二项分布及泊松分布

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1、例例1 设生男孩的概率为设生男孩的概率为p,生女孩的概率为生女孩的概率为q=1-p，令令X表示随机抽查出生的表示随机抽查出生的4 4个婴儿个婴儿中中“男孩男孩”的个数的个数.贝努利概型贝努利概型 和和二项分布二项分布一、一、我们来求我们来求X的概率分布的概率分布.4,3,2,1,0,)1(44kppCkXPkkkX的概率函数是：的概率函数是：男男 女女X表示随机抽查的表示随机抽查的4 4个婴儿中男孩的个数，个婴儿中男孩的个数，生男孩的概率为生男孩的概率为 p.X=0X=1X=2X=3X=4X可取值可取值0,1,2,3,4.例例2 将将一枚均匀骰子抛掷一枚均匀骰子抛掷1010次，次，令令X 表示

2、表示3 3次中出现次中出现“4”4”点的次数点的次数3,2,1,0,)65()61(33kCkXPkkkX的概率函数是：的概率函数是：不难求得，不难求得，掷骰子：掷骰子：“掷出掷出4 4点点”，“未掷出未掷出4 4点点”一般地，一般地，设在一次试验中我们只考虑两个设在一次试验中我们只考虑两个互逆的结果：互逆的结果：A或或 ，或者形象地把两个互或者形象地把两个互逆结果叫做逆结果叫做“成功成功”和和“失败失败”.A 新生儿：新生儿：“是男孩是男孩”，“是女孩是女孩”抽验产品：抽验产品：“是正品是正品”，“是次品是次品”这样的这样的n次独立重复试验称作次独立重复试验称作n重贝努利重贝努利试验，简称贝

3、努利试验或试验，简称贝努利试验或贝努利概型贝努利概型.再设我们重复地进行再设我们重复地进行n次独立试验次独立试验 (“(“重重复复”是指这次试验中各次试验条件相同是指这次试验中各次试验条件相同 )，每次试验成功的概率都是每次试验成功的概率都是p，失败的概率，失败的概率都是都是q=1-=1-p.用用X表示表示n重贝努利试验中事件重贝努利试验中事件A（成功成功）出现的次数，则出现的次数，则nkppCkXPknkkn,1,0,)1()(1)(0nkkXP（2）不难验证：不难验证：0)(kXP（1）称称r.vr.vX服从参数为服从参数为n和和p的二项分布，记作的二项分布，记作 XB(n,p)当当n=1

4、时，时，P(X=k)=pk(1-p)1-k,k=0,1称称X服从服从0-1分布分布007125.0)95.0()05.0()2(223CXP例例3 已知已知100个产品中有个产品中有5个次品，现从中个次品，现从中有放回有放回地取地取3次，每次任取次，每次任取1个，求在所取个，求在所取的的3个中恰有个中恰有2个次品的概率个次品的概率.解解:因为这是有放回地取因为这是有放回地取3次，因此这次，因此这3 次试验次试验的条件完全相同且独立，它是贝努利试验的条件完全相同且独立，它是贝努利试验.依题意，每次试验取到次品的概率为依题意，每次试验取到次品的概率为0.05.设设X为所取的为所取的3个中的次品数，

5、个中的次品数，于是，所求概率为于是，所求概率为：则则 X B(3,0.05)，注：若注：若将本例中的将本例中的“有放回有放回”改为改为”无放无放回回”，那么各次试验条件就不同了，不是贝，那么各次试验条件就不同了，不是贝努里概型，此时，只能用古典概型求解努里概型，此时，只能用古典概型求解.00618.0)2(310025195CCCXP二项分布描述的是二项分布描述的是n重贝努里试验中出现重贝努里试验中出现“成功成功”次数次数X的概率分布的概率分布.可以简单地说，可以简单地说，例例4 某类灯泡使用时数在某类灯泡使用时数在1000小时以上小时以上的概率是的概率是0.2，求三个灯泡在使用，求三个灯泡在

