第2章测量误差与数据处理

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1、第二章第二章 测量误差与数据处理测量误差与数据处理 测量测量的目的是获取的目的是获取被测量的真实值被测量的真实值。但由于种种原因，例如，传感器本身性能不十但由于种种原因，例如，传感器本身性能不十分优良，测量方法不十分完善，外界干扰的影响等，分优良，测量方法不十分完善，外界干扰的影响等，都会造成被测参数的测量值与真实都会造成被测参数的测量值与真实值不一致，两者值不一致，两者不一致程度用不一致程度用测量误差测量误差表示。表示。2.1 2.1 误差的基本概念误差的基本概念 2.2 2.2 误差的基本性质与处理误差的基本性质与处理 2.3 2.3 最小二乘法与回归分析最小二乘法与回归分析2.1 2.1

2、 误差的基本概念误差的基本概念一、误差的定义及表示方法一、误差的定义及表示方法测量误差测量误差就是就是测量结果与被测量真值之间的差测量结果与被测量真值之间的差。LX 测量误差测量误差 测量结果测量结果 被测量的真值被测量的真值约定真值约定真值测量误差的测量误差的表示方法表示方法有多种，含义各异。有多种，含义各异。1 1、绝对误差、绝对误差 LX 注：注：采用绝对误差表示测量误差，不能很好说明测量质采用绝对误差表示测量误差，不能很好说明测量质量的好坏。量的好坏。例如，在温度测量时，绝对误差例如，在温度测量时，绝对误差=1=1，对体温测量来，对体温测量来说是不允许的，而对测量钢水温度来说却是一个极

3、好的说是不允许的，而对测量钢水温度来说却是一个极好的测量结果。测量结果。2 2、相对误差、相对误差：相对误差比较客观的反应测量的：相对误差比较客观的反应测量的准确性，通常用于衡量测量的准确度。准确性，通常用于衡量测量的准确度。注：由于被测量的真实值注：由于被测量的真实值L L无法知道，实际测量时用无法知道，实际测量时用 测量值测量值X X代替真实值代替真实值L L进行计算，这个相对误差进行计算，这个相对误差 称为称为标称相对误差标称相对误差。%100%100XL3 3、引用误差、引用误差引用误差引用误差是一种是一种相对误差相对误差，是仪表中通用的一种误差表示方，是仪表中通用的一种误差表示方法。

4、它是法。它是相对仪表满量程的一种误差相对仪表满量程的一种误差，又称满量程相对误差，又称满量程相对误差，一般也用百分数表示，即一般也用百分数表示，即 式中，式中，X Xm m为测量仪表的量程。为测量仪表的量程。测量仪表的精度等级是根据测量仪表的精度等级是根据最大引用误差最大引用误差来确定的。来确定的。例如，例如，0.50.5级表的引用误差的最大值不超过级表的引用误差的最大值不超过0.5%0.5%，1.01.0级表级表的引用误差的最大值不超过的引用误差的最大值不超过1%1%。%100mX二、误差的来源二、误差的来源1 1、装置误差：标准器、装置误差：标准器具具误差、仪器仪表误差、误差、仪器仪表误差

5、、附附件件误差。误差。2 2、环境误差、环境误差：基本误差、附加误差。基本误差、附加误差。3 3、方法误差、方法误差4 4、人员误差、人员误差三、误差的分类三、误差的分类 根据测量数据中的误差所呈现的规律，将误根据测量数据中的误差所呈现的规律，将误差分为三种，即差分为三种，即系统误差、随机误差和粗大系统误差、随机误差和粗大误差误差。这种分类方法便于测量数据处理。这种分类方法便于测量数据处理。1 1、系统误差系统误差：对同一被测量进行多次重复测量时（对同一被测量进行多次重复测量时（等精度测量等精度测量），），绝对值和符号保绝对值和符号保持不变持不变，或在条件改变时，或在条件改变时，按一定规律变化

6、的误差按一定规律变化的误差称为系统误差。例如，称为系统误差。例如，标准量值的不准确及仪表刻度的不准确而引起的误差。标准量值的不准确及仪表刻度的不准确而引起的误差。2 2、随机误差随机误差：对同一被测量进行多次重复测量时（对同一被测量进行多次重复测量时（等精度测量等精度测量），绝对值和符号不），绝对值和符号不可预知可预知的的随机变化，但就误差的总体而言，具有一定的随机变化，但就误差的总体而言，具有一定的统计规律性统计规律性的误的误差称为随机误差。差称为随机误差。3 3、粗大误差粗大误差：明显偏离测量结果的误差称为粗大误差，又称疏忽误差。这类误差是明显偏离测量结果的误差称为粗大误差，又称疏忽误差。

