2子集、真子集

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1、集合间的基本运算一：教学目标了解集合间包含关系的意义.理解子集、真子集的概念和意义,注重学生数学语言、符号 语言、图形语言的互译与转化能力的培养二：教学重难点教学重点：子集、真子集的概念教学难点：写出子集、真子集的个数三：新课引入公孙龙是我国战国时期的诸子百家中的一位名家，他曾提出“白马非马”的论断，他的 理由主要有三条，其中第一条是他认为“马”是一种动物，而“白”是一种颜色，“白马” 则是一种动物与一种颜色的混合体，因此他认为“白马非马”.能过这种解释，你还认为白 马是马吗？你认为所有白色的马组成的集合与所有马组成的集合之间有什么关系呢？ 四：知识要点1子集一般地，对于两个集合A、B,如果集

2、合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们 就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集（subset）,记作A匸B （或B n A）， 读作“A含于B”（或“B包含A”）.其数学语言表示形式为：若对任意的x g A有x e B，则A匸B例如1,2,3匸N，N匸R，x I x是山东人匸xI x是中国人等.另外，在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为 Venn 图.用Venn图表示A匸B（或B n A）如下:根据子集的定义，我们可以知道A匸A，也就是说任何集合都是它本身的一个子集.2真子集如果集合A匸B，但存在元素x g B，且x电A，我们称集合A是集合B的真子集（pr

3、oper subset）,即如果A匸B且A丰B，那么集合A是集合B的真子集，记作AB （或BA）.例如1,2,3审N、a,b学a,b,c等等.子集与真子集的区别在于“ A匸B ”允许A = B或A学B，而A宰B是不允许“ A = B ”的，所以如果A孕B成立，则一定有A匸B 成立；但如果有A匸B成立，AWB不一定成立.3. 空集我们把不含有任何元素的集合叫做空集（empty set）,记为0， 并规定：空集是任何集合的子集.其实空集还可以看作是含有0个元素的集合，从这种 角度出发，往往能为我们研究集合的性质提供有条理性的帮助.对于空集0，我们规定0匸A，即空集是任何集合的子集.4集合相等的概念

4、如果集合A是集合B的子集（A匸B），且集合B是集合A的子集（B匸A），此时， 集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A二B.用Venn图表 示A = B如下：5. 子集的有关性质子集与真子集的性质（1）任何集合是它本身的子集，即A匸A ；（2）对于集合A、B、C，如果A匸B,且B匸C,那么A匸C ；（3）对于集合A、B、C，如果AWB，且B学C，那么A宰C ；（4）空集0是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.女如1,2匸 M = 123,4,5的集合M的个数是）五：典型例题考点一:子集例1正确表示常用数集：正整数集（N*或 N）；整数集（Z）；有理数集（Q）；实数集

5、（R） 得关系。分析：考察每个数集得具体元素例2设A = （x, y ）1，B = （x, y）l二厂，判断集合A是否是集合B的子集，B匸A成立吗？分析：由于正比例函数y二x与y二x +1的图象都是直线，并且这两条直线互相平行，所以 A = ( x, y )1y = 2 xy = -2 x +1 解得1x =41所以集合B = *（x，y） 1y = 2 xy = 2 x +1从而知集合A是集合B的子集，但B匸A不成立.变式练习练1.若P=y|y=X2,xUR, Q=y|y=x2+l,xUR，试判断集合P与集合Q之间的包含关系 解：P、Q中的代表元素都是y,它们分别表示函数y=X2, y= X

6、2+1中y的取值范 由 P=y|y三o,Q=y|y三1，知Qu P.例3.写出集合a,b,c,d的所有子集.分析：集合a,b,c,d的所有子集可以分为五类，即：（1）含有0个元素的子集，即空集0；（2）含有一个元素的子集： a,b,c,d；（3）含有二个元素的子集： a,b,a,c,a,d,b,c,b,d,c,d（4）含有三个元素的子集： a,b,c,a,b,d,a,c,d,b,c,d；（5）含有四个元素的子集： a,b,c,d.探究：如果用Card（A）表示集合A的元素个数，则集合A共有2caA）个子集即若集 合A中有n个元素，则集合A有2n个子集.例 4. 下列表述正确的是（）A. 0 =

