信号与系统：第11讲 由线性常系数微分方程表征的系统

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1、第第4 4章章 连续时间傅里叶变换连续时间傅里叶变换 4.4-4.4-4.74.7卷积性质、相乘性质；卷积性质、相乘性质；由线性常系数微分方程表征的系统由线性常系数微分方程表征的系统2023-2-3信号与系统第11讲2n连续时间傅里叶变换性质连续时间傅里叶变换性质n线性线性n时移性质时移性质n频移性质频移性质n共轭及共轭对称性质共轭及共轭对称性质n时域微分积分性质时域微分积分性质n频域微分积分性质频域微分积分性质n对偶性质对偶性质n时域与频域的尺度变换时域与频域的尺度变换n帕斯瓦尔定理帕斯瓦尔定理2023-2-3信号与系统第11讲3课堂练习课堂练习22()()()(0)()2sin()()()

2、jXjx tXjXjXjdXjedXjdXj-为的傅里叶变换（1）求（2）求（3）求（4）求（5）求（6）画出的反变换波形R e()Xj（1）求()()()()/2Xjx tx txt（6）画出的反变换波形的偶函数=R e(0)7Xj（2）求()4Xjd-（3）求2202sin()2()*(2)23.57jtXjedx tGt-（4）求22()2()21326Xjdx tdt-（5）求1210-13-32023-2-3信号与系统第11讲4作业解答作业解答n3.34（b）20()(1)()2,0,11()(1)(1(1)221,11()440,11,44nnjk tkkkx ttnTkatted

3、tkH jjjkbkjkjk 差分序列为偶数为奇数为偶数为奇数2023-2-3信号与系统第11讲5n连续时间傅里叶变换的基本性质已经介绍连续时间傅里叶变换的基本性质已经介绍n在对信号的变换求解中很有用处在对信号的变换求解中很有用处n还有两个性质涉及信号和系统之间的作用关系还有两个性质涉及信号和系统之间的作用关系n卷积性质卷积性质n讨论信号和系统之间的关系，单位冲激响应表征讨论信号和系统之间的关系，单位冲激响应表征的系统，可以通过冲激响应与输入信号的卷积求的系统，可以通过冲激响应与输入信号的卷积求得输出，这种关系的傅里叶变换情况如何？得输出，这种关系的傅里叶变换情况如何？n乘积性质乘积性质n信号

4、相乘能实现很多信号处理的功能，这种相乘信号相乘能实现很多信号处理的功能，这种相乘的关系在傅里叶变换中具有什么特征？的关系在傅里叶变换中具有什么特征？2023-2-3信号与系统第11讲6n0.时域卷积性质的导出时域卷积性质的导出n复指数信号是复指数信号是LTI系统的特征函数系统的特征函数n周期信号表示为复指数函数的加权和（傅里叶级数）周期信号表示为复指数函数的加权和（傅里叶级数）n非周期信号表示为复指数信号的积分（傅里叶变换）非周期信号表示为复指数信号的积分（傅里叶变换）0000011()()lim()22jktj tkx tX jedX jke由傅里叶变换，改写非周期信号：00000()0()

5、LTI()()()jktjktjktjkjkth tehedehedH jke 冲激响应为的系统，对响应：0000000000011lim()lim()()22jktjktkkX jkeX jkH jke看成复指数信号叠加，输入输出:00000011()y()lim()()()()22jktj tkx ttX jkH jkeX jH jed系统对的响应为：单位冲激单位冲激响应的傅响应的傅里叶变换里叶变换1()y()()()()()2j tY jtY jedY jX jH j输出的傅里叶变换用表示，则反变换：，可知：()()()()()*()y txh tdy tx th t而时域分析结果：，有

