112 集合的包含关系

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1、1.1.2 集合的包含关系学习目标 1.明确子集，真子集，两集合相等的概念 .2.会用符号表示两个集合之间的关系.3.能根据两集合之间的关系求解参数的范围.4.知道全集，补集的概念，会求集合的补集尹 预习导学 聾 挑战自我，点点落实知识链接1. 已知任意两个实数a, b,如果满足a三b, b三a,则它们的大小关系是a=b.2若实数x满足x1,如何在数轴上表示呢？ x21时呢？答案3.方程 ax任意一个集合A都是它本身的子集，即 空集是任意一个集合的子集，即对任意集合A,都有丕A(a1)x1= 0 的根一定有两个吗？ 答案 不一定.预习导引1. 集合之间的关系关系概念付号表示图形表示子集如果集合

2、B的每个元素都是集合A的元素，就 说B包含于A,或者说A包含B.若B包含于A, 称B是A的一个子集Be A(A (B) 或真子集如果B是A的子集，但A不是B的子集，就说B是A的真子集B A集合相等如果B是A的子集，A也是B的子集，就说两个集合相等A=B0全集、补集如果在某个特定的场合,要讨论的对象都是集 合I的元素和子集，就可以约定把集合I叫作 全集.若A是全集I的子集，I中不属于A的 元素组成的子集叫作A的补集2. 常用结论要点一 有限集合的子集确定问题例1写出集合A= 1,2,3的所有子集和真子集.解由0个元素构成的子集：0；由 1 个元素构成的子集： 1，2，3；由2个元素构成的子集：

3、1,2，1,3，2,3；由3个元素构成的子集： 1,2,3由此得集合 A 的所有子集为0, 1, 2, 3, 1,2, 1,3, 2,3, 1,2,3. 在上述子集中，除去集合A本身，即1,2,3，剩下的都是A的真子集.规律方法 1.求解有限集合的子集问题,关键有三点：(1) 确定所求集合；(2) 合理分类,按照子集所含元素的个数依次写出；(3) 注意两个特殊的集合,即空集和集合本身.2. 一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有2n1个，非空真子集有 2n2 个.跟踪演练1已知集合M满足2,3匸Me 1,2,3,4,5,求集合M及其个数.解 当M中含有两个元素时，M为2,3；

4、当M中含有三个元素时，M为2,3,1, 2,3,4, 2,3,5；当 M 中含有四个元素时，M为2,3,1,4, 2,3,1,5, 2,3,4,5；当M中含有五个元素时，M为2,3,1,4,5；所以满足条件的集合 M 为2,3, 2,3,1, 2,3,4, 2,3,5, 2,3,1,4, 2,3,1,5, 2,3,4,5, 2,3,1,4,5，集合 M 的个数为&要点二 集合间关系的判定例 2 指出下列各对集合之间的关系：(1) A= 1,1, B=( 1,1), (1,1), (1,1), (1,1)；(2) A=x|x是等边三角形, B=x|x是等腰三角形；(3) A= x| 1x4, B

5、=x|x5V0；(4) M= x|x=2n1, ne, N=x|x=2n+1, ne.解(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系.(2) 等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A B.(3) 集合B=x|x0，试判断集合A和B的关系.f71解 A= 3,2, B=x|x7223丘 B, 2丘 B,. Ac B又OWB,但0年A,.A B.要点三 简单的补集运算集合A=1,2，则J A等于()3,4,5D. 0例 3(1)设全集 U=1,2,3,4,5,A1,2BC1,2,3,4,5(2)若全集 U=R，集合 A=x|x21，则J

6、A=.答案(1)B(2)x|xV1 解析(1)TU=1,2,3,4,5, A=1,2,nA= 3,4,5.(2)由补集的定义，结合数轴可得A=x|xV1.规律方法 1.根据补集定义,当集合中元素离散时,可借助图；当集合中元素连续时,可借 助数轴,利用数轴分析法求解2. 解题时要注意使用补集的几个性质：討=0, fMU, AU(uA)=U.跟踪演练3已知全集U=x|x 3，集合A=x|3VxW4，则J A=,答案 x|x=3，或 x4解析 借助数轴得屮=仪仪=3,或x4.要点四 由集合间的关系求参数范围问题例 4 已知集合 A= x|3WxW4, B= x|2m1 VxVm+1，且 Bc A.求

7、实数 m 的取值范围解VBc A, 当B=0时，m+lW2m1,解得m三2.3W2m 1,当BM0时，有1m+12.若Be A,由图可知1 WaW2.0142 兀尹 当堂检测 聾 当堂训练，体验成功1. 集合A=x|0WxV3, xWN的真子集的个数为（）A4B7C8D16答案 B解析 可知 A= 0,1,2,其真子集为:0, 0, 1, 2, 0,1, 0,2, 1,2.共有 7（个）.2. 设集合M=x|x2，则下列选项正确的是（）A. 0e MB.0eMc. 0gMd. 0e M答案 A解析 选项 B、C 中均是集合之间的关系,符号错误；选项 D 中是元素与集合之间的关系,符 号错误3.

