立体的截切与相贯

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1、第第6章章 立体的投影及表面交线立体的投影及表面交线6.1 基本体的投影基本体的投影6.2 平面与立体相交平面与立体相交6.3 立体与立体相交立体与立体相交6.1 基本体的投影基本体的投影 按照一定规则形成的简单立体称为基本体，基按照一定规则形成的简单立体称为基本体，基本体分为平面立体和曲面立体两类。本体分为平面立体和曲面立体两类。6.1.1 三面投影与三视图三面投影与三视图6.1.3 曲面立体曲面立体6.1.2 平面立体平面立体6.1.1 平面立体平面立体 表面均为平面构成的立体称为平面立体，平面表面均为平面构成的立体称为平面立体，平面立体上相邻两表面的交线称为棱线。常见的平面立立体上相邻两

2、表面的交线称为棱线。常见的平面立体有棱柱、棱锥和棱台等。体有棱柱、棱锥和棱台等。棱柱棱柱棱锥棱锥41.棱棱 柱柱(1)棱柱的投影6 (2)棱柱表面上取点a a(a)(b)bb 2.棱棱 锥锥(1)棱锥的投影棱锥的投影s Basacbcs bCASb”(c”)a”s(c)s a ac b b cs ba 1 11 r r(2)棱锥表面上取点棱锥表面上取点2 2 23(3)3 6.1.3 曲面立体曲面立体 表面由曲面或曲面和平面构成的立体称为曲面立表面由曲面或曲面和平面构成的立体称为曲面立体，常见的曲面立体有圆柱、圆锥、圆球和圆环等。体，常见的曲面立体有圆柱、圆锥、圆球和圆环等。曲面可看作由一条母

3、线按一定的规律运动所形成，曲面可看作由一条母线按一定的规律运动所形成，运动的线称为母线，而曲面上任一位置的母线称为素运动的线称为母线，而曲面上任一位置的母线称为素线。母线绕轴线旋转，则形成回转面。线。母线绕轴线旋转，则形成回转面。圆柱圆柱圆锥圆锥圆球圆球OO顶圆顶圆素线素线纬圆纬圆底圆底圆母线母线轴线轴线回转面的概念回转面的概念1.圆圆 柱柱 圆柱由圆柱面、顶面、底面所围成。圆柱面可看作直线绕与它相平行的轴线旋转而成。XZYHWaabcdcdacdbAACDBCd”c”d”c”a”b”a”b”Vabaabba”(b”)a”(b”)c(d)c(d)cdddcc圆柱的投影（1）先绘出圆柱的对称线、

4、回转轴线。（2）绘出圆柱的顶面和底面。（3）画出正面转向轮廓线和侧面转向轮廓线。正面转向轮廓线侧面转向轮廓线(1)圆柱的投影图圆柱的投影图(2)(2)圆柱表面上取点圆柱表面上取点()A(D)CBc”(d)2.圆圆 锥锥 圆锥由圆锥面、底面所围成。圆锥面可看作直线绕与它圆锥由圆锥面、底面所围成。圆锥面可看作直线绕与它相交的轴线旋转而成。相交的轴线旋转而成。(1)圆锥的投影图圆锥的投影图(2)圆锥表面上取点圆锥表面上取点辅助素线法辅助素线法辅助圆法辅助圆法3.圆圆 球球 球是由球面围成的。球面可看作圆绕其直径为轴线旋转而成。(1)圆球的投影圆球的投影(2)圆球表面上取点圆球表面上取点6.2 平面与

5、立体相交平面与立体相交6.2.1 平面与平面立体相交平面与平面立体相交6.2.2 平面与曲面立体相交平面与曲面立体相交 平面与立体相交在立体表面产生交线称为截交线，该平平面与立体相交在立体表面产生交线称为截交线，该平面称为截平面。截交线是截平面和立体表面的共有线，面称为截平面。截交线是截平面和立体表面的共有线，截交截交线上的点是截平面与立体表面上的共有点，线上的点是截平面与立体表面上的共有点，它既在截平面上它既在截平面上又在立体表面上。由于任何立体都有一定的空间范围，所以又在立体表面上。由于任何立体都有一定的空间范围，所以截交线一定是封闭的线条，通常是一条平面曲线或者是由曲截交线一定是封闭的线

