曲面及其方程ppt

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1、9.3 曲面及其方程 定义定义1.0),(zyxFSzyxo如果曲面 S 与方程 F(x,y,z)=0 有下述关系:(1)曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;则 F(x,y,z)=0 叫做曲面曲面 S 的的方程方程,曲面 S 叫做方程 F(x,y,z)=0 的图形图形.两个基本问题两个基本问题 :已知动点按照某种规律运动,求运动(2)坐标满足方程的点都在曲面 S 上,轨迹所产生的曲面方程.(2)已知方程时,研究它所表示的几何图形(必要时需作图).机动 目录 上页 下页 返回 结束 故所求方程为例例1.求动点到定点),(zyxM),(0000zyxM方程.特别,当M0在原点时,球面方程为解解

2、:设轨迹上动点为RMM0即依题意距离为 R 的轨迹xyzoM0M222yxRz表示上(下)球面.Rzzyyxx202020)()()(2202020)()()(Rzzyyxx2222Rzyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、球面及其方程一、球面及其方程例例2.研究方程042222yxzyx解解:配方得5,)0,2,1(0M此方程表示:说明说明:如下形式的三元二次方程(A 0)都可通过配方研究它的图形.其图形可能是的曲面.表示怎样半径为的球面.0)(222GFzEyDxzyxA球心为 一个球面球面,或点点,或虚轨迹虚轨迹.5)2()1(222zyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyz

3、二、柱面二、柱面引例引例.分析方程表示怎样的曲面.的坐标也满足方程222Ryx解解:在 xoy 面上，表示圆C,222Ryx222Ryx沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆圆故在空间222Ryx过此点作柱面柱面.对任意 z,平行 z 轴的直线 l,表示圆柱面圆柱面oC在圆C上任取一点,)0,(1yxMlM1M),(zyxM点其上所有点的坐标都满足此方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyzxyzol定义定义2.平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成的轨迹叫做柱面柱面.表示抛物柱面抛物柱面,母线平行于 z 轴;准线为xoy 面上的抛物线.z 轴的椭圆柱面椭圆柱面.xy

4、2212222byaxz 轴的平面平面.0 yx表示母线平行于 C(且 z 轴在平面上)表示母线平行于C 叫做准线准线,l 叫做母线母线.xyzoo机动 目录 上页 下页 返回 结束 xzy2l一般地,在三维空间柱面,柱面,平行于 x 轴;平行于 y 轴;平行于 z 轴;准线 xoz 面上的曲线 l3.母线柱面,准线 xoy 面上的曲线 l1.母线准线 yoz 面上的曲线 l2.母线表示方程0),(yxF表示方程0),(zyG表示方程0),(xzHxyz3l机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyz1l定义定义3.一条平面曲线三、旋转面三、旋转面 绕其平面上一条定直线定直线旋转一周所形成的曲面

5、叫做旋转面旋转面.该定直线称为旋转旋转轴，曲线成为旋转面的母线轴，曲线成为旋转面的母线例如例如:机动 目录 上页 下页 返回 结束 建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:故旋转曲面方程为,),(zyxM当绕 z 轴旋转时,0),(11zyf,),0(111CzyM若点给定 yoz 面上曲线 C:),0(111zyM),(zyxM1221,yyxzz则有0),(22zyxf则有该点转到0),(zyfozyxC机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考：思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？0),(:zyfCoyxz0),(22zxyf机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3

6、.试建立顶点在原点,旋转轴为z 轴,半顶角为的圆锥面方程.解解:在yoz面上直线L 的方程为cotyz 绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为cot22yxz)(2222yxazcota令xyz两边平方L),0(zyM机动 目录 上页 下页 返回 结束 xy例例4.求坐标面 xoz 上的双曲线12222czax分别绕 x轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.解解:绕 x 轴旋转122222czyax绕 z 轴旋转122222czayx这两种曲面都叫做旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为z机动 目录 上页 下页 返回 结束 总结总结(1)面上的曲线 和 面上的曲线 绕 轴旋转所形成的旋转面方程均

7、为Oxy(,)0f x y Oxz(,)0f x z x22(,)0f xyz(2)面上的曲线 和 面上的曲线 绕 轴旋转所形成的旋转面方程均为Oxz(,)0f x z Oyz(,)0f y z z22(,)0fxyz(3)面上的曲线 和 面上的曲线 绕 轴旋转所形成的旋转面方程均为Oyz(,)0f z y Oxy(,)0f x y y22(,)0fxzy四、空间曲线的一般方程四、空间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组0),(0),(zyxGzyxF2SL0),(zyxF0),(zyxG1S例如例如,方程组632122zxyx表示圆柱面与平面的交线 C.xzy1oC2

