零输入响应与零状态响应

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1、 2008 级信号与系统 课程设计 信号与系统课程设计报告书课题名称 零输入响应与零状态响应姓名梁何磊学号20086354院、系、部电气系专业电子信息工程指导教师秀婷康朝红2011年1月11日连续时间系统的LTI系统的时域仿真零输入响应与零状态响应20086354 梁何磊一、设计目的掌握信号经过LTI系统的时域分析方法。巩固已经学过的知识，加深对知识的理解和应用， 加强学科间的横向联系，学会应用MATLAB对实际问题进行仿真。学会对带有非零起始状态 的LTI系统进行仿真。二、设计要求 （1）根据实际问题建立系统的数学模型，对给定的如下电路，课本第二章例2-8， 参数如图所示；建立系统的数学模型

2、，并计算其完全响应；（2）用MATLAB描述此系统；（3）仿真实现并绘制输出信号的波形。要求用两种方法仿真实现完全响应。对 仿真结果进行比较，并与理论值比较。三、设计方法与步骤：一般的连续时间系统分析有以下几个步骤: 求解系统的零输入响应; 求解系统的零状态响应；求解系统的全响应；分析系统的卷积；画出它们 的图形.下面以具体的微分方程为例说明利用MATLAB软件分析系统的具体方 法.1连续时间系统的零输入响应描述n阶线性时不变（LTI）连续系统的微分方程为：dnydn-iydy7 dmu7 du 7a + a+.+ a + a y = b HF b + b u1 dtn 2 dtn-1n dt

3、n+11 dtmm dtm+1已知y及各阶导数的初始值为y （0）,y（0）,y（n-1）（0）,求系统的零输入响 应。建模当LIT系统的输入为零时，其零输入响应为微分方程的其次解（即令微分方 程的等号右端为零），其形式为（设特征根均为单根）其中p,p,，p是特征方程a入n+a入n-i+a入+a =0的根，它们可以用12n12nnroot(a)语句求得。各系数由y及其各阶导数的初始值来确定。对此有写成矩阵形式为：Pn-1C+ Pn-1C+-+ Pn-1C二Dn-甲1122n n0即 V式中C=Y0其解为：C=VY0V为德蒙矩阵，在matlab的特殊矩阵库中有vander。 以下面式子为例：y(

4、t) + 2 y (t) + 3 y (t) = 4f (t) - 6 f (t)初始条件为 y(0_) = 2 , y(0_) = 7 ；MATLAB 程序：a=input(输入分母系数 a二al,a2,. = )； n=length(a)-1;Y0=inpu t(输入初始条件向量 Y0=y0,Dy0,D2y0,. = ); p=roots(a)；V=rot90(vander(p)；c=VY0； dt=input(dt=);te=input(te=);t=0：dt：te;y=zeros(1,length(t);for k=1：n y=y+c(k)*exp(p(k)*t);end plot(t

5、,y);gridxlabel(t) ;ylabel(y);title(零输入响应);程序运行结果： 用这个通用程序来解一个三阶系统，运行此程序并输入a=1,2,3Y0=2,7dt=0.002 te=7结果如下图：根据图可以分析零输入响应，它的起始值与输入函数无关，只与 它的初始状态值有关，其起始值等于y(0_)的值。随着时间的推移，最后零输入 响应的值无限的趋近于0。2连续时间系统零状态响应的数值计算我们知道，LTI连续系统可用如下所示的线性常系数微分方程来描述,iLay( i)(t)二迓bf( j)(t) ij i=0j=0例如，对于以下方程:a3 y(t) + a2 M ) + T ) +

6、 a0 y (t) = b3f (t) +) + f ) + b0 f (t)可用a = a3,a2,a,a0,b = b3,b2,b,bo,输入函数u = /(t)，得出它的冲激响 应h，再根据LTI系统的零状态响应y(t)是激励u(t)与冲激响应h(t)的 卷积积分。注意，如果微分方程的左端或右端表达式中有缺项，则其向量 a 或 b 中的对应元 素应为零，不能省略不写，否则出错。求函数的零状态响应y(t) + 2 y (t) + 3 y (t) = 4f(t) - 6f (t)及初始状态 y (0- ) = y (0- ) = 0。输入函数 y = sin(2*t) + cos(5* t)

7、。 zs - zs -建模先求出系统的冲激响应，写出其特征方程九 2 + 2X + 3 = 0求出其特征根为p和p,及相应的留数r, r；则冲激响应为h(t) = rep1t + r ep2t12输入y (t)可用输入u (t)与冲激响应h (t)的卷积求得。MATLAB 程序：a=input(输入分母系数 a二al,a2,. = )；b=input (输入输入信号系数 b二bl,b2,. = )；dt=input(dt=);te=input(te=);t=0:dt:te;u二input(输入函数 u二)；te=t(end);dt=te/(length(t)-1)；r,p,k=residue(

