平面向量知识点归纳

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1、平面向量平面向量一向量有关概念一向量有关概念：1向量的概念向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线不能说向量就是有向线段段，为什么？（向量可以平移）。如：如：2零向量零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的零向量的方向是任意的；uuu ruuu rAB3单位向量单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是 uuu r4相等向量相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；)；|AB|5平行向量（也叫共线向量）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零

2、向量a、b叫做平行向量，记作：ab，规定零向量和任何向量规定零向量和任何向量平行平行。提醒提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合；r平行向量无传递性平行向量无传递性！（因为有0)；uuu r uuu rAC共线；三点A、B、C共线AB、下列命题：（1）若rruuu ruuu rrr（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若AB DC，a b，则a b。rr rrrr rruuu ruuu rrr则ABCD是平行四边形。（4）若ABCD是平行四边形，则A

3、B DC。（5）若a b,b c，则a c。（6）若a/b,b/c，rr则a/c。其中正确的是_（答：（4）（5）二向量的表示方法二向量的表示方法：6相反向量相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是a。如如AB，注意起点在前，终点在后；2符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等；3坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底，则平面内的任一向量a可rrr表示为a xi y j x,y，称x,y为向量a的坐标，ax,y叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点向量的起点在原点，1几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如那么向

4、量的坐标与向量的终点坐标相同。三三平面向量的基本定理平面向量的基本定理：如果 e e1和 e e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量 a a，有且只有一对实数1、2，使 a a=1e e12e e2。如如rrrr1r3r（1 1）若a (1,1),b (1,1),c (1,2)，则c _（答：ab）；22（2 2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是u ru u rA.e1(0,0),e2(1,2)B.u ru u rC.e1(3,5),e2(6,10)D.u ru u re1(1,2),e2(5,7)u ru u r13e1(2,3),e2(,)24（答：B）；r

5、ruuu r uuu ruuu rr uuu rruuu r（3 3）已知AD,BE分别是ABC的边BC,AC上的中线,且AD a,BE b,则BC可用向量a,b表示为_（答：2r4r；ab）33（4 4）已知ABC中，点D在BC边上，且CD 2 DB，CD r AB s AC，则r s的值是_（答：0）rr四实数与向量的积四实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：1a a,2当0rr时，a的方向与a的方向相同，当0 时，a的方向与a的方向相反，当0 时，a 0，注意注意：a0。五平面向量的数量积五平面向量的数量积：1uuu rr uuu rr1两个向量的夹

6、角两个向量的夹角：对于非零向量a，b，作OA a,OB b，AOB 0称为向量a，b的夹角，当0 时，a，b同向，当时，a，b反向，当rr2平面向量的数量积平面向量的数量积：如果两个非零向量a，b，它们的夹角为，我们把数量|a|b|cos叫做a与b的数量积（或r r内积或点积），记作：ab，即aba b cos。规定：零向量与任一向量的数量积是 0，注意数量积是一个实数，不注意数量积是一个实数，不再是一个向量再是一个向量。如如（1 1）已知a (1,时，a，b垂直。2rrr u rrrru1r1rr),b (0,),c a kb,d a b，c与d的夹角为，则k等于_224（答：1）；rrr

7、rrr（2 2）已知a 2,b 5,ag b 3，则a b等于_r rrrrr（3 3）已知a,b是两个非零向量，且a b abrrr，则a与a b的夹角为_（答：23）；r3b在在a上的投影上的投影为|b|cos，它是一个实数，但不一定大于 0。如如（答：30）o12a|3，|b|5，且ab 12，则向量a在向量b上的投影为_（答：）5r4 4ab的几何意义的几何意义：数量积ab等于a的模|a|与b在a上的投影的积。已知|5向量数量积的性质向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为，则：r2rrr2rr2当a，b同向时，ab，特别地，a aa a,a arrrrrrab非零向量a，b夹

8、角的计算公式：cos r r；|ab|a|b|。如如a br ra b（1 1）已知arrrra b ab 0；当a与b反向时，abr ra b；(,2)，b (3,2)，如果a与b的夹角为锐角，则的取值范围是_41（答：或 0且）；33六向量的运算六向量的运算：1几何运算几何运算：向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用uuu rrruuu ruuu ruuu ruuu rr uuu rrrr“三角形法则”：设AB a,BC b，那么向量AC叫做a与b的和，即ab AB BC AC；uuu rr uuu rrrruuu ruu

