第一讲蒙特卡洛模拟及衍生品定价

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1、第一讲第一讲蒙特卡洛模拟及衍生品定价蒙特卡洛模拟及衍生品定价潘慧峰金融学院金融工程系办公室：博学楼919房间 电话：64492533Email: Agenda 蒙特卡洛方法基本原理 估计欧式期权的定价区间 估计亚式期权的定价区间 蒙特卡洛方法的优缺点 提高模拟效率的方法什么是蒙特卡罗模拟什么是蒙特卡罗模拟?根据韦氏词典的解释：Monte Carlo relates to or involves“the use of random sampling techniques and often the use of computer simulation to obtain approximate

2、solutions to mathematical or physical problems especially in terms of a range of values each of which has a calculated probability of being the solution”Merriam-Webster,Inc.,1994,P754-755基本思想：抽样试验来计算参数的统计特征，最后给出求解问题的近似值。理论依据：中心极限定理及大数定律为其主要理论基础主要手段：随机抽样 使用前提：已知随机变量服从的分布或可以化为已知分布的变量的函数。蒙特卡洛方法的基本原理蒙特卡

3、洛方法的基本原理抽样分布的基础抽样分布的基础辛钦大数定律辛钦大数定律 定理：设定理：设 是独立同分布的是独立同分布的随机变量序列，有有限的数学期望随机变量序列，有有限的数学期望E(X)E(X)，则有则有 .,.,21XnXX,1)(1lim,0,1|)(1|lim11XEXnPXEXnPnkknnkkn辛钦大数定律的辛钦大数定律的Matlab实现实现01002003004005006007008009001000-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.6中心极限定理中心极限定理(central limit theorem)定理：设定理：设 是独立同分布的是独立同分布的随机变量序列，有

4、有限的数学期望和方差随机变量序列，有有限的数学期望和方差 ,则有则有.,.,21XnXX2,),(1),(/1lim211nNXnxxnXnPnkknkkn中心极限定理的中心极限定理的Matlab实现实现估计欧式期权的定价区间估计欧式期权的定价区间基于蒙特卡洛方法的定价区间估计基于蒙特卡洛方法的定价区间估计 找到刻画标的资产价格运动规律的随机过程，需要对误差项的分布作出假设 得到N个标的资产到期日价格，得到一个期权价格 得到多个期权价格，给出定价区间 估计欧式看涨股票期权的定价区间估计欧式看涨股票期权的定价区间 假设标的资产满足几何布朗运动的随机过程，估计其欧式看涨期权的VaR?ttttttd

5、SS dtS dWdWz dtzSStS zt 服从标准正态分布 例例 设有这样一个股票，其现行的市场价格为50元，无风险利率为0.1,收益率的标准差为0.4。已知有一种以该股票为标的资产，执行期限为T=5/12的看涨期权，执行价格为52元，试用蒙特卡洛模拟法确定该期权的定价区间?第一步，得到此股票价格的一条路径第一步，得到此股票价格的一条路径020406080100120505560657075 得到第i-1个节点的价格 根据价格服从的随机过程，进而得到第i个节点的价格第二步，得到第二步，得到1个期权价格个期权价格 得到标的资产的1000个路径 得到标的资产到期日1000个价格 得到max(

6、P-K,0)的均值的现值一个期权价格020406080100120020406080100120标的资产到期日价格的直方图标的资产到期日价格的直方图1020304050607080901001100102030405060708090第三步，得到多个期权价格，画出直方图第三步，得到多个期权价格，画出直方图 得到200个期权价格 得到期权价格的直方图及定价区间4.44.64.855.25.45.65.860510152025303540估计亚式期权的定价区间估计亚式期权的定价区间 亚式期权是一种路径依赖型期权，它的收益函数依赖于期权存续期内标的资产的平均价格 离散平均价格 亚式看涨期权的现金流