7、这类误差是由于测量者疏忽大意或环境条件的突然变化由于测量者疏忽大意或环境条件的突然变化产生产生的。对于粗大误差，首的。对于粗大误差，首先应设法判断是否存在，然后将其剔除。先应设法判断是否存在，然后将其剔除。2.2 2.2 误差的基本性质与处理误差的基本性质与处理一、一、随机误差随机误差 随机误差的概率分布随机误差的概率分布 1 1 随机误差的分布规律（正态分布）随机误差的分布规律（正态分布）对称性对称性：分布曲线关于纵坐标对称，表明绝对值相等的正、：分布曲线关于纵坐标对称，表明绝对值相等的正、负随机误差出现的机会相等。负随机误差出现的机会相等。单峰性单峰性：绝对值小的随机误差比绝对值大的随机误

8、差出现：绝对值小的随机误差比绝对值大的随机误差出现的概率大。的概率大。有界性有界性：测量（在一定的测量条件下）的随机误差总是有：测量（在一定的测量条件下）的随机误差总是有一定的界限而不会无限大。一定的界限而不会无限大。抵偿性抵偿性：由特征：由特征和和不难推出不难推出，当测量次数当测量次数nn时时，随机误差的代数和趋近于零随机误差的代数和趋近于零。该性质极为重要该性质极为重要，利用这一性利用这一性质建立的数据处理法可以有效的减少随机误差的影响质建立的数据处理法可以有效的减少随机误差的影响。（*）随机误差为：随机误差为：在大多数情况下，当测量次数足够多时，测量过程中产生在大多数情况下，当测量次数足

9、够多时，测量过程中产生的随机误差服从正态分布规律。正态分布的的随机误差服从正态分布规律。正态分布的概率密度函数概率密度函数为为22221)(eP式中式中，x xi i测量值；测量值；L L真值；真值；标准偏差（又称标准差、均方根偏差）；标准偏差（又称标准差、均方根偏差）；2 2方差。方差。Lxii2 2算数平均值和标准差算数平均值和标准差算数平均值算数平均值 对被测量进行等精度的对被测量进行等精度的n n次测量，得次测量，得n n个测量值个测量值x x1 1，x x2 2，x xn n，它们的算术平均值为，它们的算术平均值为 nn时，时，因此，因此，算术平均值是诸测量值中最可信赖的。算术平均值

10、是诸测量值中最可信赖的。残差：残差：niinxnxxxnx1211)(1xxviiLLnxnxniniinii)(11111标准差的特性与估计标准差的特性与估计 算术平均值是反映随机误差的分布中心，而标准差则反算术平均值是反映随机误差的分布中心，而标准差则反映随机误差的分布范围。映随机误差的分布范围。标准差标准差愈大，测量数据的分散范围愈大，测量数据的分散范围也愈大，所以也愈大，所以标准差标准差可以描述测量数据和测量结果的精度。可以描述测量数据和测量结果的精度。（注：（注：不同时的正态分布曲线）不同时的正态分布曲线）标准差标准差可由下式求取：可由下式求取：nnLxniinniin1212lim

11、lim)(在实际测量时，由于真值是无法确切知道的，用测量值在实际测量时，由于真值是无法确切知道的，用测量值的算术平均值代替之。的算术平均值代替之。用残余误差计算的标准差称为用残余误差计算的标准差称为标准差的估计值标准差的估计值s s,即即贝赛尔公式算得：贝赛尔公式算得：11)(1221nvnxxniniisi算术平均值的标准差算术平均值的标准差：nsx可见，可见，算数平均值的标准差比单次测量的标准差小。算数平均值的标准差比单次测量的标准差小。测量值的置信区间与置信概率测量值的置信区间与置信概率 k k：置信系数。：置信系数。kk：置信区间。：置信区间。PaPa：置信概率。：置信概率。置信概率置

12、信概率：随机误差出现在：随机误差出现在kk范围内的概率。范围内的概率。)(kvkPPa正态分布正态分布k k值和置信概率值和置信概率一般用一般用3 3作为作为随机误差限随机误差限，如果某误差大于，如果某误差大于33，则认为该测量误差为坏值，予以剔出。则认为该测量误差为坏值，予以剔出。测测 量量 值值 列列 表表 序号测量值xi残余误差vi1237.4-0.12 0.0142237.2-0.32 0.103237.90.38 0.144237.1-0.420.185237.10.580.346237.5-0.020.007237.4-0.120.0148237.60.080.00649237.6

