《数学下册（基础模块）》课件第6章数列

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1、第 6 章数 列目录Contents6.1数列的概念6.2等差数列 6.3等比数列6.4数列的实际应用举例PART 6.1数列的概念数列 某场地堆放着一些圆钢(见图6-1)，最底层有100根，在其上一层（称为第二层）有99根，第三层有98根，依此类推.问：(1)第四层有多少根？(2)从第五层到第十层的圆钢数分别为多少？数列 细胞一小时分裂一次，1个细胞分裂一次变成2个，分裂两次变成4个，各次分裂后的细胞数排成一列数：2，4，8，16，.（1）自然数1，2，3，4，5，的倒数排成一列数：1，1/2，1/3，1/4，1/5，.（2）-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，排成一列数：-1，1，-1，

2、1，.（3）数列 “零存整取”存款，每月存入500元，每月存款数排成一列数：500，500，500，500，.（4）像上述例子中那样，按照一定次序排成的一列数，称为数列.数列 数列中的每一个数都叫作这个数列的项，其中第1个数为第1项，第2个数为第2项第n个数为第n项，第n项中的“n”称为该项的序号.有有限多项的数列称为有穷数列.有无限多项的数列称为无穷数列.用项数n来表示该数列相应项的公式，叫作数列的通项公式.一个数列的第n项记作an（nN*)，第n项为an的数列记做an.例如，数列（1）的通项公式是an=2n（nN*）.由数列通项公式的定义可知，数列的通项是以正整数集的子集为其定义域的函数。

3、故通项为),)(*NAAnnfan数列 像数列 这样，如果一个数列的第n项（nN*）能用它前面若干项来表示，则把这个公式称为这个数列的递推公式.从第2项起，每一项都比前一项大，这样的数列叫作递增数列.从第2项起，每一项都比前一项小，这样的数列叫作递减数列.12,11且,*,12bbNnnbnbnb数列 例1 根据通项公式，求出下面数列an的前5项.（1）an=;（2）an=（1）n n .1nn数列的概念解 （1）在通项公式中依次取n=1,2,3,4,5，得到数列的前五项为 （2）在通项公式中依次取n=1,2,3,4,5，得到数列的前五项为 -1 ,2，-3,4，-565,54,43,32,2

4、1数列的概念例2 根据数列an的首项和递推关系写出数列的前5项，并推测通项公式.（1）a1=0,an+1=an+（2n-1）（nN*）;（2）a1=1,an+1=（nN*）解 （1）由已知a1=0，得 a2=a1+1=1,a3=a2+3=4,a4=a3+5=9,a5=a4+7=16.由a1=（1-1）,a2=（2-1）2,a3=（3-1）2,a4=（4-1）2,a5=（5-1）2,可推测出 an=（n-1）2.22nnaa数列的概念解 （2）由已知a1=1,得 由 可推测出.3122,5222,2122,322445334223112aaaaaaaaaaaa,.152,142,132,122,

5、11254321aaaaa.12nan数列的概念1.根据下列数列an的通项公式，写出它的前5项.(1)an=5n ;(2)an=n(n+1);(3)an=n2 ;(4)an=(-1)n.2.观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式.(1)2,4,(),16,32,(),128;(2)-1,12,(),14,-15,16,().PART 6.2等差数列数列 某班参加义务植树劳动，分为5个小组，第1小组到第5小组植树的棵数恰好构成下面的数列：20，22，24，26，28.在过去的300多年里，人们分别在下列时间里观测到了哈雷彗星，可以得到下面的数列：1682，1758，18

6、34，1910，1986.数列 2008年，在北京举行的奥运会上，女子举重项目共设置了7个级别.其中较轻的4个级别体重构成下面的数列（单位：kg)：48，53，58，63.试分析上述的3个数列有什么共同的特点.数列 观察数列 20，22，24，26，28.我们可以发现，这个数列有这样的特点：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于2.观察数列 1682，1758，1834，1910，1986.我们可以发现，这个数列有这样的特点：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于76.数列 观察数列 48，53，58，63.我们可以发现，这个数列有这样的特点：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于5.一

7、般地，如果一个数列从它的第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一常数，则这个数列叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母d 来表示.数列 例如，数列1，3，5，7，2n-1，就是等差数列，它的公差d=2.特别地，数列2，2，2，2，也是等差数列，它的公差为0.公差为0的数列叫作常数数列.如果一个数列 ,是等差数列，它的公差是d,那么 ,.由此可知，如果已知首项和公差，则等差数列 的通项公式可表示为 .dnaan)1(11a2a3anadaa12daddadaa2)(1123daddadaa3)2(1134na数列例1 求等差数列 12，8，4，0，的通项公式与第10项.解 因为