6、条，通常是一条平面曲线或者是由曲线和直线组成的平面图形或多边形。线和直线组成的平面图形或多边形。截平面截平面截交线截交线截交线的概念截交线的概念6.2.1 平面与平面立体相交平面与平面立体相交 由于平面立体是由平面围成的由于平面立体是由平面围成的,截交线是封闭的平面多边截交线是封闭的平面多边形，多边形的边是截平面与平面立体表面的交线。求截交线的形，多边形的边是截平面与平面立体表面的交线。求截交线的问题可以简化为求平面与平面的交线问题，进而简化为求直线问题可以简化为求平面与平面的交线问题，进而简化为求直线与平面交点的问题。与平面交点的问题。例例1三棱锥被一正垂面所截切，求截交线的投影。三棱锥被一

7、正垂面所截切，求截交线的投影。sabcasbcs a(c)b BA1 2 3 1yy23 1 2 3例例3 求立体截切后的投影求立体截切后的投影235411166543264（5）2（3）6.2.2 平面与曲面立体相交平面与曲面立体相交 曲面立体截交线通常是封闭的平面曲线，或是由曲线和曲面立体截交线通常是封闭的平面曲线，或是由曲线和直线所围成的平面图形或多边形。直线所围成的平面图形或多边形。1.平面与圆柱相交平面与圆柱相交 截平面平行于轴线，截平面平行于轴线，交线为平行于轴线的交线为平行于轴线的 两条平行直线两条平行直线截平面倾斜于轴线，截平面倾斜于轴线，交线为交线为 椭圆椭圆截平面垂直于轴线

8、，截平面垂直于轴线，交线为交线为 圆圆平面与圆柱的截交线两条平行直线两条平行直线垂直于轴线的圆垂直于轴线的圆椭椭 圆圆 例例 求斜切圆柱的截交线求斜切圆柱的截交线1114322265433(4)5656解题步骤解题步骤1 分析分析 截交线的水平投影为椭截交线的水平投影为椭圆，侧面投影为圆；圆，侧面投影为圆；2 求出截交线上的特殊点求出截交线上的特殊点、；3 求出若干个一般点求出若干个一般点、；4 光滑且顺次地连接各点，作光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；出截交线，并且判别可见性；5 整理轮廓线。整理轮廓线。877878作图步骤：作图步骤：（1 1）根据截平面位置与曲面立体表面的

9、性质、判别）根据截平面位置与曲面立体表面的性质、判别截交线的形状和性质。截交线的形状和性质。（2 2）求出截交线上的特殊点。）求出截交线上的特殊点。（3 3）根据需要求出若干个一般点。）根据需要求出若干个一般点。（4 4）光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判）光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性。别可见性。（5 5）最后，补全可见与不可见部分的轮廓线或转向）最后，补全可见与不可见部分的轮廓线或转向轮廓素线，并擦除被切割掉的轮廓线或转向轮廓素线。轮廓素线，并擦除被切割掉的轮廓线或转向轮廓素线。特殊点特殊点：是指绘制曲线时有影响的各种点。是指绘制曲线时有影响的各种点。极限位置点极限

10、位置点 曲线的最高、最低、最前、最后、最左和最右点。曲线的最高、最低、最前、最后、最左和最右点。转向轮廓点转向轮廓点 曲线上处于曲面投影转向轮廓线上的点，它们是区曲线上处于曲面投影转向轮廓线上的点，它们是区分曲线可见与不可见部分的分界点。分曲线可见与不可见部分的分界点。特征点特征点 曲线本身具有特征的点，如椭圆长短轴上四个端点。曲线本身具有特征的点，如椭圆长短轴上四个端点。结合点结合点 截交线由几部分不同线段组成时结合处的点。截交线由几部分不同线段组成时结合处的点。例例:如图所示，已知圆柱被截后的正面投影，如图所示，已知圆柱被截后的正面投影，求作圆柱被截切后的水平投影和侧面投影。求作圆柱被截切