6、使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率小时以后最多只有一个坏了的概率.解解:设设X为三个灯泡在使用为三个灯泡在使用1000小时已小时已坏坏的灯泡数的灯泡数.X B(3,0.8)，把观察一个灯泡的使用把观察一个灯泡的使用时数看作一次试验时数看作一次试验,“使用到使用到1000小时已坏小时已坏”视为视为“成功成功”.每次试验每次试验“成功成功”的概率为的概率为0.8 P(X 1)=P(X=0)+P(X=1)=(0.2)3+3(0.8)(0.2)2=0.104,)2.0()8.0()(33kkkCkXP3,2,1,0k 对于固定对于固定n及及p，当，当k增增加时加时,概率概率P(X=k)先是随先

7、是随之增加直至之增加直至 达到最大值达到最大值,随后单调减少随后单调减少.二项分布的图形特点：二项分布的图形特点：XB(n,p)当当(n+1)p不为整数时，二项概不为整数时，二项概率率P(X=k)在在k=(n+1)p达到最达到最大值；大值；(x 表示不超过表示不超过 x 的最大整数的最大整数).n=10,p=0.7nPk0 对于固定对于固定n及及p，当，当k增增加时加时,概率概率P(X=k)先是随先是随之增加直至之增加直至 达到最大值达到最大值,随后单调减少随后单调减少.二项分布的图形特点：二项分布的图形特点：XB(n,p)当当(n+1)p为整数时，二项概率为整数时，二项概率P(X=k)在在k

8、=(n+1)p和和k=(n+1)p-1处处达到最大达到最大值值.n=13,p=0.5Pkn.0111)1()(knkknknkknqpCqpCkXPkXPkqpkn)1(),2,1()1(1nkkqkpn kqqkpn)1()1(kqkqkpn )1(的的增增加加而而上上升升；随随着着此此时时，时时，当当kkXPkXPkXPpnk)()1()()1(;),1()()1(的的增增加加而而下下降降此此时时随随着着时时，当当kKXPKXPpnk 达达到到最最大大值值。时时不不是是整整数数，则则若若都都达达到到最最大大值值及及在在此此时时为为正正整整数数时时当当)1()1(;1)1()1()(),1(

9、)(,)1(pnkpnpnpnkkXPkXPkXPpnk 想观看二项分布的图形随参数想观看二项分布的图形随参数n,p的的具体变化，请看演示具体变化，请看演示二项分布二项分布例例5 为保证设备正常工作，需要配备适量为保证设备正常工作，需要配备适量的维修工人的维修工人.设共有设共有300台设备，每台的工台设备，每台的工作相互独立，发生故障的概率都是作相互独立，发生故障的概率都是0.01.若若在通常的情况下，一台设备的故障可由一在通常的情况下，一台设备的故障可由一人来处理人来处理.问问:(1)若只配备一名工人，则设备发生故若只配备一名工人，则设备发生故障而不能及时维修的概率是多少？障而不能及时维修的

10、概率是多少？(2)若配备两名工人，则设备发生故障若配备两名工人，则设备发生故障而不能及时维修的概率是多少？而不能及时维修的概率是多少？(3)若使设备发生故障时不能及时维修的概若使设备发生故障时不能及时维修的概率小于率小于0.01，至少应配备多少工人，至少应配备多少工人?我们先对题目进行分析：我们先对题目进行分析：300台设备，独立工作，出故障概率都是台设备，独立工作，出故障概率都是0.01.一台设备故障一人来处理一台设备故障一人来处理.设设X为为300台设备同时发生故障的台数，台设备同时发生故障的台数，300台设备，独立工作，每台出故障概率台设备，独立工作，每台出故障概率p=0.01.可看作可