6、：()*()()()x th tX jH jF()*()()()()()()()()()j tj tjx th txh tdedxh teddH jxedH jX jF2023-2-3信号与系统第11讲7n系统的级联系统的级联n在时域分析的时候知道，系统的级联，其总的冲激响应为各个系统冲激响应在时域分析的时候知道，系统的级联，其总的冲激响应为各个系统冲激响应的卷积，的卷积，LTI系统，卷积满足交换律系统，卷积满足交换律n在频域分析中，根据卷积性质，系统级联，其总的频率响应为各个系统频率在频域分析中，根据卷积性质，系统级联，其总的频率响应为各个系统频率响应的相乘，响应的相乘，LTI系统，频域相乘

7、满足交换律系统，频域相乘满足交换律n效果相同的三种系统效果相同的三种系统n系统的稳定性系统的稳定性n信号傅里叶变换的存在，需要满足狄里赫利条件，系统频率响应的存在也需信号傅里叶变换的存在，需要满足狄里赫利条件，系统频率响应的存在也需要满足狄里赫利条件要满足狄里赫利条件n条件条件1：绝对可积，意味系统是稳定的：绝对可积，意味系统是稳定的n其他两个条件，一般有意义的系统都会满足其他两个条件，一般有意义的系统都会满足n不稳定系统的分析用拉普拉斯变化方法解决不稳定系统的分析用拉普拉斯变化方法解决()h t dt 时域不方便求取的逆时域不方便求取的逆系统冲激响应，在频系统冲激响应，在频域中的求解方法？域

8、中的求解方法？2023-2-3信号与系统第11讲8n1.举例举例n(1)一个纯延时系统，一个纯延时系统，系统的频率响应为：系统的频率响应为：n结论：一个纯延时系统，不会影响输入信号各个谐波分结论：一个纯延时系统，不会影响输入信号各个谐波分量的幅度，但是对相位却有与量的幅度，但是对相位却有与成线性关系的响应成线性关系的响应-t00()()h ttt0(),()()()()()j tx tX jY jH jX jeX j对于任意输入其傅里叶变换为输出的傅里叶变换为：0()(-)y tx t t由傅里叶变换的性质可得：0()j tH je2023-2-3信号与系统第11讲9n（2）微分器系统，）微分

9、器系统，时域关系为：时域关系为：频域关系为：频域关系为：系统的频率响应为：系统的频率响应为：n结论：放大高频信号，突出细节信息结论：放大高频信号，突出细节信息n（3）积分器系统）积分器系统时域关系为：时域关系为：对单位冲激信号的响应为单位阶跃信号对单位冲激信号的响应为单位阶跃信号系统的频率响应为：系统的频率响应为：由卷积性质得到的输出：由卷积性质得到的输出：n结论：由频率响应知，积分器放大低频信号，平滑细节信息结论：由频率响应知，积分器放大低频信号，平滑细节信息()()/y tdx tdt1()()()()()()Y jH jX jX jX jj ()()ty txd结果与直接利用积分性质计算

10、一样()H jj()()Y jj X j1()()H jj()()h tu t2023-2-3信号与系统第11讲10n（4）利用卷积性质简化计算）利用卷积性质简化计算n直接卷积计算比较复杂，转换到频域相乘来简化计算直接卷积计算比较复杂，转换到频域相乘来简化计算()(),0()(),0()?atbth teu t ax teu t by t有系统冲激响应为：输入信号为：输出111(),(),()()()H jX jY jH jX jajbjajbj()1()1()jajbABY jajbjAY jajbaBY jbjba111()Y jbaajbj1()()()atbty teu teu tba

11、2023-2-3信号与系统第11讲11n如果系数如果系数a=bn利用微分关系利用微分关系n利用频域微分性质利用频域微分性质21()Y jaj，不能分解为两项()()aty tteu t211djdajaj-1211()()atdY jjteu tdajajF11()(-)()atatdeu tjt eu tajdaj如果：，则有：FF2023-2-3信号与系统第11讲12n（5）sinc函数信号通过理想低通滤波器的响应函数信号通过理想低通滤波器的响应n冲激响应的表达冲激响应的表达n输入信号的表达输入信号的表达 时域、频域门函数的傅里叶变换对时域、频域门函数的傅里叶变换对sin()cth tt1

