“边边角”与三角形全等的关系

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1、“边边角”与三角形全等的关系“边边角”与三角形全等的关系（适用于 8 年级人教版第 4 或 5 期）重庆第二外国语学校重庆第二外国语学校周斌周斌(邮编 400065电话 )我们知道，通过作图操作和理论推导，判定两个三角形全等主要有“SSS”“SAS”“AAS”“ASA”“HL”这几种方法。我们也知道，对于两边及其中一边的对角分别对应相等（不妨简称为“边边角”）的两个三角形，我们不能判定它们是否全等。那么满足“边边角”的两个三角形是否会全等呢下面我们就来探究这个问题。(一)如果“边边角”中的“角”是直角，如图 1 所示，在ABC和ABC中，B B 90，AB AB,AC AC,B BC CBBC

2、CA AAA根据“HL”可以判定这两个直角三角形全等，即ABC ABC（二）如果“边边角”中的“角”是钝角，如图 2 所示，在ABC和ABC中，B B90，AB AB,AC ACA A图 1AA过A作AH BC于H,过A作AH BC于H,在ABH和ABH中，ABH ABH，H H 90AB AB,ABH ABH，AH AH,AHC AHC,C C,ABC ABCH HB BC CHHBBCC（三）如果“边边角”中的“角”是锐角，即在ABC 和ABC中，B B90，AB AB,AC AC图 2A AAA1.如图 3-1 所示，过 A 作 AHBC 于 H,A作AHBC于H,如果 AC=AH,AC

3、 AH,很显然 H 与 C 重合，H与C重合ABCABCB BC C（H H）BBCC（HH）图 3-12.如图 3-2 所示，已知ABC,过 A 作 AHBC 于 H,如果 AHACAB,作B,在B的一边上取AB AB,以 A为圆心，以 AC 的长为半径画弧与B的另一边相交，由此我们很容易知道ABHABH,显然有两个交点C1和C2AH=AH，AHCAHC，C=C,B BH HC CBBCC2 2A AAAHHCC1 1，而ABC 与ABC2不全等。ABC ABC13.如图 3-3 所示，已知ABC,如果 AC=AB,过 A 作AHBC 于 H,作B=B,在B的一边上取以AC的长为半径画弧与B

4、AB=AB,以A为圆心，的另一边相交，显然它们只有一个交点C.由此我们得到B=B=C=C,又AB=AB=AC=AC,ABCABC。4.如图 3-4 所示，已知ABC,如果 ACAB,过 A 作 AHBC 于 H,作B=B,在B的一边上取AB=AB,以A为圆心，以 AC 的长为半径画弧与B的另一边相交，显然它们只有一个交点C.由此我们很容易知道ABHABH,AH=AH，AHCAHC，C=C,ABCABC.B BH HA AB BH HC CA A图 3-2AABBHHCC图 3-3AAC CBBHHCC图 3-4通过以上的分析我们知道，对于两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形，即“边边角”型的两个三角形是否全等，我们可以根据“边边角”中的“角”大小分两种情况进行判定：(1)当“边边角”中的“角”为直角或钝角时，两个三角形一定全等。(2)当“边边角”中的“角”为锐角时，我们不妨把这两个三角形两组对应相等的边称为此锐角的对边和邻边，把其余的一条边称为第三边。这两个三角形是否全等可以根据它们的第三边的高与它们对应相等的两组边的大小关系来决定，只有当此锐角所对的边小于它的邻边且大于第三边的高，如图 3-2 所示，这时的两个三角形才不一定全等，其余情况下它们都一定会全等。