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1、第五章 相似矩阵及二次型 习题课术洪亮本章中我们主要介绍了1.方阵的特征値与特征向量;2.相似矩阵,尤其是对称矩阵的相似矩阵;3.化二次型为标准形的方法,特别是利用正交变换化二次型为标准形.并且给出了一种求正交向量组的方法,施密特(Schimidt)正交化方法.1.231,0Txxxxx 123即为方程的解，其中=.,111321321两两正交，使，求一组非零向量已知2311213,00TT 与正交，；解解121 01,0 11TT亦即方程显然，方程组的基础解系为1230 xxx21212312T，把基础解系正交化：.211211012111010132即为所求，于是，例2.010201010
2、的其他特征值再求的特征值，求是矩阵设AaaA.220)2(10)1(200.3212的其他特征值为所以，故又因为，从而而，的特征值，所以是由于解AEAaaAAA例3.122212221特征向量的全部特征值和对应的求设AA125215225122212221)(.1EAfA的特征值）求解：（121211221)5(2)1)(5(100010221)5(15321，的特征值为所以，A.A)2(向量的特征值所对应的特征求224242422422242224551EA时，当111050001102113303302111121212111PxEA的基础解系为）（故RkPk1111,5A的全部特征向量为
3、对应于特征值矩阵所以时，当132000000111222222222EA101,011032PPxAE的基础解系为）（所以RkkPkPk32332232,1A全部特征向量为的对应于特征值故，矩阵例4.1264211,)5(5)5(,1.2323232233，的特征值为从而，的特征值为由于从而时，有）因为当（解BAxxxxAABxxxAxxAxAx3231125,125.ABAABBAE设 阶矩阵 的特征值为，且试求：（）矩阵 的特征值及其相似对角矩阵，并说明理由；（）行列式及.72228855)(5.22)1(1.288)12)(6)(4(1264)2(2223EAEAAAABABB故而又因为
4、所以，的特征值为因为例5设矩阵A与 B相似，其中20022,311Ax10002000By（1）求 x 和 y 的值；（2）求可逆阵P，使 .1P APB解解 (1)因为因为AB,故其特征多项故其特征多项式相同式相同,即即AEBE(1)(2)()Y2(2)(1)(2)XX令=0,得2(x-2）=2y,即y=x-2.令=-1,得x=0,从而y=-2.(2)由(1)知200100202,020311002AB由于A B,从而A的特征值为123=-1,=2,=-2.对应于1=-1的特征向量为1021;TP 对应于22的特征向量为2011;TP 对应于的特征向量为32 3101TP 则有可逆矩阵001210111P1P APB使得例6.2)(2HxxExxETTTTT是对称矩阵所以，H.21,1,2是正交矩阵）（是对称矩阵；）（维列向量，试证：为其中设HHnxxxxxEHTT1(2)TT THExx证明：（）TTTTTTTxxxxxxxxExxExxEHHHH2222)2)(2(（2）1144.TTTTTx xH HExxxxEHHH又因为所以故是正交矩阵
五章相似矩阵及二次型习题课
