&amp#167;42换元积分法(第二类换元法)

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1、换元积分法(第二类)I授课题目(章节)： 换元积分法(第二类换元积分法)II教学目的与要求：1. 了解第二类换元法的基本思想2. 掌握几种典型题的第二类换元积分法解法川教学重点与难点：重点：第二换元法中的三角代换及根式代换难点：积分后的结果进行反代换IV讲授内容：第一类换元积分法的思想是：在求积分J g(x)dx时 如果函数g(x)可以化为f叩(x)0(x)的 形式那么=F(u) + C = F即(x) + C所以第一换元积分法体现了 “凑”的思想把被积函数凑出形如f叩(x)0(x)函数来对于某些 函数第一换元积分法无能为力，例如J va2 - x2dx 对于这样的无理函数的积分我们就得用今天

2、要 学习的第二类换元积分法。第二类换元的基本思想是选择适当的变量代换x =屮将无理函数f (x)的积分J f (x)dx化为有理式 f 屮(t(t)的积分 J f V (t(t)dt。即若上面的等式右端的被积函数f 屮(t)V(t)有原函数(t)，则Jf V (t)V(t)dt二(t) + C , 然后再把(t)中的t还原成屮-i(x)，所以需要一开始的变量代换x = V(t)有反函数。定理2设x = V(t)是单调、可导的函数，且v(t)丰0，又设f V(t)v(t)有原函数(t)，则Jf V(t)v (t)dt 二(t) + C 二屮-1 (x) + C分析 要证明J f (x)dx二M

3、-i(x) + C ,只要证明屮-i(x)的导数为f (x),d 屮-1(x)=牛 ddxdt dxdtdx证明x =v (t)单调可导，.x =w (t)存在反函数x =w-1( x)，且关=$ =需)dt芈则-1( x)=罟-dx=f w(t)(t)侖:屮-i(x)是 f (x)是一个原函数 J f (x)dx 二屮-i(x) + C .第二换元法，常用于如下基本类型类型仁被积函数中含有v a2 - x2 ( a 0)，可令 x = a sin t (并约定t G (-中,牛)则(a 0)、】a2 - x2 = a cos t, dx二a cos tdx，可将原积分化作三角有理函数的积分.

4、 例1求J i； a 2 - x 2 dx兀兀I解 令 x = a sin t , t & (-，一)， ij Ja 2 一 x 2 = a cos t dx = a cos tdt2 2J !a2 一 x2 dx = J a cos ta cos tdt = a2 J ( + cos 2t)dt = t + sin 2t + C2224a2a2a2x= t + sin t cos t + C = arcsin222a借助下面的辅助三角形把sin t，cost用x表示.x2例2求Jdx4 x 2解令x = 2sint， t g (-y,牛)，则 v4 - x2 = 2cost， dx = 2c

5、ostdtJ x 2 dx =4sin2t - cos2 tJ 2cos tdt=J 4dt2cos t2=J (2 - 2cos21)dt = 2t - sin 2t + C=2t - 2sin t cos t + C = 2arcsin -4 - x 2 + C22斗兀兀类型2：被积函数中含有、a2 + x2 (a 0)可令 x = a tan t 并约定，则dx = a sec2 tdt ；可将原积分化为三角有理函数的积分.dx例3求J -x 2 + a 2(a 0)解令 x = a tan t, tw (一 ，殳)，I*x2 + a2 = a sect, dx = a sec2tdt2

6、 2dxvx 2 + a 2sec tdt = In sec t + tan t + C=ln1adxx 2 + a 2+ C = ln x + Jx 2 + a 2 + C例4求J解令 x = 2tan t, t w (，牙)，则 + x2 = 2sec t , dx = 2 sec 2 tdt2 22sec 2 t=1J 血 dt = 1J丄 d sin t =-4 sin 2 t 4 sin 2 tL d =Jdtx 2.：4 + x 24tan21 - 2sec t1 J sec t 1 J 亠dt cost dt4 tan2t 4 皑cos2t1+ c = -1 八4+x 2 + C