8、机动 目录 上页 下页 返回 结束 又如又如,方程组表示上半球面与圆柱面的交线C.022222xayxyxazyxzao机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线 C 的一般方程为消去 z 得投影柱面则C 在xoy 面上的投影曲线 C为消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程0),(0),(zyxGzyxF,0),(yxH00),(zyxH00),(xzyR00),(yzxTzyxCC机动 目录 上页 下页 返回 结束 zyxC1o例如例如,在xoy 面上的投影曲线方程为002222zyyx1)1

9、()1(1:222222zyxzyxC机动 目录 上页 下页 返回 结束 zxyo1C又如又如,所围的立体在 xoy 面上的投影区域为:上半球面和锥面224yxz)(322yxz0122zyx在 xoy 面上的投影曲线)(34:2222yxzyxzC二者交线.0,122zyx所围圆域:二者交线在xoy 面上的投影曲线所围之域.机动 目录 上页 下页 返回 结束 9.4 二次曲面 二次曲面二次曲面三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法截痕法 其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面二次曲

10、面.FzxEyxDxyCzByAx2220JIzHyGx(二次项系数不全为 0)机动 目录 上页 下页 返回 结束 zyx1 1.椭球面椭球面),(1222222为正数cbaczbyax(1)范围：czbyax,(2)与坐标面的交线：椭圆,012222zbyax,012222xczby 012222yczax机动 目录 上页 下页 返回 结束 与)(11czzz的交线为椭圆：1zz(4)当 ab 时为旋转椭球面;同样)(11byyy的截痕）（axxx11及也为椭圆.当abc 时为球面.(3)截痕:1)()(212221222222zcyzcxcbca机动 目录 上页 下页 返回 结束 z2.椭

11、圆锥面椭圆锥面(二次锥面二次锥面),(22222为正数bazbyax上的截痕为在平面tz 椭圆在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线.zxyo1)()(2222t byt axtz,xyz机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.双曲面双曲面(1)(1)单叶双曲面单叶双曲面by 1)1上的截痕为平面1zz 椭圆.时,截痕为22122221byczax(实轴平行于x 轴；虚轴平行于z 轴）1yy zxy),(1222222为正数cbaczbyax1yy 平面 上的截痕情况:机动 目录 上页 下页 返回 结束 双曲线:虚轴平行于x 轴）by 1)2时,截痕为0czax)(bby或by 1)

12、3时,截痕为22122221byczax(实轴平行于z 轴;1yy zxyzxy机动 目录 上页 下页 返回 结束 相交直线:双曲线:0(2)双叶双曲面双叶双曲面),(1222222为正数cbaczbyax上的截痕为平面1yy 双曲线上的截痕为平面1xx 上的截痕为平面)(11czzz椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:双曲线zxyo222222czbyax单叶双曲面11双叶双曲面P18 目录 上页 下页 返回 结束 4.抛物面抛物面(1)椭圆抛物面(p,q 同号)(2)双曲抛物面（鞍形曲面）zqypx2222zyx特别,当 p=q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.(p,q 同号)zyx机动 目

13、录 上页 下页 返回 结束 zqypx2222总结.二次曲面三元二次方程),(同号qp 椭球面1222222czbyax 抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面zqypx2222zqypx2222 双曲面:单叶双曲面2222byax22cz1双叶双曲面2222byax22cz1 椭圆锥面:22222zbyax机动 目录 上页 下页 返回 结束 5.化简二次方程判断曲面类型设三元二次方程的一般形式为2221122331213231232220a xa ya za xya xza yzb xb yb zc 令3 3123(),(,),(,)TTTijAAaux y zbb b b则上面方程可写为0TTu Aub uc因为A是实对称矩阵，所以存在正交阵Q，使得123(,)TQ AQdiag 作正交变换u=Qv，则123(,)0TTv diagvb Qvc 即2221 1213 11 1213 10 xyzd xd yd zc其中，111123(,),(,)TTvx y zb Qd dd例.化下面方程为标准方程，并指出它是何种曲面2221x yx zy z解：将方程写为矩阵形式:1TuA u其中，011101,(,).110TAuxyz根据例8-9可知，下式成立(1,1,2)TQ AQdiag其中，11126311126321063Q作正交变换u=Qv，则可得到22211121xyz单叶双曲面