11、看作n=300的贝努利概型的贝努利概型.XB(n,p)，n=300,p=0.01可见，可见，“若只配备一名工人若只配备一名工人”那么只要同时发生故那么只要同时发生故障的设备的台数障的设备的台数X大于大于1，其中的，其中的X-1 台设备就台设备就会得不到及时维修。即所求为会得不到及时维修。即所求为 问问(1)若只配备一名工人，则设备发生故障若只配备一名工人，则设备发生故障而不能及时维修的概率是多少？而不能及时维修的概率是多少？同理，同理，“若只配备两名工人若只配备两名工人”那么只要同时那么只要同时发生故障的设备的台数发生故障的设备的台数X大于大于2即可。所求为即可。所求为)1(XP)2(XP 3

12、00台设备，独立工作，出故障概率都是台设备，独立工作，出故障概率都是0.01.一台设备故障一人来处理一台设备故障一人来处理.问问(3)需配备多少工人，若使设备发生故需配备多少工人，若使设备发生故障时不能及时维修的概率小于障时不能及时维修的概率小于0.01?设设X为为300台设备同时发生故障的台数，台设备同时发生故障的台数，XB(n,p)，n=300,p=0.01设需配备设需配备N个工人，个工人，所求的是满足所求的是满足的最小的的最小的N.P(XN)N)(1NXP 01.0)01.01(01.013000300kkNkkC 通过计算可知，通过计算可知，01.0039.0)8(XP 则要使设备发生

13、故障而不能及时维修的概则要使设备发生故障而不能及时维修的概率小于率小于0.01，只需配备，只需配备8名工人，平均每人负责名工人，平均每人负责38台。台。若将该例改为：若将该例改为：(1)若由一人负责若由一人负责20台设备，求这台设备，求这20台设备台设备发生故障而不能及时维修的概率；发生故障而不能及时维修的概率；解：解：(1)设随机变量设随机变量X表示表示20台设备在同一台设备在同一时刻发生故障的台数，则时刻发生故障的台数，则)01.0,20(BX)1(1 XP)1(XP)1()0(1 XPXP1912020002099.001.099.001.01 CC0176.0 (2)若由若由3人共同负

14、责维修人共同负责维修80台设备，求这台设备，求这80台设备发生故障而不能及时维修的概率。台设备发生故障而不能及时维修的概率。解：设随机变量解：设随机变量X表示表示80台设备在同一时刻台设备在同一时刻发生故障的台数，则发生故障的台数，则)01.0,80(BX)4(1XP )4(XP)3()2()1()0(1 XPXPXPXP0.0091由由(1)(2)结果，可看出后者的管理经济效益要结果，可看出后者的管理经济效益要好得多。好得多。例例6 某人去一服务单位办事，排队等候的时某人去一服务单位办事，排队等候的时间间(分钟分钟)为一随机变量，设其概率密度为：为一随机变量，设其概率密度为：000101)(

15、10 xxexx 若此人等候时间超过若此人等候时间超过15分钟则愤然离去。假分钟则愤然离去。假设此人一个月要到该服务单位办事设此人一个月要到该服务单位办事10次，则次，则 (1)此人恰好此人恰好 有有2 次愤然离去的概率；次愤然离去的概率；(2)此人至少有此人至少有2次愤然离去的概率；次愤然离去的概率；(3)此人多数会愤然离去的概率。此人多数会愤然离去的概率。解：解：”表示，则”表示，则“机变量机变量“此人愤然离去”由随“此人愤然离去”由随15Xdxex1015101 )15(XP223.023 e 1510 xe 设随机变量设随机变量Y表示表示“此人来服务单位办事此人来服务单位办事10次中愤

16、然离去的次数次中愤然离去的次数”，则，则)223.0,10(BY(1)此人恰好此人恰好 有有2 次愤然离去的概率；次愤然离去的概率；82210)223.01(223.0 C)2(YP即即)1()0(1 YPYP)1(YP(2)此人至少有此人至少有2次愤然离去的概率；次愤然离去的概率；9110100010)223.01(223.0)223.01(223.01 CC(3)此人多数会愤然离去的概率。此人多数会愤然离去的概率。)5(1 YP)5(YPkkkkC 105010)223.01(223.01二、二项分布的泊松近似二、二项分布的泊松近似 我们先来介绍我们先来介绍二项分布的泊松近似，二项分布的泊