7、 0 B. 0 匸0 C. 0二0 D. 0e 0分析：B由于空集0是不含有任何元素的集合，而集合0则是含有1个元素0的 集合，从而选 B.变式练习：练1：分别写出集合a,a,b和a,b,c的所有子集，并得出子集的个数.分析：集合a的所有子集是0，a，共有2个子集；集合a,b的所有子集是0，a,b,a,b，共有4个即22个子集；集合a,b,c的所有子集可以分成四类即空集：0 ；一元子集：a,b,c ；(3) 二元子集a,b,a,c,b,c ； 3三元子集a,b,c.共有8个即23个子集.考点二：真子集例 5. 下列命题中正确的是：(1) 空集没有子集(2) 任何集合至少有两个子集(3) 空集是

8、任何集合的真子集(4)如果0 u A，则 A分析：( 4)正确例 6.已知 A 二xI 3x + 4 二 0 B 二x e R 1(x + 1)(x2 + 3x 4)二 0，求满足条件 AP匸B的集合只分析：由P匸B知p是B的子集，又由A P知P丰0，此时即求满足条件的集合B的 非空子集.由于 A = xI x2 3x + 4 = 0 = 0，B=xeRl(x+1)(x2+3x4)=0=1,14.由 Ap匸B知P丰B且其元素全属于B.因此满足条件的集合P为1、4、1,1、 1,4、 1,4、 1,1,4.变式练习练1.求满足2,3匸A仝2,3,4,5,6,7的集合a的个数解：由2,3匸A知，集

9、合A中必有2、3两个元素，又由于AQ 2,3,4,5,6,7，从而 只需考虑4,5,6,7的真子集的个数即可.由于4,5,6,7共有24-1 = 15个真子集，从而可 知符号条件的集合A的个数为15个.考点三：集合相等例 7.已知集合 A=a, a +b, a +2b, B=a, a c, a C2.若 A=B,求 c 的值.分析：要解决c的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的 两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式. 分两 种情况进行讨论.(1) 若a +b= a c 且a +2b= a C2，消去 b 得：a + a C2 2a c=0,a =0

10、时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a工0 .C2 2c+1=0,即c=1，但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解.(2) 若a +b= ac2且a +2b=ac，消去 b 得：2ac2 a c a =0，*.* a H0，.2c2 c1=0，即(c1)(2c+1)=0，又 cHl，故 c =丄.2 解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验和修正.例 & (1 )设 A 二x 12m-1 x m + 3可得m 4，此时 A = x 12m一 1 x 4时，A = B.(2)设x e X，即 x = (2n + 1),n e Z.当 n = 2k 时，

11、有 x = 4k +1, x e Y ；当 n = 2 k -1 时，有 x = 4k 一 1, x e Z从而X匸Y ；另一方面，设y e Y，即y = (4k 1 k eZ ，因为4k 士 1是奇数，所以y e X，即Y匸X . 综上可知， X = Y.变式练习练1：设集合A=a I a =3n+2,nuZ，集合B=b|b=3k1, kuZ，则集合A、B的关系是 解：这里说明a UB或buA的过程中，关键是先要变(或凑)出形式，然后再推理任设a uA，则 a =3n+2=3(n+1) 1(nuZ),nuZ,.n+luZ.A a uB,故a匸 b .又任设 buB，则 b=3k1=3(k1)

