12.2周期函数分解为傅里叶级数

《12.2周期函数分解为傅里叶级数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《12.2周期函数分解为傅里叶级数（32页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、12.2 12.2 周期函数分解为傅里叶周期函数分解为傅里叶级数级数一、周期函数一、周期函数f(t)=f(t+kT)T为周期函数为周期函数f(t)的周期，的周期，k=0，1，2，如果给定的周期函数满足狄里赫利条件，它就如果给定的周期函数满足狄里赫利条件，它就能展开成一个收敛的能展开成一个收敛的傅里叶级数傅里叶级数。电路中的非正弦周期量都能满足这个条件。电路中的非正弦周期量都能满足这个条件。)sin()cos()2sin()2cos()sin()cos()(11121211110tkbtkatbtatbtaatfkk1110)sin()cos(kkktkbtkaa二、傅里叶级数的两种形式二、傅里

2、叶级数的两种形式1、第一种形式、第一种形式式中：式中：K=1，2，32200)(1)(1TTTdttfTdttfTaTkdttktfTa01)cos()(22011)()cos()(1tdtktf)()cos()(111tdtktf221)cos()(2TTdttktfT系数的计算公式系数的计算公式1110)sin()cos()(kkktkbtkaatfTkdttktfTb01)sin()(22011)()sin()(1tdtktf)()sin()(111tdtktf221)sin()(2TTdttktfT1110)sin()cos()(kkktkbtkaatf)cos()2cos()cos(

3、)(12121110kkmmmtkAtAtAAtf110)cos(kkkmtkAA2、第二种形式、第二种形式A0称为周期函数的称为周期函数的恒定分量恒定分量（或直流分量）；（或直流分量）；A1mcos(1t+1)称为称为1次谐波次谐波（或基波分量），（或基波分量），其周期或频率与原周期函数相同；其周期或频率与原周期函数相同；其他各项统称为其他各项统称为高次谐波高次谐波，即即2次、次、3次、次、4次、次、3、两种形式系数之间的关系、两种形式系数之间的关系110)cos()(kkkmtkAAtf1110)sin()cos()(kkktkbtkaatf第一种形式第一种形式第二种形式第二种形式A0=a

4、022kkkmbaAak=Akmcoskbk=-Akmsink)arctan(kkkab4、傅里叶分解式的数学、电气意义、傅里叶分解式的数学、电气意义+-傅氏分解傅氏分解A0U1U2+-u(t)u(t)分解后的电源相当于无限个电压源串联分解后的电源相当于无限个电压源串联对于电路分析应用的方法是对于电路分析应用的方法是叠加定理叠加定理三、三、f(t)的频谱的频谱傅里叶级数虽然详尽而又准确地表达了周期傅里叶级数虽然详尽而又准确地表达了周期函数分解的结果，但函数分解的结果，但不很直观不很直观。为了表示一个周期函数分解为傅氏级数后包为了表示一个周期函数分解为傅氏级数后包含哪些频率分量以及各分量所占含哪

5、些频率分量以及各分量所占“比重比重”，用长度与各次谐波振幅大小相对应的线段，用长度与各次谐波振幅大小相对应的线段，按频率的高低顺序把它们依次排列起来，按频率的高低顺序把它们依次排列起来，得到的图形称为得到的图形称为f(t)的的频谱频谱。1、幅度频谱、幅度频谱各次谐波的振幅用相应线段依次排列。各次谐波的振幅用相应线段依次排列。2、相位频谱、相位频谱把各次谐波的初相用相应线段依次排列。把各次谐波的初相用相应线段依次排列。OAkmk14131211例：求周期性矩形信号的傅里叶级数展开式及其频谱例：求周期性矩形信号的傅里叶级数展开式及其频谱Of(t)t1tEm-Em2T2T解：解：f(t)在第一个周期

6、内的表达式为在第一个周期内的表达式为f(t)=Em-Em20Tt TtT2根据公式计算系数根据公式计算系数TdttfTa00)(10Of(t)t1tEm-Em2T2T2011)()cos()(1tdtktfakOf(t)t1tEm-Em2T2T)()cos()()cos(1211011tdtkEtdtkEmm011)()cos(2tdtkEm=02011)()sin()(1tdtktfbk)()sin()()sin(1211011tdtkEtdtkEmm011)()sin(2tdtkEm01)cos(12tkkEm)cos(1 2kkEm当当k为偶数时：为偶数时：cos(k)=1bk=0当当k

7、为奇数时：为奇数时：cos(k)=-1kEbmk4代入求得代入求得)5sin(51)3sin(31)sin(4)(111tttEmtf1110)sin()cos()(kkktkbtkaatf00a0ka当当k为偶数时：为偶数时：cos(k)=1bk=0当当k为奇数时：为奇数时：cos(k)=-1kEbmk4)5sin(51)3sin(31)sin(4)(111tttEmtfOf(t)Em-Em1t图形曲线分析图形曲线分析:Of(t)Em-Em1t取到取到11次谐波时合成的曲线次谐波时合成的曲线比较两个图可见，谐波项数取得越多，合比较两个图可见，谐波项数取得越多，合成曲线就越接近于原来的波形。成