13、0.080.006410237.4-0.120.0142iv52.237x0iv816.02iv例，等精度测量条件下，有一组测量值如下表例，等精度测量条件下，有一组测量值如下表，求测量结果，求测量结果 。30.0110816.012nvis09.01030.0nsx 4 4、测量结果为、测量结果为 x=237.52x=237.520.09 (Pa=0.682 6)0.09 (Pa=0.682 6)或或 x=237.52x=237.523 30.09=237.520.09=237.520.27 (Pa=0.997 3)0.27 (Pa=0.997 3)解：解：1 1、算数平均值、算数平均值 2

14、2、标准差的估计值为、标准差的估计值为 3 3、算数平均值的标准差为、算数平均值的标准差为52.23711niixnx3 3、不等精度测量的权与误差不等精度测量的权与误差 前面讲述的内容是等精度测量的问题前面讲述的内容是等精度测量的问题。即多次重复测量得。即多次重复测量得的各个测量值具有相同的精度，可的各个测量值具有相同的精度，可用同一个均方根偏差用同一个均方根偏差值来值来表征表征，或者说具有相同的可信赖程度。或者说具有相同的可信赖程度。在科学实验或高精度测量中，为了提高测量的可靠性和精在科学实验或高精度测量中，为了提高测量的可靠性和精度，往往在不同的测量条件下，用不同的测量仪表，不同的测度，

15、往往在不同的测量条件下，用不同的测量仪表，不同的测量方法，不同的测量次数以及不同的测量者进行测量与对比，量方法，不同的测量次数以及不同的测量者进行测量与对比，则认为它们是不等精度的测量。则认为它们是不等精度的测量。（1 1）“权权”的概念的概念 在不等精度测量时，对同一被测量进行在不等精度测量时，对同一被测量进行m m组测量组测量，得到，得到m m组组测量列（进行多次测量的一组数据称为一测量列）的测量结果测量列（进行多次测量的一组数据称为一测量列）的测量结果及其误差，它们不能同等看待。精度高的测量列具有较高的可及其误差，它们不能同等看待。精度高的测量列具有较高的可靠性，将这种可靠性的大小称为靠

16、性，将这种可靠性的大小称为“权权”。“权权”可理解为各组测量结果相对的可信赖程度。可理解为各组测量结果相对的可信赖程度。测量次测量次数多，测量方法完善，测量仪表精度高，测量的环境条件好，数多，测量方法完善，测量仪表精度高，测量的环境条件好，测量人员的水平高，则测量结果可靠，其权也大。权是相比较测量人员的水平高，则测量结果可靠，其权也大。权是相比较而存在的。而存在的。权的计算方法：权的计算方法：权用符号权用符号p p表示，有两种计算方法：表示，有两种计算方法：用各组测量列的用各组测量列的测量次数测量次数n n的比值的比值表示，并取测量次数较表示，并取测量次数较小的测量列的权为小的测量列的权为1

17、1，则有，则有 p p1 1pp2 2ppm m=n=n1 1nn2 2nnm m 用各组测量列的用各组测量列的标准差平方的倒数的比值标准差平方的倒数的比值表示，并取误差表示，并取误差较大的测量列的权为较大的测量列的权为1 1，则有，则有 p p1 1pp2 2ppm m=22221)1(:)1(:)1(m （2 2）加权算术平均值加权算术平均值 加权算术平均值不同于一般的算术平均值，应考虑各测加权算术平均值不同于一般的算术平均值，应考虑各测量列的权的情况。若对同一被测量进行量列的权的情况。若对同一被测量进行m m组不等精度测量，得组不等精度测量，得到到m m个测量列的算术平均值个测量列的算术

18、平均值，相应各组的权分别为，相应各组的权分别为p p1 1,p,p2 2,p,pm m，则加权平均值可用下式表示：，则加权平均值可用下式表示：ix miimiiimmmpppxppppxpxpxx11212211miimiiipxpmvp112)1(（3 3）加权算术平均值的标准误差）加权算术平均值的标准误差 当进一步计算加权算术平均值的标准误差时，也要当进一步计算加权算术平均值的标准误差时，也要考虑各测量列的权的情况，可由下式计算：考虑各测量列的权的情况，可由下式计算：px例，例，用三种不同的方法测量某电感，三种方法测得的各平均用三种不同的方法测量某电感，三种方法测得的各平均值与标准差如下，