8、,d=8-12=-4,所以这个等差数列的通项公式为 ,即 .从而 .121a）（4-)1(12nannan416 24-1041610a数列例2 等差数列 -1，2，5，8，的第几项是152？解 设这个等差数列的第n 项是152.由于 ,因此由通项公式得 152=-1+（n-1）3,解得 n=52.即这个数列的第52项是152.11a22a3)1(2d数列 在 与b 两个数之间插入一个数D，使得 ,D,b 成等差数列.即 D 是 与 b 的算术平均数.一般地，如果 ,D,b 成等差数列，那么D 称为 与 b 的等差中项.从上述讨论看到，D 是 与b 的等差中项.当且仅当D 是 与b 的算术平均

9、数.在一个等差数列 中，任取连续的3项，这3项当然是等差数列，因此中间项就是它的前一项与后一项的等差中项.aa2baDDbaDaaaaana数列 例3 已知3个数成等差数列，它们的和为21，积为168，求这3个数.解 设这3个数分别为a-d,a,a+d,则 （a-d）+a+（a+d）=21 （a-d）a（a+d）=168，整理，得 3a=21 a(a2-d2)=168.解得 a=7,d=5.因此所求的3个数为2，7，12或12，7，2.数列1.（1）求等差数列3，7，11，的第4，7，10项；（2）求等差数列10，8，6，的第20项.2.求满足下列条件的等差数列的通项公式.（1）（2）3.求下

10、列各组数的等差中项.（1）100与20；（2）-6 与42.2,3210ad48,181aa数列 如图6-2所示，某剧场共有20排座位，第一排有38个座位，以后每一排都比前一排多2个座位.某校一年级全体师生共840人要到该剧场举行联欢会，分析他们能否使用此剧场，你是如何分析的？数列数列的前n项和通常记做 .已知数列2n，求它的前100项的和 （1）将上式右边各项的次序反过来，S100又可写成 （2）nS200198196.642100S246.196198200100S数列 将（1）（2）两式上下对应项相加，我们发现其和都等于202，所以将（1）（2）两式的两边分别相加，得一般地，（3）101

11、002100)2002(100)2002(2100100100SSS)1(.)2()(1111dnadadaaSn数列再把各项次序反过来，又可写成 （4）把（3）（4）两式分别相加，得 由此可得到等差数列前n 项和公式 （5）nS)1(.)2()(dnadadaaSnnnnn）nnnnnaanaaaaaaS1111().()()(22)(1nnaanS数列因为 .所以式（5）又可写成 （6）dnaan)1(1dnnnaSn2)1(1数列例4 求前1000个正整数的和.解 正整数从小到大排成一个等差数列，首项为1，第1000项为1000，从而前1000个正整数的和为 例5 已知一个等差数列的首项

12、 =-5,公差d=3，求它的前20项的和.解 1a.5005002)10001(10001000S.47032)120(20)5(2020S数列1.求前1500个正整数的和.2.根据下列各题条件，求相应等差数列 的前n 项和 （1）（2）（3）（4）nanS;10,95,51naan;50,2-,1001nda;14,2/3-,3/21nnaa;32,7.0,5.141nadaPART 6.3等比数列数列 一辆汽车的售价为15万元，年折旧率约为10%，那么，该车今后5年的价值构成下面的一个数列（单位：万元）：复利存款问题：月利率5%，那么1000元存入银行，从第1个月后到第12个月后的本利和构

13、成下面的一个数列（单位：元）：54329.015,9.015,9.015,9.015,9.015123205.11000,.,05.11000,05.11000,05.11000数列观察数列这个数列有这样的特点：从第2项起，每一项与它前一项的比都等于常数0.9.观察数列这个数列有这样的特点：从第2项起，每一项与它前一项的比都等于常数1.05.54329.015,9.015,9.015,9.015,9.015123205.11000,.,05.11000,05.11000,05.11000数列 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列称为等比数列.这个常

14、数称为这个等比数列的公比，通常用字母 q 来表示.由于0不能做分母，因此如果 是等比数列，那么它的任何一项都不等于0，从而公比 q 0.因为在一个等比数列里，从第2项起每一项与它前一项的比都等于公比，所以每一项都等于它的前一项乘以公比.这就是说，如果等比数列 .的公比是q，那么na,4321aaaa数列 .由此可知，等比数列 的通项公式是 ，从等比数列的通项公式看出，只要知道首项 和公比 q,就可以求出等比数列的任何一项.na,31)21(34,21)1(23,12qaqqaqaaqaqqaqaaqaa11nnqaa1a数列例 1 求等比数列 .的通项公式以及第7项、第10项.解 因为所以这个