12、 +2(kuZ),*.* kuZ,. kluZ.buA，故B匸A由知A=B.ab(a3 1)二 0(1)即(a 1)(a + b +1)二 0 (2)练2.设集合A二l,a,b，集合B二a,a2,ab，且A = B，求实数a,b的值.解法一：lx a x b 二 a x a2 x ab 因为A = B，所以S了了1+a+b 二 a + a2 + ab因为元素的互异性，则a丰0,a丰1.由(1)得b二0，代入(2)式得a = 1.或lb=後Ib 二 a 2从而 a = 一1， b 二 0.解法二：由集合相等的定义得p二abI b = abI a 二 1 I a = 1I a 二 1解得Ib e

13、R 或 I b二0 ；解得Ib二1由集合元素的互异性得a = -1，b二0.考点四：子集问题的应用例 9.已知集合 A=x|x2 3x10W0，集合 B=x|p+lWxW2p 1.若 B匚 A，则实数 p 的 取值范围是.分析：由 x2 3x10W0 得一2WxW5. 欲使B匚A,只须-2 +1二一3 p 3P的取值范围是一3WpW3.2 p 1 p22.由 B匚 A 得：一2Wp + 1 且 2plW5.由一3WpW3. 2WpW3.当 B= 0 时，即 p+12p1 = pV2.由、得：pW3.变式练习练 1：已知集合 A=x|x2-3x+2=0, B=x|x2-mx+2=0,若 B匚 A

14、,求实数 m 范围解：根据集合中元素个数集合B分类讨论，B= 0 , B=1或2, B=1, 2.当 B= 0 时，二m2-80.2込 m 22 .当 B=1或2时，= 0, m 无解.1 - m + 2 = 0或4 - 2m + 2 = 0当 B=1, 2时,J1 + 2 = m, . m=3.lx 2 = 2.综上所述，m=3或 22 m 22 -例10.设集合P=m| 1m0, Q=muR|mx2+4mx4V0对任意实数x恒成立，则下列关系中成立的是( )A.医QB. QoPC. P=QD. gP分析：解法一 Q=muR|mx2+4mx40对任意实数x恒成立，对m分类： m=0时，一40

15、恒成立； m0 时，需A= (4m) 24XmX(4)0,解得 m0.综合知 mWO,.Q=muR|mWO从而區Q,选A.解法二显然m =0时，mx2 + 4mx-40恒成立，故0eQ,但0电P,故可排除B、C；另 一方面，当m = 一2时，mx2 + 4mx-4 = -2x2-4x-4 二2(x +1)2-20恒成立，故-2 e Q,又-2纟P,从而排除D,故只有A正确.变式练习练1.已知集合A=x|x|W2, xeR, B=x|x2a，且A呈B,则实数a的取值范围是解：a 0 , y=x+luR，所 以M匸N.六：课后练习一、理解与应用 1. 下列关系中正确的个数为( )0丘0,0 里0，

16、0,1匸(0,1)，(a,b) = (b,a)A.1B.2C.3D.423A1B. -1C. 2D. 24.设集合A二x I x二*k + 4,k g Z，若x二2，则下列关系正确的是()A. x u AB. x g AC. x g AD. x u A、拓展与创新5. 用适当的符号填空：(1) 0xx2 -1 = 0 ； (2) 1, 2, 3N；(3) 1xx2 = x ； (4) 0xx2 = 2x.6. 已知A=x|x23x+2=0,B=x| ax2=0且B匸A ,则实数a组成的集合C是三、综合与探究7. 已知 M二x| -2WxW5, N=x| a+1WxW2a-1.(I) 若M匸N,求实数a的取值范围；(II) 若Mr N,求实数a的取值范围.2x-1&设集合A=x|xa|2, B=x| a +17. 解：(I)由于 McN,则 O a +1(II)当 N= 0 时，即 a+12a1,有 aV2；-2 a +1当 NH 0，则 2a 1，解得 2WaW3,2a 1 a +1综合得a的取值范围为aW3.8. 解：由 |xa|2,得 a2xa+2,所以 A二x|a2xa+2.2 x 1x 3由1,得 0,即一2x3,所以 B=x|2x3.x + 2x + 2因为A匸B,所以于是0WaW1.