8、 设全集 U=R, A=x|0WxW6，贝V A 等于（）RA. 0,1,2,3,4,5,6B. x|xV0,或 x6C. x|0VxV6D. x|xW0,或 x6答案 B解析 A=x|0WxW6, 结合数轴可得，A=x|xV0,或x6.R4. 已知集合A= 2,9，集合B= 1m, 9，且A=B，则实数m=. 答案 1解析 .A=B,.1m=2,.m= 1.5. 已知0 x|x2x+a=O，则实数a的取值范围是.答案a|a4解析 V0x|x2x+a=O.x | X2x+a=0工 0.即X2x+a=0有实根.A = (1)24a20,得 aW.课堂小结11. 对子集、真子集有关概念的理解集合A

9、中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由xwA,能推出xeB，这是判断Ac B 的常用方法(2) 不能简单地把“Ac B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A=0时，则A 中不含任何元素；若A=B，则A中含有B中的所有元素.(3) 在真子集的定义中，A、B首先要满足Ac b，其次至少有一个xeB，但x年A. 2集合子集的个数 求解集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集集 合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n1个真子集，有2n 2个非空真子集尹 分层训练 全 解疑纠偏，训练检测一、基础达标1 下列命题中，正确的有() 空集

10、是任何集合的真子集； 若A B，B C,则A C； 任何一个集合必有两个或两个以上的真子集； 如果不属于B的元素也不属于A,则Ac B.A.B.C.D.答案 C解析空集只是空集的子集而非真子集，故错；真子集具有传递性，故正确；若 一个集合是空集，则没有真子集，故错；画图易知正确.2. 已知集合Ac 0,1,2，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为()A6B5C4D3答案 A解析 集合0,1,2的子集为：0, 0, 1, 2, 0,1, 0,2, 1,2, 0,1,2，其中含 有偶数的集合有6 个3. 设集合 P=x|y=X2, Q=(x, y)|y=X2,则 P 与 Q 的关系是

11、()A. Pc QB. Pn QC. P=QD.以上都不对答案 D解析 集合P是指函数y=x2的自变量x的取值范围，集合Q是指所有二次函数y=x2图象上 的点,故 P, Q 不存在谁包含谁的关系.4. 已知集合 A= x| 1x4, B=x|xVa，若 A B,则实数 a 满足()A. a4D. a24答案 D解析由A B,结合数轴，得a4.5. 集合1,0,1共有个子集.答案 8解析 由于集合中有3个元素，故该集合有23 = 8(个)子集.6设M为非空的数集，Mc 1,2,3,且M中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M共有 个.答案 6解析 集合1,2,3的所有子集共有 23=8(个)，集合

12、2的所有子集共有 2 个，故满足要求 的集合M共有8 2 = 6(个).7. 已知集合A= (x, y)|x+y=2, x, yN，试写出A的所有子集.解.A=(x, y)|x+y=2, x, yN,A=(0,2), (1,1), (2,0).A 的子集有：0, (0,2), (1,1), (2,0), (0,2), (1,1), (0,2), (2,0), (1,1), (2,0), (0,2), (1,1), (2,0).二、能力提升8. 已知集合A=x|ax2+2x+a=0, aWR，若集合A有且仅有2个子集，则实数a的取值是()A. 1B. 1C. 0,1D.1,0,1答案 D解析 因

13、为集合A有且仅有2个子集，所以A仅有一个元素，即方程ax2 + 2x+a=0(aWR) 仅有一个根当a=0时，方程化为2x=0,此时A=0,符合题意.(2)当 aMO 时，由 A =224 a a=0, 即 a2 = l,a=l.此时A= 1，或A= 1，符合题意. a= 0 或 a=1.9. 已知集合A=高一 三班同学, B=高一 三班二组成员，贝H)A. An BB. Ac BC. A BD. B A答案 D10. 设集合 A=1,3, a, B=1, aa+1，且 An B,则实数 a 的值为.答案 1 或2解析 An B,则a2a+1 = 3或a2a+1=a,解得a=2或a= 1或a=

14、1,结合集合元素 的互异性，可确定a= 1或a=2.11. 已知集合 A= x|x24x+3 = 0, B= x|mx3 = 0，且 Bc A,求实数m 的集合. 解 由 x24x3= 0，得 x= 1 或 x=3.集合 A= 1,3 .当B=0时，此时m=0,满足Bc A.3、(2) 当 BM0时，则 mMO, B=x|mx3 = 0=常.* Bc A，：m=1 或m=3，解之得 m=3 或 m= 1.综上可知，所求实数m的集合为0,1,3.三、探究与创新12. 已知集合 A= x|2a2x0,即aV*时，若Be A成立，则 B= 3,2 , a=3X2=6.综上：a的取值范围为a|a4或a=6.