热传导方程导出

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1、电子科技大学电子科技大学1/12热传导方程的导出 热传导问题三类边界条件热传导问题三类边界条件 三维热传导方程推导三维热传导方程推导 几个记几个记号号电子科技大学电子科技大学2/12222222zuyuxuu 记记与与Laplace算子相关的另一算子算子相关的另一算子(梯度算子梯度算子(grad),zyx kzjyix 或或222222zyx (Laplace算子算子)则有则有显然显然 2 div梯度算子梯度算子)(graddiv 电子科技大学电子科技大学3/12其中其中,k 是导热系数是导热系数,u(x,y,z)是导热体中的温度是导热体中的温度,付里叶热传导定律付里叶热传导定律:在在dt时段

2、内时段内,通过面积元通过面积元dS流入体流入体积元的热量积元的热量 dQ 与沿面积元外法线方与沿面积元外法线方向的温度变化率向的温度变化率 成正比成正比,也与也与 dS 和和dt成正比成正比nu dsdtnukdQ 1通过曲面进入导热体的总热量通过曲面进入导热体的总热量:dtdsnukQttS 211dxxdxx 三维热传导方程推导三维热传导方程推导)coscoscos()(zyxuuununu 电子科技大学电子科技大学4/12通过曲面进入导热体的总热量通过曲面进入导热体的总热量:21)(1ttVdtdxdydzuGraddivkQ温度升高所需热量温度升高所需热量:Vdxdydztzyxutz

3、yxucQ),(),(122 VttVttdtdxdydztucdxdydzdttuc2121 Q1=Q22211()ttttVVuk div Grad u dxdydz dtcdxdydz dtt 电子科技大学电子科技大学5/12三维热传导方程三维热传导方程:ut=a2uxx+uyy+uzz tucuGraddivk )(Q1=Q2记记 a2=k/(c)tuuGraddiva )(2uatu 2电子科技大学电子科技大学6/12初始条件初始条件:u(x,y,z,0)=(x,y,z)ut=a2uxx+uyy+uzz=uII.第二类边界条件第二类边界条件:),(tzyxnuS III.第三类边界条

4、件第三类边界条件:),(tzyxunuS I.第一类边界条件第一类边界条件:),(tzyxuS (已知边界已知边界温度温度)(边界上有边界上有热流热流进入进入)(边界上有边界上有热交换热交换)热传导问题三类边界条件热传导问题三类边界条件电子科技大学电子科技大学7/12一维热传导方程一维热传导方程:ut=a2uxx LxxxuttLututLxuauxxt0),()0,(0,0),(,0),0(0,0,2 热传导方程的初边值问题热传导方程的初边值问题(第一类边界条件第一类边界条件)例如例如电子科技大学电子科技大学8/12L长的细杆边界上有长的细杆边界上有热流进、出热流进、出u(x,t)LO1.在

5、在 x=L 处有热流处有热流 q 流出流出 ux|x=L=q/k2.在在 x=L 处有热流处有热流 q 流入流入 ux|x=L=q/k3.在在 x=0 处有热流处有热流 q 流出流出 ux|x=L=q/k4.在在 x=0 处有热流处有热流 q 流入流入 ux|x=L=q/kdsdtnukdQ 这里这里 为沿热流方向的方向导数为沿热流方向的方向导数nu nukq 边界上有边界上有热交换热交换)|(|11uukxukLxLx )|(|1010uukxukxx 电子科技大学电子科技大学9/12拉普拉斯方程与拉普拉斯算子拉普拉斯方程与拉普拉斯算子二维热传导方程二维热传导方程:ut=a2uxx+uyy三

6、维热传导方程三维热传导方程:ut=a2uxx+uyy+uzz 热传导问题中热传导问题中,如果物体内部没有热源如果物体内部没有热源,物体外围物体外围温度不随时间变化温度不随时间变化,则经过相当长时间以后则经过相当长时间以后,物体内部物体内部的温度将不再改变的温度将不再改变,趋于稳定状态。趋于稳定状态。ut=0uxx+uyy+uzz=0(Laplace方程方程)0222222 zuyuxu或或电子科技大学电子科技大学10/12正方形区域上第一边值问题正方形区域上第一边值问题 yyuxuxuyuyxuuyyxx sin),1(0)1,()0,(),0(1,0,0yshxshyxu sin),(准确解准确解:O1x1y电子科技大学电子科技大学11/12习题习题2.6（P.26）1电子科技大学电子科技大学12/12高斯公式高斯公式 VzyxSdxdydzrqpdxdyzyxrdzdxzyxqdydzzyxp)(),(),(),(格林公式与高斯公式格林公式与高斯公式Oxyzsv