(3) N,wso=cheb1ord(wp,ws,Rp,As)该格式用于计算切比雪夫1型模拟滤波器的阶数N和阻带频率wso。wp.ws 是实际模拟角频率。(4) B,A=cheby1(N,Rs,wso, ftype )该格式用于计算N阶切比雪夫1型数字滤波器系统函数的分子和分母的多项 式系数向量B和A。调用

10、参数N和wso分别为切比雪夫1型数字滤波器的阶数和 阻带截止频率的归一化值。(5) B,A=cheby1(N,Rp,wso, ftype， s)该格式用于计算N阶切比雪夫1型模拟滤波器系统函数的分子和分母多项式 系数向量B和A。调用参数N和wso分别为切比雪夫1型模拟滤波器的阶数和阻 带截止频率的归一化值。Impinvar功能：用“脉冲响应不变法”将模拟滤波器离散化。BZ,AZ=impinvar(B,A,Fs)Plot(X,Y)功能：绘制线性二维图形grid on功能：对当前坐标系添加主要网格线。3脉冲响应不变法脉冲响应不变法原理脉冲响应不变法是实现模拟滤波器数字化的一种直观而常用的方法。它特

11、别 适合于对滤波器的时域特性有一定要求的场合。脉冲响应不变法的核心原理是通过对连续函数ha(t )等间隔采样得到离散序 列ha(nT)。令h(n)= ha(nT)，T为采样间隔。它是一种时域上的转换方法。 一个模拟滤波器的传递函数可以用有理分式表达式表示为：tj a + as+.+a SmH (s) = -7o 71TMab + bs+.+b Sn0 1N(3-1)通过反拉普拉斯变换我们就可以得到它的冲激相应：h (t)= L-1：H(s)(3-2)脉冲响应不变法就是要保证脉冲响应不变，即：h(n) = h (nT)(3-3)对上式的冲激相应序列以n)作z变换，就可以得到数字滤波器的传递函数：

12、H ( Z ) = ZT h(nT)(3-4)一般来说，H(s)的分母多项式阶次总是大于分子多项式的阶次。假定H(s) 的没有多重极点，则式(1)就可分解为：。 v AH (s) = v i=1(3-5)式中S，A .均为复数，S是H (s)的极点。其拉氏变换为 i ii ah (t) = lLAesTu(n)ai=1 i一般来说，H(s)的分母多项式阶次总是大于分子多项式的阶次。数字滤波器的传递函数H(z)经过合并简化，成为一般形式的有理分式传递函数H ( z ) = % 十 七 Z + + 将 t d + d z-1 +. + d z-N(3-6)在讨论采样序列z变换与模拟信号拉氏变换之间

13、关系的有关章节中，我们已 经知道H (Z )1= 1 片 H (s + j 寿 K)Z=esT TaTK=s(3-7)按照z= e ST的关系，每一个s平面上宽度为2兀/T的水平条带将重迭映射到z平面上。因此脉冲响应不变法将，平面映射到2平面，不是一个简单的一一对 应的关系。对于高采样频率(T小)的情况，数字滤波器在频域可能有极高的增益。为此我们采用H(z)空-T_(3-8)1 - es ti=1h(n) = Th (nT) = ETAesw(n)(3-9)i = 1在脉冲响应不变法设计中，模拟频率与数字频率之间的转换关系是线性的 (s=q*T)。同时，它可以保持脉冲响应不变，h(t) = h

14、 (nT)。因此，这一方法往 往用于低通时域数字滤波器设计及相应的模拟系统数字仿真设计。4实验内容 4.1设计步骤(1) 按一定规则将数字滤波器的技术指标转换为模拟低通滤波器的技术指标；(2) 根据转换后的技术指标使用滤波器阶数函数，确定滤波器的最小阶数N和 截止频率Wc；(3) 利用最小阶数N产生模拟切比雪夫低通滤波原型。(4) 利用冲激响应不变法或双线性不变法把模拟切比雪夫滤波器转换成数字切 比雪夫低通滤波器。4.2试验程序 低通滤波器程序 fp=100;fs=150; Rp=0.5;Rs=10; Fs=1000;Wp=2*pi*fp;Ws=2*pi*fs; N,wc=cheb1ord(W

15、p,Ws,Rp,Rs,s);%计算阶数 N 和截止频率 wcN wc z,p,k=cheb1ap(N,Rp); %计算系统函数零极点和增益 Bap,Aap=zp2tf(z,p,k);%将系统函数的零极点转化为系统函数一般形式的系数 b,a=lp2lp(Bap,Aap,wc);%将模拟低通滤波器原型，转换为模拟低通滤波器bz,az=impinvar(b,a,Fs); %采用脉冲响应不变法，将模拟低通滤波器，转 换为数字低通滤波器 figure(1) H,W=freqz(bz,az,Fs); %计算频率H和频率响应W subplot(2,1,1),plot(W/pi,20*log10(abs(H)

16、 xlabel(幅频/Hz);ylabel(幅度/dB);grid on; subplot(2,1,2),plot(W/pi,180/pi*unwrap(angle(H) xlabel(相频/Hz);ylabel(相位/o);grid on;族 MATLABFile Edit Debug Desktop WindowHelp0 若电幽GC警寸Current Directory:e:W1ATLAB7work |gShortcuts 回 How to Add 回 VWiats New fp=100;fs=150;Rp=O.5;Rs=10;Fs=1000;Wp=2*pi*fp;Ws=2*pi*fs;