17、松近似，下一讲中，我们将介绍二项分布的正态近下一讲中，我们将介绍二项分布的正态近似似.kkkkkCkXPXP 30030023003002)99.0()01.0()()1(或诸如此类的计算问题，必须寻求近似方法或诸如此类的计算问题，必须寻求近似方法.当试验次数当试验次数n很大时，计算二项概率变很大时，计算二项概率变得很麻烦，若得很麻烦，若 要计算要计算)01.0,300(BX 定理的条件意味着当定理的条件意味着当 n很大时，很大时，p 必定必定很小很小.因此，泊松定理表明，当因此，泊松定理表明，当 n 很大，很大，p 很小时有以下近似式：很小时有以下近似式：!)1(keppCkknkkn泊松定

18、理泊松定理设设 是一个正整数，是一个正整数，则有，则有,2,1,0,!)1(lim kkeppCkknkknn 其中其中 np(证明见下一页证明见下一页).np 证明：证明：np knkknknppCP )1(knknnkknnn )1()(!)1()1(knknnkknnn )1()(!)1()1(knkknnnknnnk )1()1()1()1(!knknnnknnk )1()1)(11()21)(11(1!时时，有有当当对对固固定定的的 nk,1)11()21)(11(1 nknn)()1()1(nnnn e1)1(kn knkknnnknnnk )1()1()1()1(!n 100,n

19、p 10 时近似效果就很好时近似效果就很好 请看演示请看演示二项分布的泊松近似二项分布的泊松近似实际计算中，实际计算中，!)1(keppCkknkkn其中其中 np 例例5 为保证设备正常工作，需要配备适量为保证设备正常工作，需要配备适量的维修工人的维修工人.设共有设共有300台设备，每台的工台设备，每台的工作相互独立，发生故障的概率都是作相互独立，发生故障的概率都是0.01.若若在通常的情况下，一台设备的故障可由一在通常的情况下，一台设备的故障可由一人来处理人来处理.问问:(1)若只配备一名工人，则设备发生故若只配备一名工人，则设备发生故障而不能及时维修的概率是多少？障而不能及时维修的概率是

20、多少？(2)若配备两名工人，则设备发生故障若配备两名工人，则设备发生故障而不能及时维修的概率是多少？而不能及时维修的概率是多少？解：设解：设X为为300台设备同时发生故障的台数，台设备同时发生故障的台数，XB(n,p)，n=30010,p=0.010.1 (3)若使设备发生故障时不能及时维修的概若使设备发生故障时不能及时维修的概率小于率小于0.01，至少应配备多少工人，至少应配备多少工人?301.0300 np ekppCkXPkknkkn!)1()()1(1 XP)1(XP)1()0(1 XPXP查表可得：查表可得：149361.0)1(,049787.0)0(XPXP81.0)1(XP)2

21、()1()0(1 XPXPXP)2(XP58.0224042.0149361.0049787.01 要使要使P(XN)01.0)(1NXP 99.0)(NXP 即即 即求使表中即求使表中 的那一列中前的那一列中前N项之和项之和大于大于0.99的那个的那个N。3 经查表得经查表得N=8。这样就大大简化了计算过程。这样就大大简化了计算过程。当当p不是很小，而是很大不是很小，而是很大(接近于接近于1)，可，可将问题略为转换一下，仍然可以应用泊松将问题略为转换一下，仍然可以应用泊松近似近似.当当 n很大时，很大时，p不是很小，而是很大不是很小，而是很大(接接近于近于1)时，时，能否应用二项分布的泊松近似？能否应用二项分布的泊松近似？