15、等比数列的通项公式是于是,81,41,21,121,11qa1121211nnnaa即512121,64121967aa数列例2 在等比数列an中，a1=4,q=2.试问：第几项是1024？解 设第n项是1024，根据通项公式得 42n-1=1024,即 2n-1=256,从而 n-1=8,因此 n=9.即这个等比数列的第9项是1024.数列在两个数a与b之间插入一个数G，使得 a,G,b 成等比数列 .即.一般地，如果 和 两个数之间插入一个数 ,使 ，成等比数列，则 称为 和 的等比中项.从上述推导过程看到，当 与 都是正实数时，它们的等比中项 等于这两个正实数的几何平均数或者几何平均数的

16、相反数.abGabGGbaG2abGa bGabGabG数列例 3 求-4和7的等比中项.解 -4和-7的等比中项为 .727-4-G数列例4 已知3个数成等比数列，它们的和为14，积为-216，求这3个数.解 设这3个数是 ,a,aq.由已知条件得 +a+aq=14 aaq=-216.由第二个方程，得a3=-216，所以a=-6.代入第一个方程，得-6(+1+q)=14,整理，得3q2+10q+3=0,解得q=-或q=-3.从而所求的3个数为18，-6，2或2，-6，18.qaqaqaq131数列1.求下列等比数列的第五项与第十项.（1）.；（2）.；（3）.；（4）.；2.求下列各对数的等

17、比中项.（1）2与8；（2）16与4；,45,15,5,16,8,4,2,83,21,32,22,1,2数列 假如你是经销商，一位供货商提出要与你签订一份交易合同，合同的期限为30天，他每天给你提供价值10万元的商品，而你第一天只需付给他1分钱的货款，第二天付给他2分钱的货款，第三天付给他4分钱的货款，依此类推，以后每天所付的货款都是前一天所付货款的2倍.你是否同意签这份合同呢？数列根据等比数列an的通项公式，等比数列 的前n项和 可以写成 （1）我们知道，把等比数列的任一项乘以公比，就可得到它后面相邻的一项.现将式（1）的两边分别乘以公比q,得 （2）比较（1）（2）两式，我们可看到式（1）

18、的右边第二项到最后一项，与式（2）的右边第一项到倒数第二项完全相同。nanS112111.nnqaqaqaaSnnqaqaqaqaqS131211.数列 于是将式（1）的两边分别减去式（2）的两边，可以消去相同的项，得到从而得出 时，等比数列的前n 项和公式为 （3）因为所以等比数列的前n项和公式还可写成 （4）当q=1时，经计算可知 nnqaaSq1111q)1(1)1(1qqqaSnnqaqqaqannn)(111qqaaSnn111naSn数列例 5 求等比数列 .的前10项和.解 因为 所以 ,81,41,21,1,21,11qa512102321222211)21(1 1910910

19、10S数列例6 设数列an的通项公式是an=2n-1，nN*.求这个数列的前n项的和.解 因为 nN*,因此an是一个等比数列，它的公比q=2，首项a1=1.从而它的前n项和为 Sn=2n-1,即 1+2+22+23+2n-1=2n-1.,22211)1(1nnnnaa212-11）（n数列1.（1）求等比数列1，2，4，从第5项到第10项的和；（2）求等比数列 从第3项到第7项的和.2.已知一个等比数列的前5项的和是242，公比为3，求它的第5项.,83,43,23数列 在科学研究与工农业生产中，经常会碰到等差数列和等比数列.等差数列和等比数列的通项公式、前n项和公式在计数中起着重要作用.数

20、列例1 图6-3表示堆放的钢管，共堆了6层，求这堆钢管的数量.解 由图6-3可知，每层放的钢管数构成等差数列 ，其中所以na6,9,461naa3926)94(6S数列例2 某企业2008年的生产利润为5万元，计划采用一项新技术，有望在今后5年使生产利润每年比上一年增长20%，如果这一计划得以实现，那么该企业从20082013年的总利润是多少万元（结果保留到小数点后面两位）？数列解 由于该企业计划在今后5年使生产利润每年比上一年增长20%，因此20082013年每年的生产利润组成的数列为 5，51.2,51.22,51.23,51.24,51.25 这是一个等比数列，首项为5，公比为1.2，从而该企业20082013年的总利润是等比数列的前6项的和 即总利润为49.65万元.65.492.0)12.1(52.11)2.11(5666S数列1.下面是全国统一鞋号中成年女鞋的各种尺码（表示鞋底长，单位是cm）：这些尺码是否构成等差数列?如果是，公差是多少？2.一个阶梯形教室，共有10排座位，从第二排起，每一排比前一排少2个座位，最后一排有22个座位.试问：这个教室有多少个座位？3.某林场计划第1年造林80公顷,以后每一年比前一年多造林20%，第5年造林多少公顷？25,2124,24,2123,23,2122,22THANK YOU