17、N, wc =cheblord(Wp, Ws, Rp, Rs, s) ;%计算阶数N和截止频率wcNwcz, p, k=cheb 1 ap (N, Rp) ; %计算系统函数零极点和增益Bap, Aap=zp2tf (z, p, k) :%将系统函数的零极点转化为系统函数一般形式的系数b, a=lp21p(Bap, Aap, wc) ;%将模拟低通波波器原型，转换为模拟低通波波器bz, az=impinvar (b, a, Fs) ; %采用脉冲响应不变法，将模拟.低通波波器，转换为数字低通滤波器 figure (1)H, W=freqz (bz, az,Fs) ; %计算频率H和频率响应W

18、subplot(2, 1, 1), plot(W/pi, 20*logl0 (abs (H) xlabelC 幅频/Hz) :ylabelC 幅度/dB) ;grid on;subplot (2, L 2)3 plot (W/pi, 180/pi*unwrap (angle (H)Xlabel(, 相频/Hz) :ylabelC 相位/ / ) ；grid on;N =3 wc =628.3185验证滤波器的正确性程序figure(2);f1=50;n=150;m=0:(n-1);t=m/Fs;% 采样点数subplot(2,3,1)x=sin(2*pi*f1*t);plot(t,x);tit

19、le(f 1 输入信号);f2=200;x=sin(2*pi*f2*t);subplot(2,3,2)plot(t,x);title(f2 输入信号)；subplot(2,3,3)x=sin(2*pi*f1*t)+sin(2*pi*f2*t);plot(t,x);title(叠加后输入信号)；y=filtfilt(bz,az,x);subplot(2,3,4)plot(t,y);title(滤波之后的信号)subplot(2,3,5)plot(t,sin(2*pi*f1*t);title(希望输出的信号);A MATLAB:ile Edit Debug Desktop Window Help2

20、1法 盖路幽 GC 臀寸 篆 Current Directory:e:W1ATLAB7work | 二| 但Shortcuts 回 How to Add 回 Wnats New fp=100;fs=150;p=0. 5;Rs=10;7s=1000;Wp=2*pi*fp;Ws=2*pi*fs;N, wc =cheblord(Wp, Ws5 Rp, Rs, s) ;%计算阶数N和截止频牵wcVCz, p, k=cheblap (N, Rp) ; %计算系统函数零极点和增益Bap, Aap=zp2tf (z, p, k) ;%将系统函数的零极点转化为系统函数一般形式的系数b, a=lp21p(Bap

21、, Aap, wc) ;%将模概低通滤波器原型，转换为模报低通滤波器bz az=impinvar (b, a,Fs) ; %采用脉冲响应不变法，将模嘏低通滤波器，转换为数字低通滤波器 :igure(l)H, W=freqz (bz, az, Fs) : %计算频率H和频率响应Wsubplot(2, 1, 1), plot(W/pi, 20*log10(abs (H)dabel(幅频/Hz);ylabelC 幅度/dB) ;grid on;subplot(2, L 2)3 plot(W/pi, 180/pi*unwrap(angle(H)tlabelC 相频/Hz) ;ylabel(,相位/o)

22、 ;grid on;:igure(2);:l=50;=150;m=0: (n-1) ;t=m/Fs;%采样点数subplot (2, 3, 1)=sin(2*pi*fl*t);Jlot Ctx) ;leC f llw入信号);:2=200;=sin(2*pi*f2*t);subplot (2, 3, 2)31ot (tjx):titleCf2输入信号);subplot (2, 3, 3)=sin(2*pi*f1*t)+sin(2*pi*f2*t);:dot (t.,x) ;title(,输入信号);z=f iltf ilt (bz, az, x);subplot (2, 3,4)Jlot (t

23、,y) ;title(,滤波之后的信号)subplot (2, 3, 5)jlot (t, sin(2*pi*f l*t) :title( 希望输出的信号):Start |4.3实验结果分析求得阶数N=3，通带边界频率wc=628.3125,频率在0-100hz （0-0.2丸）完 全通过，在100-150hz （0.2丸-0.3丸）通过幅度递减，150hz （0.3丸-8）后被 截止。验证信号f1=50hz,f2=200hz,观察验证后的波形，可以看出f1通过，而f2 被截止，数字低通滤波器的阻带截止频率为150hz，所以设计的数字低通滤波器 符合技术指标5实验总结与体会通过对数字信号处理的

24、课程设计，熟悉了 MATLAB的运行环境，了解更多有关 于Matlab软件的知识，初步掌握了 MATLAB语言在数字信号处理中一些基本库函 数的调用和编写基本程序等应用；通过对数字低通滤波器的设计让我熟悉了滤波 器设计的一般原理，对滤波器有了一个感性的认识；学会了数字低通滤波器设计 的一般步骤；加深了对脉冲响应不变法的理解和认识。在设计的过程中，我也认识到了自己所学知识的不足。以前上课都是学一些 基本的东西，自以为知识掌握的很熟练，实际只是了解了最表面的东西，好多理 论只是不能很好的应用于实践，现在运用学到得的东西做出有实际应用价值的东 西,对所学知识点进一步的理解，并进行系统化。这也让我再次认识到知识是无 尽的，只有不断的充实自己、完善自己的知识理论体系，才能够更好的胜任自己 以后的工作。设计过程中知识的不足也让我更加坚定了终身学习的决心。6参考文献数字信号处理（第三版）高西全丁玉美MATLAB基础及应用（第三版） 于润伟朱晓慧MATLAB辅助现代工程数字信号处理（第二版）李益华