19、求电感的加权算数平均值及其加权算值与标准差如下，求电感的加权算数平均值及其加权算数平均值的标准差。数平均值的标准差。mHmHLL040.0,25.111mHmHLL030.0,24.122mHmHLL050.0,22.133解：解：求求“权权”求求“加权算数平均值加权算数平均值”求求“加权算数平均值的标准差加权算数平均值的标准差”求求“测量结果？测量结果？”二、二、系统误差系统误差1.1.系统误差的根源系统误差的根源 系统误差是在一定的测量条件下，测量值中含有固定不系统误差是在一定的测量条件下，测量值中含有固定不变或按一定规律变化的误差。系统误差不具有抵偿性，重复变或按一定规律变化的误差。系统

20、误差不具有抵偿性，重复测量也难以发现，在工程测量中应特别注意系统误差。测量也难以发现，在工程测量中应特别注意系统误差。系统误差常见的变化规律系统误差常见的变化规律 综合误差分布特征综合误差分布特征系统误差的根源：系统误差的根源：所用传感器、测量仪表或组成元件是否准确可靠。传感器所用传感器、测量仪表或组成元件是否准确可靠。传感器仪表安装、调整或放置是否正确合理。如，没有调好仪表水平仪表安装、调整或放置是否正确合理。如，没有调好仪表水平位置，安装时仪表指针偏心等都会引起系统误差。位置，安装时仪表指针偏心等都会引起系统误差。测量方法是否完善。如，用电压表测量电压，电压表的内测量方法是否完善。如，用电

21、压表测量电压，电压表的内阻对测量结果有影响。阻对测量结果有影响。传感器或仪表工作场所的环境条件是否符合规定条件。如，传感器或仪表工作场所的环境条件是否符合规定条件。如，温度、温度、湿度、气压等的变化也会引起系统误差。湿度、气压等的变化也会引起系统误差。测量者的操作是否正确。测量者的操作是否正确。如，读数时的视差、视力疲劳等如，读数时的视差、视力疲劳等都会引起系统误差。都会引起系统误差。2.2.系统误差的发现系统误差的发现（1 1）不变的系统误差）不变的系统误差实验对比法：实验对比法：这种方法是通过改变产生系统误差的条件从而进行不同这种方法是通过改变产生系统误差的条件从而进行不同条件的测量，以发

22、现系统误差。这种方法适用于发现固定的条件的测量，以发现系统误差。这种方法适用于发现固定的系统误差。系统误差。例如，一台测量仪表本身存在固定的系统误差，即使进例如，一台测量仪表本身存在固定的系统误差，即使进行多次测量也不能发现，只有用精度更高一级的测量仪表测行多次测量也不能发现，只有用精度更高一级的测量仪表测量，才能发量，才能发现这台测量仪表的系统误差。现这台测量仪表的系统误差。（2 2）变化的系统误差）变化的系统误差残余误差观察法：残余误差观察法：这种方法是根据测量值的残余误差的大小和符号的变化这种方法是根据测量值的残余误差的大小和符号的变化规律，直接由误差数据或误差曲线图形判断有无变化的系统

23、规律，直接由误差数据或误差曲线图形判断有无变化的系统误差。图中把残余误差按测量值先后顺序排列，图（误差。图中把残余误差按测量值先后顺序排列，图（a a）的）的残余误差排列后有递减的变值系统误差，图（残余误差排列后有递减的变值系统误差，图（b b）则可）则可能有能有周期性系统误差。周期性系统误差。残余误差变化规律残余误差变化规律 准则检察法：准则检察法：马利科夫准则：马利科夫准则：是将残余误差依测量次序，将前后各半分两是将残余误差依测量次序，将前后各半分两组求和，若组求和，若“vvi i前前”与与“vvi i后后”之差明显不为零，则测之差明显不为零，则测量中存在线性系统误差。量中存在线性系统误差

24、。阿贝准则：阿贝准则：检查残余误差是否偏离正态分布检查残余误差是否偏离正态分布，若偏离若偏离，则可则可能存在变化的系统误差能存在变化的系统误差。将测量值的残余误差按测量顺序排将测量值的残余误差按测量顺序排列列，且设且设A=vA=v2 21 1+v+v2 22 2+v+v2 2n n，B=(vB=(v1 1-v-v2 2)2 2+(v+(v2 2-v-v3 3)2 2+(v+(vn-1n-1-v vn n)2 2+(v+(vn n-v-v1 1)2 2。若若 ，则可能含有变化的系统误差。则可能含有变化的系统误差。nAB112 3.3.系统误差的减小系统误差的减小（1 1）从产生误差的根源上减小系

