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1、第五节第五节 函数的极值与最大值函数的极值与最大值最小值最小值一、函数的极值及其求法一、函数的极值及其求法二、最大值最小值问题二、最大值最小值问题返回返回一、函数极值及其求法一、函数极值及其求法.)()(,)()(,;)()(,)()(,),(,),()(000000000的的一一个个极极小小值值是是函函数数就就称称均均成成立立外外除除了了点点任任何何点点对对于于这这邻邻域域内内的的的的一一个个邻邻域域如如果果存存在在着着点点的的一一个个极极大大值值是是函函数数就就称称均均成成立立外外除除了了点点任任何何点点对对于于这这邻邻域域内内的的的的一一个个邻邻域域如如果果存存在在着着点点内内的的一一个
2、个点点是是内内有有定定义义在在区区间间设设函函数数xfxfxfxfxxxxfxfxfxfxxxbaxbaxf 定义定义2004-4-10定理定理1 1(必要条件必要条件)定义定义.)()0)(的驻点的驻点做函数做函数叫叫的实根的实根即方程即方程使导数为零的点使导数为零的点xfxf 注意注意:.,)(是极值点是极值点但函数的驻点却不一定但函数的驻点却不一定点点的极值点必定是它的驻的极值点必定是它的驻可导函数可导函数xf函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得极值的使函数取得极值的点称为点称为极值点极值点.2004-4-10定理定理2 2(第一充分条件第一充分条件)
3、xyoxyo0 x0 x (是极值点情形是极值点情形)2004-4-10 xyoxyo0 x0 x 求极值的步骤求极值的步骤:);()1(xf 求导数求导数;0)()2(的根的根求驻点，即方程求驻点，即方程 xf;,)()3(判判断断极极值值点点在在驻驻点点左左右右的的正正负负号号检检查查xf .)4(求极值求极值(不是极值点情形不是极值点情形)2004-4-10例例1 1解解.593)(23的的极极值值求求出出函函数数 xxxxf963)(2 xxxf，令令0)(xf.3,121 xx得驻点得驻点列表讨论列表讨论x)1,(),3()3,1(1 3)(xf )(xf 00 极大极大值值极小极小
4、值值)3(f极小值极小值.22 )1(f极极大大值值,10)3)(1(3 xx2004-4-10定理定理3 3(第二充分条件第二充分条件)证证)1(xxfxxfxfx )()(lim)(0000,0 异号，异号，与与故故xxfxxf )()(00时，时，当当0 x)()(00 xfxxf 有有,0 时，时，当当0 x)()(00 xfxxf 有有,0 所所以以，函函数数)(xf在在0 x处处取取得得极极大大值值 同理可证同理可证(2).(2).2004-4-10例例2 2解解.)2(1)(32的极值的极值求出函数求出函数 xxf)2()2(32)(31 xxxf.)(,2不存在不存在时时当当x
5、fx 时，时，当当2 x;0)(xf时，时，当当2 x.0)(xf.)(1)2(的极大值的极大值为为xff.)(在在该该点点连连续续但但函函数数xf注意注意:函数的不可导点函数的不可导点,也可能是函数的极值点也可能是函数的极值点.2004-4-10返回返回oxyoxybaoxyabab.,)(,)(在在上的最大值与最小值存上的最大值与最小值存在在为零的点，则为零的点，则并且至多有有限个导数并且至多有有限个导数处可导，处可导，上连续，除个别点外处上连续，除个别点外处在在若函数若函数baxfbaxf二、最大值最小值问题二、最大值最小值问题2004-4-10步骤步骤:1.1.求驻点和不可导点求驻点和
6、不可导点;注意注意:如果区间内只有一个极值如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最则这个极值就是最值值.(最大值或最小值最大值或最小值)2 2 设设f(x)在在(a,b)内的驻点为内的驻点为 x1,x2,xn,则比较则比较f(a),f(x1),f(xn),f(b)的的大小大小,其中最大的便是其中最大的便是f(x)在在a,b上的上的最大值最大值,最小的便是最小的便是f(x)在在a,b上的最小值上的最小值2004-4-10例例3 3解解)1)(2(6)(xxxf.4,314123223上的最大值与最小值上的最大值与最小值的在的在求函数求函数 xxxy得得解方程解方程,0)(xf.1,221 xx计
7、算计算 )3(f;23 )2(f;34)1(f;7;142)4(f，最大值最大值142)4(f比较得比较得.7)1(f最小值最小值2004-4-10例例4 4 把一根直径为把一根直径为d的圆木锯成截面为矩形的梁的圆木锯成截面为矩形的梁（图（图3 31717）.问矩形截面的高问矩形截面的高h和宽和宽b应如何选择才应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大能使梁的抗弯截面模量最大.解解 由力学分析知道：矩形梁的抗弯截面模量为问题由力学分析知道：矩形梁的抗弯截面模量为问题261bhw 由图由图3 31717看出，看出，b b与与h h有下面的关系：有下面的关系：222bdh 因而因而)(6132bbdw
8、hbd图图3170)3(6122 bdw解得解得db31 由于梁的最大抗弯截面模量一定存在，而且在（由于梁的最大抗弯截面模量一定存在，而且在（0 0，d）内部取得；现在，内部取得；现在，在（在（0 0，d)内只有一个根内只有一个根0 w,31db 当当 时，时，w的值最大，这时，的值最大，这时，,31db 1:2:3:323231222222 bhddhdddbdh实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意:(1)(1)建立目标函数建立目标函数;(2)(2)求最值求最值;小）值小）值值即为所求的最（或最值即为所求的最（或最点，则该点的函数点，则该点的函数若目标函数只有唯一驻若目标函数只有唯一驻2004-4-10返回返回
五节函数极值与最大值最小值