12、11()2()2()1()2()2()()2cccccx tTX jTSa TX jx tSatSat时域门函数，宽度：频域门函数，宽度：()2()2ciH jXj为宽度为的门函数，低通滤波器为宽度为的门函数()()(),2ooicY jH jXj输出为宽度为的门函数其中：等于和中较小的一个sin()()iiitx tSatt222 sin2/sin2/()()2/oot Tt TSatSatTTTt Ttsin()ccccctSatt2023-2-3信号与系统第11讲13n0.时域相乘性质时域相乘性质n时域卷积时域卷积频域相乘频域相乘n时域相乘时域相乘频域卷积频域卷积n两信号相乘，在信号处理

13、中常用作调制，上式又称调制性质两信号相乘，在信号处理中常用作调制，上式又称调制性质n用用A信号对信号对B信号进行调制，意味着信号进行调制，意味着B信号的幅度受到信号的幅度受到A信号影响信号影响n举例（举例（1）调制过程：）调制过程：1()()()()*()2r ts t p tS jP jF000()(),()cos()()()s tS jp ttP j 信号的频谱为信号的频谱为00()()()11()()*()()()22r ts t p tR jSjP jSjSj的频谱为1()*()211()()2211()()221()()()()2-1j tj tj tS jP jS jP jdedS

14、 jP jeddp tS jedp t s tF2023-2-3信号与系统第11讲14n举例（举例（2）解调过程：）解调过程：n用一截止频率为用一截止频率为1的低通滤波器，取出的信号频谱与的低通滤波器，取出的信号频谱与s(t)频谱只频谱只有加权的影响。该信号与有加权的影响。该信号与s(t)也只有加权的不同也只有加权的不同0()()()(),()cos()()()r tg tr t p tp ttG jR jP j对调制信号解调 其中：，、的频谱图如下：2023-2-3信号与系统第11讲15n举例（举例（3）利用相乘性质简化计算）利用相乘性质简化计算 2sinsin/2 ()ttx tt求的傅里

15、叶变换 2sinsin/2sinsin/2()ttttx tttt 21sinsin/211()*()*()22ttXjGGttFF宽度为2和1的两个门函数的卷积2023-2-3信号与系统第11讲16n1.具有可变中心频率的频率选择性滤波具有可变中心频率的频率选择性滤波nRC电路构成滤波器，频率调整需要多种元器件参数的调整，居多不便电路构成滤波器，频率调整需要多种元器件参数的调整，居多不便n构造一个固定特性的滤波器，中心频率通过移动频率的方法实现构造一个固定特性的滤波器，中心频率通过移动频率的方法实现ny(t)的频谱是将的频谱是将x(t)的频谱右移的频谱右移n低通滤波器取出低通滤波器取出x(t

16、)频谱中靠近频谱中靠近-c 附近，宽度为附近，宽度为2 0 的频谱的频谱nf(t)的频谱是将的频谱是将w(t)的频谱左移的频谱左移()()*()cY jX j()()*()cF jW j 2023-2-3信号与系统第11讲17n频谱搬移如图所示频谱搬移如图所示n最后的等效效果如同一个带通滤波器最后的等效效果如同一个带通滤波器nx(t)为实信号，但输出为实信号，但输出y(t)为复信号为复信号n滤波需要的实信号，幅频特性应如下滤波需要的实信号，幅频特性应如下n通过取复信号通过取复信号y(t)的实部可以得到的实部可以得到n该结果等效的滤波器为：该结果等效的滤波器为：如何推倒出如何推倒出这一结论？这一

17、结论？2023-2-3信号与系统第11讲18采用正弦载波调制的带通滤波采用正弦载波调制的带通滤波()()cosrcf tx tt()()sinicf tx tt()()()cos()sin()()cjtccrif tx t ex ttjx ttf tjf t()()()rig tg tjg t低通滤波以后的信号为()()()riw tw tjw t再次相乘后的信号为()()cosrrcw tg tt()()siniicw tg tt()()()()(cossin)()cos()sin)()cos()sin)cjtriccrcicicrcy tg t eg tjg ttjtg ttg ttj g