9、u ruuu r向量的减法：用“三角形法则”：设AB a,AC b,那么a b AB AC CA，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。如如uuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu r（1 1）化简：AB BC CD _；AB AD DC _；(AB CD)(AC BD)_uuu rr uuu rr uuu rrrrr（2 2）若正方形ABCD的边长为 1，AB a,BC b,AC c，则|a bc|_uuu ruuu rr（答：AD；CB；0）；（答：2 2）；rr2坐标运算坐标运算：设a (x1,y1

10、),b(x2,y2)，则：rr向量的加减法运算向量的加减法运算：ab (x1 x2，y1 y2)。如如（1 1）已知点A(2,3),B(5,4)，C(7,10)，若AP 分线上uuu ruuu ruuu rAB AC(R)，则当_时，点 P 在第一、三象限的角平（答：1）；22（2 2）已知作用在点A(1,1)的三个力F1uu ruu ruu ru ruu ruu ruu r(3,4),F2(2,5),F3(3,1)，则合力F F1 F2 F3的终点坐标是（答：（9,1）r实数与向量的积实数与向量的积：a x1,y1x1,y1。uuu r若A(x1,y1),B(x2,y2)，则AB x2 x1

11、,y2 y1，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。如如设A(2,3),B(1,5)，且ruuu ruuu r1uuu ruuu，则 C、D 的坐标分别是_AD 3ABAC AB3（答：(1,rr平面向量数量积平面向量数量积：ab x1x2 y1y2。如如已知向量a（sinx，cosx）,11；),(7,9)）3b（sinx，sinx）,c（1，0）,若 xrr2r22222向量的模向量的模：|a|x y,a|a|x y。如如r ru u rro已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a 3b|_（答：13）；两点间的距离两点间的距离：若A七向量的运算律七向

12、量的运算律：22x1,y1,Bx2,y2，则|AB|x2 x1y2 y1。，求向量a、c的夹角；3rrrrrrrrrr1交换律：ab ba，a a，ab ba；rrrrrr rrrrrrrrrrrr2结合律：abc ab c,abc a bc，a b ab abrrrrrrrrrrrrrr3分配律：a aa,ab ab，ab c acbc。；如如c)ab a c；a(b c)(ab)c；(ab)|a|2r rrrrr rr r rr22abb2|a|b|b|2；若ab 0，则a 0或b 0；若ab cb,则a c；a a；r2 r下列命题中：a(b(ab)2r r2r2r2rrr2r rr2

13、a b；(ab)2 a 2abb。其中正确的是_（答：）aa；提醒：提醒：（1 1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除切记两向量不能相除(相约相约)；（2 2）向量的“乘法”不满足结合律向量的“乘法”不满足结合律，即a(bc)八向量平行八向量平行(共线共线)的充要条件的充要条件：a/b a brrr(ab)c，为什么？rrrrrrrrrrr（2 2）已知a (1,1),b (4,x)，u a 2b，v 2a b，且u/v，则 x_

14、（答：4）；uuu ruuu ruuu r（3 3）设PA (k,12),PB (4,5),PC (10,k)，则 k_时，A,B,C 共线（答：2 或 11）rrr rrrrr九向量垂直的充要条件九向量垂直的充要条件：a b ab 0|a b|a b|x1x2 y1y2 0.如如(1)(1)已知OA (1,2),OB (3,m)，若OA OB，则m（答：rrrr(1)(1)若向量a (x,1),b (4,x)，当x_时a与b共线且方向相同（答：2）；r rrr(ab)2(|a|b|)2 x1y2 y1x20。如如uuu ruuu ruuu ruuu r32）；（2 2）以原点 O 和 A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形 OAB，B 90，则点 B 的坐标是_（答：(1,3)或（3，1）；（3 3）已知n (a,b),向量n m，且rru ru rru rn m，则m的坐标是_（答：(b,a)或(b,a)）3