8、曲线就越接近于原来的波形。Of(t)t1tEm-Em2T2T)5sin(51)3sin(31)sin(4)(111tttEmtff(t)=Em-Em20Tt TtT2假设假设 Em=1，1t=/2，得，得715131141取到取到11次谐波时，结果为次谐波时，结果为0.95;取到取到13次谐波时，结次谐波时，结果为果为1.05;取到取到35次谐波时，结果为次谐波时，结果为0.98,误差为误差为2%矩形信号矩形信号f(t)的频谱的频谱)5sin(51)3sin(31)sin(4)(111tttEmtfOAkmk171513113、频谱与非正弦信号特征的关系、频谱与非正弦信号特征的关系波形越接近正

9、弦波，波形越接近正弦波，谐波成分越少；谐波成分越少；f(t)=10cos(314t+30)OAkmk111、偶函数、偶函数f(t)=f(-t)纵轴对称的性质纵轴对称的性质f(t)Otf(t)Ot四、非正弦函数波形特征与展开式的系数之四、非正弦函数波形特征与展开式的系数之间的关系间的关系可以证明：可以证明：bk=01、偶函数、偶函数纵轴对称的性质纵轴对称的性质f(t)=f(-t)110)cos()(kktkaatf1110)sin()cos()(kkktkbtkaatf展开式中只含有余弦项分量和直流分量展开式中只含有余弦项分量和直流分量f(t)=-f(-t)原点对称的性质原点对称的性质f(t)O

10、tf(t)Ot2、奇函数、奇函数可以证明：可以证明：a0=0,ak=0原点对称的性质原点对称的性质f(t)=-f(-t)2、奇函数、奇函数11)sin()(kktkbtf1110)sin()cos()(kkktkbtkaatf展开式中只含有正弦项分量展开式中只含有正弦项分量满足满足 f(t)=-f(t+T/2),称为称为奇谐波函数奇谐波函数Of(t)tT2T3、奇谐波函数、奇谐波函数:f(t)=-f(t+T/2),叫做叫做 镜对称的性质镜对称的性质判断判断:利用镜对称的性质利用镜对称的性质 f(t)=-f(t+T/2)3、奇谐波函数、奇谐波函数可以证明：可以证明：a2k=b2k=0 )3sin

11、()3cos()sin()cos(13131111tbtatbtaf(t)=1110)sin()cos()(kkktkbtkaatf展开式中只含有奇次谐波分量展开式中只含有奇次谐波分量f(t)Ot判断下面波形的展开式特点判断下面波形的展开式特点f(t)是奇函数是奇函数展开式中只含有正弦分量展开式中只含有正弦分量f(t)又是奇谐波函数又是奇谐波函数展开式中只含有奇次谐波展开式中只含有奇次谐波)3sin()sin(1311tbtbf(t)=系数系数Akm与计时起点无关（但与计时起点无关（但k是有关的），是有关的），这是因为构成非正弦周期函数的各次谐波的振这是因为构成非正弦周期函数的各次谐波的振幅以

12、及各次谐波对该函数波形的相对位置总是一定的，幅以及各次谐波对该函数波形的相对位置总是一定的，并不会因计时起点的变动而变动；并不会因计时起点的变动而变动；因此，计时起点的变动只能使各次谐波的初相因此，计时起点的变动只能使各次谐波的初相作相应地改变。作相应地改变。由于系数由于系数ak和和bk与初相与初相k有关，所以它们也随计有关，所以它们也随计时起点的改变而改变。时起点的改变而改变。4、系数和计时起点的关系、系数和计时起点的关系由于系数由于系数ak和和bk与计时起点的选择有关，所以与计时起点的选择有关，所以函数是否为奇函数或偶函数可能与计时起点的选择函数是否为奇函数或偶函数可能与计时起点的选择有关

13、。有关。但是，函数是否为奇谐波函数却与计时起点但是，函数是否为奇谐波函数却与计时起点无关。无关。因此适当选择计时起点有时会使函数的分解因此适当选择计时起点有时会使函数的分解简化。简化。4、系数和计时起点的关系、系数和计时起点的关系例：已知某信号半周期的波形，在下列不同条件下例：已知某信号半周期的波形，在下列不同条件下画出整个周期的波形画出整个周期的波形Of(t)t1、只含有余弦分量、只含有余弦分量2、只含有正弦分量、只含有正弦分量3、只含有奇次谐波分量、只含有奇次谐波分量Of(t)t1、只含有余弦分量、只含有余弦分量f(t)应是偶函数应是偶函数关于纵轴对称关于纵轴对称Of(t)t2、只含有正弦分量、只含有正弦分量f(t)应是奇函数应是奇函数关于原点对称关于原点对称Of(t)t3、只含有奇次谐波分量、只含有奇次谐波分量f(t)应是奇谐波函数应是奇谐波函数镜象对称镜象对称