18、 ttg tt()()cos()sinrcicy tg ttg ttR e()f t()w t()g t2023-2-3信号与系统第11讲19n1.由线性常系数微分方程表征的系统由线性常系数微分方程表征的系统n连续的连续的LTI系统可用线性常系数微分方程表示系统可用线性常系数微分方程表示n如何确定系统的频率响应？如何确定系统的频率响应？n第一种方法第一种方法n根据复指数信号是根据复指数信号是LTI系统的特征函数系统的特征函数n带人微分方程可以解得带人微分方程可以解得n第二种方法第二种方法n利用傅里叶变换的微分性质利用傅里叶变换的微分性质00()()kkNMkkkkkkdytdx tabdtdt

19、()()()j tj tx tey tH je输入：，输出：0000()()()()()NMkkkkkkMkkkNkkkajY jbjX jbjY jH jX jaj00()()kkNMkkkkkkdytdx tabdtdtFF2023-2-3信号与系统第11讲20n频率响应与单位冲激响应频率响应与单位冲激响应n时域的表示时域的表示n根据傅里叶变换的卷积性质根据傅里叶变换的卷积性质n傅里叶变换存在的条件是单位冲激响应绝对可积傅里叶变换存在的条件是单位冲激响应绝对可积n物理含义：稳定系统物理含义：稳定系统()()()Y jH jX j()()()Y jH jX j()()*()y th tx t

20、()()H jh tF2023-2-3信号与系统第11讲21n2.举例举例n（1）有一个）有一个LTI系统的微分方程为系统的微分方程为 其中：其中：a0,求其频率响应和单位冲激响应求其频率响应和单位冲激响应n（2）LTI系统微分方程系统微分方程()()()dy tay tx tdt1()H jja频率响应：()()ath teu t单位冲激响应：22()()()43()2()dy tdy tdx ty tx tdtdtdt221/21/2()3143jH jjjjj频率响应：311()()()22tth te u teu t单位冲激响应：2023-2-3信号与系统第11讲22n（3）前题得到系

21、统频率响应，计算指定输入情况下的输出响应）前题得到系统频率响应，计算指定输入情况下的输出响应 ()()tx te u t输入信号为：3111()()424ttth teteeu t单位冲激响应：21()()()311jY jH jX jjjj输出响应：21111211()()()34jjjddAjY jd jd jj21222311322111(),3()3241jjjjjjAjY jAjY jjj 系数求解公系数求解公式的推导？式的推导？频域微分性频域微分性质用于反变质用于反变换的推导换的推导111222()131AAAY jjjj采用部分分式展开：2023-2-3信号与系统第11讲23因果

22、系统的频率响应因果系统的频率响应n对于冲激响应为实函数的因果系统对于冲激响应为实函数的因果系统n系统的频率响应可用其实部完全代表系统的频率响应可用其实部完全代表()(),()()eeh th th th t的偶部其傅里叶变换为？如何由得到？()cos,()?H jh t一因果系统的频率响应的实部为：R e()()eh tH jFR e()()()2eh thth t0 0()()02()0eeth th tth tt-1-1()()cos11(1)(1)22eh tH jttFR eF()(1)h tt2023-2-3信号与系统第11讲24本讲小结本讲小结n傅里叶变换的卷积性质傅里叶变换的卷积性质n时域卷积，频域乘积，时域卷积，频域乘积，n时域：输入与单位冲激响应卷积求得输出时域：输入与单位冲激响应卷积求得输出n频域：输入频谱与频率响应乘积得到输出频域：输入频谱与频率响应乘积得到输出n频率响应为单位冲激的傅里叶变换频率响应为单位冲激的傅里叶变换n傅里叶变换的乘积性质傅里叶变换的乘积性质n乘积用于信号的调制乘积用于信号的调制n调制和解调的频谱搬移过程调制和解调的频谱搬移过程n微分方程表示的系统，其频率响应的导出和应用微分方程表示的系统，其频率响应的导出和应用4.33(a)(b)4.33(a)(b)、4.354.35、4.364.36