11、后的水平投影和侧面投影。椭圆曲线椭圆曲线2.平面与圆锥相交平面与圆锥相交圆圆椭圆椭圆两条相交直线两条相交直线双曲线双曲线抛物线抛物线解题步骤解题步骤例例 已知圆锥与正垂面已知圆锥与正垂面P P相交，求截交线的投影。相交，求截交线的投影。1 1 分析分析 截交线的水平投影和截交线的水平投影和侧面投影均为椭圆；侧面投影均为椭圆；2 2 求出截交线上的特殊点求出截交线上的特殊点、；3 3 求出一般点求出一般点；4 4 光滑且顺次地连接各点，作光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；出截交线，并且判别可见性；5 5 整理轮廓线。整理轮廓线。例例 求带缺口圆锥的水平投影和侧面投影。求带缺口圆锥

12、的水平投影和侧面投影。111”2(3)2”3”234(5)4”5”54666”例例 已知正垂面所截切球的正面投影已知正垂面所截切球的正面投影,求其余两面投影。求其余两面投影。例：已知开槽半圆球正面投影，求其另外两面投影。例：已知开槽半圆球正面投影，求其另外两面投影。6.3 6.3 立体与立体相交立体与立体相交6.3.1 概概 述述6.3.2 求作两曲面立体的相贯线求作两曲面立体的相贯线6.3.3 相贯线的特殊情况相贯线的特殊情况6.1.1 组合相贯线组合相贯线6.3.1 6.3.1 概概 述述 立体与立体相交在两个立体表面产生的交线称为相贯线。立体与立体相交在两个立体表面产生的交线称为相贯线。

13、相贯线是两曲面立体表面的共有线，相贯线上的点是两曲相贯线是两曲面立体表面的共有线，相贯线上的点是两曲面立体表面的共有点。面立体表面的共有点。不同的立体以及不同的相贯位置、相贯线的形状不同。两不同的立体以及不同的相贯位置、相贯线的形状不同。两回转体相贯，相贯线一般是封闭的空间曲线回转体相贯，相贯线一般是封闭的空间曲线,特殊情况下为平特殊情况下为平面曲线或直线。面曲线或直线。6.3.2 求两曲面立体的相贯线求两曲面立体的相贯线1.表面取点法表面取点法 当相贯的两立体表面的某一投影具有积聚性时，相当相贯的两立体表面的某一投影具有积聚性时，相贯线的一个投影必积聚在这个投影上，相贯线的其余投贯线的一个投

14、影必积聚在这个投影上，相贯线的其余投影可按着曲面立体表面取点的方法求出影可按着曲面立体表面取点的方法求出,这种求作相贯这种求作相贯线的方法称为表面取点法。线的方法称为表面取点法。例例1 已知两圆柱的三面投影已知两圆柱的三面投影,求作其相贯线的投影。求作其相贯线的投影。yyyydedeacbabcdebac分分 析析求特殊点求特殊点求一般点求一般点判别可见性判别可见性完成相贯线完成相贯线 首先分析两曲面立体的几何形状、相对大小和首先分析两曲面立体的几何形状、相对大小和相对位置，进一步分析相贯线是空间曲线，还是处相对位置，进一步分析相贯线是空间曲线，还是处于特殊情况（平面曲线或直线）。于特殊情况（

15、平面曲线或直线）。分析两曲面立体对投影面的相对位置，两曲面分析两曲面立体对投影面的相对位置，两曲面立体的投影是否有积聚性，哪个投影有积聚性。立体的投影是否有积聚性，哪个投影有积聚性。根据两立体的相对位置分析相贯线的对称情况根据两立体的相对位置分析相贯线的对称情况 分析相贯线哪个分析相贯线哪个 投影是已知的，哪个投影是投影是已知的，哪个投影是要求作的。要求作的。分分 析析求特殊点求特殊点 确定相贯线投影范围和变化趋势的点称为特殊点确定相贯线投影范围和变化趋势的点称为特殊点 包括：包括：相贯线极限位置点相贯线极限位置点 最左、最右、最前、最后、最左、最右、最前、最后、最高、最低各点；最高、最低各点