7、11niiAS tn 11max,0,;,1,2NiiiS tKNTtiiNN 股票价格为50，亚式看涨期权执行价为50，存续期为5个月，期权到期现金流是每月均价与执行价之差，股票收益率的标准差为0.4，无风险利率为0.1，下面用蒙特卡洛方法估计亚式期权的定价区间?蒙特卡洛的优缺点蒙特卡洛的优缺点 MCMC方法的优点方法的优点 分布假设更一般，描述市场因素可能变化的统计分布既可以是正态、对数正态的,也可以是带跳的扩散分布、t分布等。随机生成风险因素的各种各样的未来假想情景,可在模型中融合管理层对未来风险水平的理解与预测,考察更多的假设情况。练习 股票价格为50，亚式看涨期权执行价为50，存续期

8、为5个月，期权到期现金流是每月均价与执行价之差，股票收益率的标准差为0.4，无风险利率为0.1，下面用蒙特卡洛方法计算亚式期权的价格?注：随机数采用自由度为6的t分布。提高模拟效率的方法提高模拟效率的方法对偶变量法对偶变量法 对于服从对称分布的随机变量来说，当随机产生一个随机数v时，可以自动的得到另一个随机数-v，可以得到两个价格p1，p*1。对价格的模拟可以使用平均P（p1+p*1)/2代替Corr(v,-v)=-1，P 1和p*1的相关系数显然小于0.2),cov(4)var(4)var()var(*11*11ppppp02040608010012002040608010012014016

9、018011.522.533.54304050607080304050607080051015202530控制变量法控制变量法 假设有两种类似的证券A和B，要用模拟的方法对证券A的价格进行估计，假设证券B可以得到解析解，可以用解析公式计算出B的价格f（B）。然后对f（A）-f（B）进行模拟，f（A）-f（B）的误差自然减少。控制变量法控制变量法变量A的数值的估计公式模拟括号中的数值，用解析式计算出B的数值然后相加得到A的模拟值。只要 就有)(BABA0)()(2)()()var(BVARBACOVBVARAVARA0)(2)(BACOVBVAR)()var(AVARA 结构化衍生品定价结构化衍

10、生品定价奇异期权奇异期权 障碍期权-敲出-敲入 复合期权-call on call-call on put中信泰富外汇衍生品合约中信泰富外汇衍生品合约 合约类型：合约类型：Accumulator 每月交易量：每月交易量：10001000万澳元万澳元 结算方式：结算方式：每月结算每月结算 合约期限：合约期限：2424个月个月 敲出条件：敲出条件：累计盈利累计盈利350350万美元万美元 协议汇率：协议汇率：0.7815-0.96000.7815-0.9600美元美元/澳元澳元 加权协议汇率：加权协议汇率：0.89710.8971美元美元/澳元澳元 杠杆比率：杠杆比率：2.52.5 合约签订日：合

11、约签订日：20082008年年7 7月月1616日日 汇率现价：汇率现价：0.97490.9749美元美元/澳元澳元 合约开始时间：合约开始时间：20082008年年1010月月1515日日定价分析：定价分析：定价步骤定价步骤 给出（月）汇率演化的随机过程（包括参数、初值）给出（月）汇率演化的随机过程（包括参数、初值）模拟出一条路径模拟出一条路径 给出这条路径上每个月的损益给出这条路径上每个月的损益 计算累计损益计算累计损益-当节点价格大于协议价格，则收益：节点价格当节点价格大于协议价格，则收益：节点价格-协议价格协议价格-当节点价格小于协议价格，则损失：当节点价格小于协议价格，则损失：2.52.5*（节点价格（节点价格-协议价格）协议价格）-计算所有节点的累计损益计算所有节点的累计损益 如果累计损益大于如果累计损益大于350350万元，则合约停止万元，则合约停止 如果累计损益小于如果累计损益小于350350万元万元，则合约继续，则合约继续 得到多条实际的损益路径得到多条实际的损益路径 现金流贴现定价现金流贴现定价 谢谢！END