8、b,a)；h=r(1)*exp(p(1)*t)+r(2)*exp(p(1)*t)； subplot(2,1,1),plot(t,h)；gridtit le(冲激函数);y=conv(u,h)*dt； subplot(2,1,2),plot(t,y(1:length(t);gridtitle(零状态响应);程序运行结果执行这个程序，取 a二1,2,3b二4,6dt=0.001 te=7得出图形如下：由于初始状态为零，所以零状态的起始值也为零，即h(t)包含了连续系统的固 有特性，与系统的输入无关。只要知道了系统的冲激响应，即可求得系统在不同 输入时产生的输出。因此，求解系统的冲激响应h对进行连续

9、时间系统的分析具上面通过对LTI系统函数的描述，我们可以得知：如果在系统的初始状态不 为零，在激励f(t)的作用下，LTI系统的响应称为全响应，它是零输入响应和 零状态响应之和，即y (t) = y (t) + y (t)zi zs故可先求出零输入响应和零状态响应，再把两者相加，得到全响应。但简单的相 加可能由于零输入与零状态的矩阵不同而不能的出正确的结果，这就需要对矩阵 进行截取，使它们的阶数相同。例如，对于以下方程：y(t) + 2 y (t) + 3 y (t) = 4f (t) - 6 f (t)初始值为：y(0_)=2, y(0_) = 7 ;输入函数为：y = sin(2* t)

10、+ cos(5* t)求它的全响应。 建模先根据零输入响应的求法，得出零输入响应yl (t)。再根据零状态响应的求 法，得出零状态响应y2 (t)。最后，全响应y等于零输入响应y1 (t)加上零状 态响应y2 (t),得出全响应。MATLAB 程序：a二input(输入分母系数 a二a1,a2,. = )； n=length(a)-l;Y0=inpu t(输入初始条件向量 Y0=y0,Dy0,D2y0,. = ); b二input (输入输入信号系数 b=b1,b2,. = );u二input(输入函数 u二)； dt=input(dt=);te=input(te=); t=0:dt:te;p

11、=roots(a);V=rot90(vander(p);c=VY0; yl=zeros(l,length(t);for k=l:n yl=yl+c(k)*exp(p(k)*t);end te=t(end);dt=te/(length(t)-l); r,p,k=residue(b,a); h=r(l)*exp(p(l)*t)+r(2)*exp(p(l)*t);y2=conv(u,h)*dt; y=yl(l:length(t)+y2(l:length(t); figure(l);subplot(3,l,l),plot(t,yl),grid xlabel( t)； ylabel(y1); title

12、(零输入响应); subplot(3,l,2),plot(t,y2(l:length(t);grid xlabel( t)；ylabel(y2)； title(零状态响应); subplot(3,l,3),plot(t,y),gridxlabel( t)； ylabel(y)； title(全响应响应)； 程序运行结果执行程序，取 a=l,2,3Y0=2,7b=l,4,6u=sin(2*t)+cos(5*t)dt=0.00l te=7结果如下图：在零输入响应中任一时刻取值y1,在零状态响应的对应时刻 取值y2，再在全响应的对应时刻取值y。可以得出：y二y1+y2。四、调试总结：在mat lab

13、语言中，用subplo t对图形进行分块，使几幅图同时显示在一个图 像框里。plot用来绘制连续的函数图形。cnov用来求卷积，再就是利用语句对 不同阶的矩阵进行截取，使之相加，这点很重要，因为简单的零输入响应与零状 态响应相加，可能由于阶数不同而无法得出结果，所以一定要使两者的阶数相同。五、设计总结：通过查阅大量的资料，我选择用矩阵计算的方法来求连续时间系统的零输入 响应，卷积则是利用mat lab中的conv语句求得，再根据LTI系统的零状态响应 y (t)是激励u (t)与冲激响应h (t)的卷积积分，求得零状态响应，全响应 则为零输入响应与零状态响应之和。MATLAB语言是一种广泛应用

14、于工程计算及数值分析领域的新型高级语言，Matlab 功能强大、简单易学、编程效率高，深受广大科技工作者的欢迎。特别 是Matlab还具有信号分析工具箱，不需具备很强的编程能力，就可以很方便地 进行信号分析、处理和设计。 MATLAB 拥有强大的数据仿真能力，在生产和研究 中起着非常大的作用。因此，选择用Matlab进行课程设计。在这过程中我遇到了所多的难题，通 过与老师的交流和学习，让我学会了很多在课堂上没有理解的难点。同时也进一 步加深了对Matlab的理解和认识MATLAB的仿真使我更加深入的了解了信号时 域处理的过程 ，对我对数字信号处理的理解加深了一步。六、参考资料：信号与线性系统分析(第4版)主编 ： 吴大正MATLAB 及在电子信息课程中的应用（第 2 版）编著怀琛 吴大正 高西全