16、；曲面立体转向轮廓线上的点曲面立体转向轮廓线上的点 两曲面立体上下、两曲面立体上下、左右、前后转向轮廓线上的各个点。左右、前后转向轮廓线上的各个点。表面取点法求作相贯线的一般步骤表面取点法求作相贯线的一般步骤（1）分析）分析 首先分析两曲面立体的几何形状、相对大小和首先分析两曲面立体的几何形状、相对大小和相对位置，进一步分析相贯线是空间曲线，还是处于特殊情况相对位置，进一步分析相贯线是空间曲线，还是处于特殊情况（平面曲线或直线）。分析两曲面立体对投影面的相对位置，（平面曲线或直线）。分析两曲面立体对投影面的相对位置，两曲面立体的投影是否有积聚性，哪个投影有积聚性。分析相两曲面立体的投影是否有积

17、聚性，哪个投影有积聚性。分析相贯线哪个投影是已知的，哪个投影是要求作的。贯线哪个投影是已知的，哪个投影是要求作的。（2）求特殊点）求特殊点。相贯线上的特殊点包括极限位置点、轮廓。相贯线上的特殊点包括极限位置点、轮廓转向点、曲线特征点和结合点四种。转向点、曲线特征点和结合点四种。（）（）根据需要求出若干个一般点。根据需要求出若干个一般点。（）（）判别可见性，顺次光滑连接各点，作出相贯线。判别可见性，顺次光滑连接各点，作出相贯线。（）（）补全可见与不可见部分的轮廓线或转向轮廓线，并补全可见与不可见部分的轮廓线或转向轮廓线，并擦除被切割掉的轮廓线或转向轮廓线。擦除被切割掉的轮廓线或转向轮廓线。圆柱表

18、面交线的三种情况 两外表面相交两外表面相交外表面与内表面相交外表面与内表面相交两内表面相交两内表面相交两正交圆柱两正交圆柱相贯线相贯线的的变化趋势变化趋势2.辅助平面法辅助平面法 假想用一个平面在相贯两立体的相贯区域内去截切相贯的假想用一个平面在相贯两立体的相贯区域内去截切相贯的两立体，分别在两立体表面上产生截交线，两截交线交点就是两立体，分别在两立体表面上产生截交线，两截交线交点就是两立体表面与辅助平面三者的共有点，即相贯线上的点。这个两立体表面与辅助平面三者的共有点，即相贯线上的点。这个假想的平面是辅助平面。作出一系列的辅助平面，求出相贯线假想的平面是辅助平面。作出一系列的辅助平面，求出相

19、贯线上一系列点的投影，依次光滑连接，即得相贯线的投影。上一系列点的投影，依次光滑连接，即得相贯线的投影。例：轴线正交的圆柱与圆锥相贯。例：轴线正交的圆柱与圆锥相贯。PwPvRvRwQw4”5”6”7”8”567432125181”2”3”(8)4(6)3(7)例例 求水平圆柱与半球的相贯线的投影。求水平圆柱与半球的相贯线的投影。aa”abbb”QVQWcdPVPWefe(f)RVRWghg(h)6.3.3 6.3.3 相贯线的特殊情况相贯线的特殊情况 两曲面立体相交，一般情况下相贯线为空间曲线，两曲面立体相交，一般情况下相贯线为空间曲线，但特殊情况下可能是平面曲线或直线。但特殊情况下可能是平面

20、曲线或直线。两个回转体具有公共轴线时，其表面的相贯线为垂直轴线的圆两个回转体具有公共轴线时，其表面的相贯线为垂直轴线的圆外切于同一球面的圆锥、圆柱相交时，其相贯线为两条平面曲线外切于同一球面的圆锥、圆柱相交时，其相贯线为两条平面曲线椭圆椭圆两圆锥共锥顶相贯线为相交两直线两圆柱轴线平行相贯线为平行两直线 本本 章章 小小 结结 1.掌握立体的投影特性和作图方法及立体表面上取点、取线的方法。2.掌握特殊位置平面与圆柱、圆锥、圆球相交，求表面交线的方法；掌握截交线的性质及求截交线的方法；3.掌握两回转体表面相交时相贯线的性质及用表面取点法、辅助平面法求两回转体相贯线的原理、作图方法；掌握相贯可见性的判别方法;了解和掌握相贯线的特殊情况和作图。