25、统误差。）从产生误差的根源上减小系统误差。（2 2）利用修正方法减小系统误差。）利用修正方法减小系统误差。（3 3）在测量系统中采用补偿方法。）在测量系统中采用补偿方法。（4 4）实时反馈修正。）实时反馈修正。三、三、粗大误差粗大误差1.1.33（莱以达）准则（莱以达）准则 通常把等于通常把等于33的误差称为极限误差，作为误差限。的误差称为极限误差，作为误差限。33准则就是如果一组测量数据中某个测量值的残余误差的绝对准则就是如果一组测量数据中某个测量值的残余误差的绝对值值|v|vi i|3|3时，则该测量值为可疑值（坏值），应剔除。时，则该测量值为可疑值（坏值），应剔除。2.2.格拉布斯准则格

26、拉布斯准则 某个测量值的残余误差的绝对值某个测量值的残余误差的绝对值|v|vi i|GG，则判断此值，则判断此值中含有粗大误差，应予剔除，即格拉布斯准则。中含有粗大误差，应予剔除，即格拉布斯准则。G G值与重复测值与重复测量次数量次数n n和置信概率和置信概率PaPa有关，见表。有关，见表。格拉布斯准则中的格拉布斯准则中的G G值值四、测量结果的数据处理步骤四、测量结果的数据处理步骤 例：对一机械零件的轴径等精度测量例：对一机械零件的轴径等精度测量9 9次，得表次，得表中中数据，求数据，求测量结果。测量结果。解：解：求算术平均值：求算术平均值：求标准差：求标准差：判别粗大误差（应用格拉布斯准则

27、）：判别粗大误差（应用格拉布斯准则）：剔除粗大误差后，重新计算算数平均值及标准差：剔除粗大误差后，重新计算算数平均值及标准差：求算术平均值的标准差：求算术平均值的标准差：求测量结果：求测量结果：niinxnxxxnx1211)(111)(1221nvnxxniniisi|v|vi i|GGnsxxxx3五、间接测量中的测量数据处理五、间接测量中的测量数据处理 前面主要是针对直接测量的误差分析，在直接测量中，测前面主要是针对直接测量的误差分析，在直接测量中，测量误差就是直接测得值的误差。而对于间接测量，是通过直接量误差就是直接测得值的误差。而对于间接测量，是通过直接测得值与被测量之间的函数关系，

28、经过计算得到被测量测得值与被测量之间的函数关系，经过计算得到被测量的，所的，所以以间接测量的误差则是各个直接测得值误差的函数间接测量的误差则是各个直接测得值误差的函数。一个测量系统或一个传感器都是由若干部分组成的，设各一个测量系统或一个传感器都是由若干部分组成的，设各环节分别为环节分别为x x1 1,x x2 2,x xn n，系统总的输入输出之间的函数关系为，系统总的输入输出之间的函数关系为 y y=f f(x x1 1,x x2 2,x xn n)，而各部分又都存在误差，也会影响测量系统，而各部分又都存在误差，也会影响测量系统或传感器总的误差，这类误差的分析也可归纳到间接测量的误或传感器总

29、的误差，这类误差的分析也可归纳到间接测量的误差分析。差分析。在间接测量中，已知各直接测得值的误差（或局部误差），在间接测量中，已知各直接测得值的误差（或局部误差），求总的误差，即误差的合成（也称误差的综合）；反之，确定求总的误差，即误差的合成（也称误差的综合）；反之，确定了总的误差后，各环节（或各部分）具有多大误差才能保证总了总的误差后，各环节（或各部分）具有多大误差才能保证总的误差值不超过规定值，这叫做误差的分配。的误差值不超过规定值，这叫做误差的分配。在传感器和测量在传感器和测量系统的设计时经常用到误系统的设计时经常用到误差的合成与分配。差的合成与分配。下面介绍误差的合成。下面介绍误差的合