7、4 sin t4 x例5 求J (xr+9)2分母是二次质因式的平方)J dx(x2 +9)2- 81sec41解令x = 3tant，则 x2 + 9 = 9sec21, dx = 3sec2 tdt3sec2 t1=dt =cos2 tdt八27=+ 丄 J cos 2tdt =+ - J cos ltd It545454t1t1+sin 2t =+542 x 5454541x13xarctan + -+ C54354x 2 + 9练习：求J（%i 一 I + 5）2E （第二换元积分法分）542 x 54解(x2 - 2x + 5)2 = 22 + (x-1)22，令x 1 = 2tan

8、tdx2sec2 t1t1=dt =(1+ cos2t )dt =+ sin t cos t + C(x2 - 2x + 5)224 sec411616 161x - 1 1x - 1= arctan + + C1628 x 2 一 2 x + 5兀:t e (0,)，则、x2 一 a 2 = a tan t 2类型 3 被积分函数中含有 V x2 一 a2 (a 0)，当 x a 时，可令 x = asect，并约定dx = a sec t tan tdt，当 x 0)dxi 、: x 2 - a 2解被积函数的定义域为（8,a）（a,+8）当 x e (a, +8)时，令 x = a se

9、c tt e(0,才),=ln(sec t + tan t) + C = ln( +) + C = ln(x + x2 a2) + C .a a1当 xe (-8, -a) 时，令 x = -u ，则 u e (a,+8) 有J = J = ln(u + u2 a2) + C = in(x +、 x2 a2) + Cx 2 - a 2u 2 - a 211=in 1+ C = in 工=+ Cx + x2 a21(x + x2 a2)(x x2 a2)1=Inx_巴 + c -in(-x- Jx2 -a2) + (C -lna2)a 211dxx e (一卩一a)(a,+x)时，x 2 - a

10、 2解 x e (1,+s)时，令 x = sec t, t e (0,t)贝ij x2 1 = tan t, dx = sec t tan tdt，有 2dxdxsec t tan tx 2 1=dt = cos tdt = sin t + C =+ C ,x 2.x 2 1sec21 tan txdxduJ d =-f ,x2 x2 1u2：u2 1二u 2 一1 + c = x 2 一1 + Cuxdxdx x 2 1 .无论x 1均有J=+ Cx 2x2 1x注意：(1)以上三种三角代换，目的是将无理式的不定积分化为三角有理函数的不定积分(2)在利用第二类换元积分法时将积分的结果还原为

11、x的函数时，常常用到同角三角函数的关 系，一种较简单和直接的方法是作“辅助三角形”(3)在既可用第一换元法也可用第二换元法的时候，用第一换元法就使计算更为简洁.例8求J-xx2-a2(a 0)解法一(用第一换元法)J dx Jxa 时 J .= Jx .；x 2 一 a 2- a 2x 2、卩x 2dxdxd (a)1x1a=arccos ax a 时，令u =x 贝 lj uaJ dx =J ,xx 2 a 2(u Ku 2 a 2dx du一 arccos 纟 + C 二 drccosa u a xdxdx1a两式合并J二一arccosxjx2 a2a解法二 (第二换元法)dx0)当 xa

12、 时，x = a sec t, t e (0,)则 Jx2 a2 = a tan t, dx = a sec t tan tdt dxasect tant1 t 1 a=dt = J ldt = + C = 一arccos + CxQx2 一 a2a sec ta tan taa ax(2)当 x 0)可令x = a tan t并约定t e (-，则、a2 + x2 = a sect ； dx = a sec2tdt ；可将原积分化为三角有理函数的积分.类型3 被积分函数中含有vx2 - a2(a 0)，当x a时，可令x = a sect，并约定兀t e (0,)贝,：x 2 - a 2 = a tan tdx = a sec t tan tdt，当 x a，可将原积分化为三角有理函数的积分。VI课堂练习：P208习题4-2 2 (37)VII 课外作业：P208 习题 4-2 2 (36) (37) (38) (40(42)