30、成。（1 1）绝对误差和相对误差的合成绝对误差和相对误差的合成 如被测量为如被测量为y y，设各直接测得值，设各直接测得值x x1 1,x x2 2,x xn n之间相互独立，之间相互独立，则与被测量则与被测量y y之间函数关系为之间函数关系为 y=f(x1,x2,xn)各测得值的绝对误差分别为各测得值的绝对误差分别为x x1 1,x x2 2,.,.,x xn n,因为误因为误差一差一般均很小，其误差可用微分来表示，则被测量般均很小，其误差可用微分来表示，则被测量y y的误差可表的误差可表示为示为 nndxxydxxydxxydy2211iininnxxyxxyxxyxxydy12211 实

31、际计算误差时，以各环节的实际计算误差时，以各环节的绝对误差绝对误差x x1 1,x x2 2,x xn n来代替上式中的来代替上式中的d dx x1 1,d,dx x2 2,d,dx xn n，即，即 式中，式中，y y为综合后总的绝对误差。为综合后总的绝对误差。如测得值与被测量的函数关系为如测得值与被测量的函数关系为y y=x x1 1+x x2 2+x xn n，则综合绝对，则综合绝对误差误差y y=x x1 1+x x2 2+x xn n 如被测量如被测量y y的综合误差用的综合误差用相对误差相对误差表示，表示，则则niiiyxxyyyy11 但当误差项数较多时，但当误差项数较多时，相对

32、误差的合成一般情况下按方和相对误差的合成一般情况下按方和根合成比较符合统计值，根合成比较符合统计值，即即 22221xnxxy式中，式中，xxixi （2 2）标准差的合成标准差的合成 设被测量设被测量y y与各直接测得值与各直接测得值x x1 1,x x2 2,x xn n之间的函数关系为之间的函数关系为y=fy=f(x x1 1,x x2 2,x xn n)，各测得值的，各测得值的标准差标准差分别为分别为，n n，当各测得值相互独立当各测得值相互独立时，被测量时，被测量y y的标准差为的标准差为 niiinnxyxyxyxyy12222222221212)(2.3 2.3 最小二乘法与回归

33、分析最小二乘法与回归分析一、最小二乘法一、最小二乘法 最小二乘法原理是一数学原理，它在误差的数据处理中最小二乘法原理是一数学原理，它在误差的数据处理中作为一种数据处理手段。作为一种数据处理手段。最小二乘法原理最小二乘法原理就是要获得最可信赖的测量结果，使各就是要获得最可信赖的测量结果，使各测量值的残余误差平方和为最小。测量值的残余误差平方和为最小。最小二乘法在实验数据的处理，实验曲线的拟合及其它最小二乘法在实验数据的处理，实验曲线的拟合及其它多种学科等方面，均获得了广泛的应用。多种学科等方面，均获得了广泛的应用。二、二、用经验公式拟合实验数据用经验公式拟合实验数据回归分析回归分析 在工程实践和

34、科学实验中在工程实践和科学实验中,经常遇到对于一批实验数经常遇到对于一批实验数据，需要把它们进一步整理成曲线图或经验公式。据，需要把它们进一步整理成曲线图或经验公式。用经验公式拟合实验数据，工程上把这种方法称为回用经验公式拟合实验数据，工程上把这种方法称为回归分析。归分析。回归分析就是应用数理统计的方法，对实验数据进行回归分析就是应用数理统计的方法，对实验数据进行分析和处理，从而得出反映变量间相互关系的经验公式，分析和处理，从而得出反映变量间相互关系的经验公式，也称回归方程。也称回归方程。1 1、多元线性回归、多元线性回归 当经验公式为线性函数时，例如当经验公式为线性函数时，例如 y=by=b

35、0 0+b+b1 1x x1 1+b+b2 2x x2 2+b+bn nx xn n 称这种回归分析为称这种回归分析为多元线性回归分析多元线性回归分析，它在工程中的应用，它在工程中的应用价值较高。价值较高。2 2、一元线性回归、一元线性回归 在线性回归中，当独立变量只有一个时，即函数关系为在线性回归中，当独立变量只有一个时，即函数关系为 y=by=b0 0+b+bx x 称这种回归为称这种回归为一元线性回归一元线性回归，这就是工程上和科研中常遇，这就是工程上和科研中常遇到的直线拟合问题。到的直线拟合问题。在一元线性回归中，在一元线性回归中，用最小二乘法求拟合直线的系数用最小二乘法求拟合直线的系数b b0 0、b b，公式如下：，公式如下：nknkkknknknkkkkkxxnyxyxnb1122111)(nknkkknknknkkkknkkkxxnyxxyxb1122111120)(用最小二乘法求回归直线用最小二乘法求回归直线