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1、阿波罗尼斯圆及其应用数学理论PA1. “阿波罗尼斯圆”在平面上给定两点A,B，设P点在同一平面上且满足忌=九,当PB九0且九鼻1时，P点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆。（九二1时P点的轨迹是线段AB的中垂线）2阿波罗尼斯圆的证明及相关性质定理：A, B为两已知点，P, Q分别为线段AB的定比为九乐丰1）的内外分点，则以PQ为直径的圆O上任意点到A, B两点的距离之比为九.于是 BC = ,_2_, AC = 1= _2 1_2 1而P,Q,C同时在到A,B两点距离之比等于_的曲线（圆）上，不共线的三点所确定的圆是 唯一的，因此，圆O上任意一点到A, B两点的距离之比恒为性质1.当_ 1时，点
2、B在圆O内，点A在圆O外；当01时，点A在圆O内，点B在圆O外。性质2因AC2 = AP - AQ，过AC是圆O的一条切线。若已知圆O及圆O外一点A，可以作出与之对应的点B,反之亦然。2a_（ a_ 性质3所作出的阿波罗尼斯圆的直径为PQ = 一-，面积为兀t一-._2 1（ _2 1 丿性质4过点A作圆O的切线AC（C为切点），则CP,CQ分别为ZACB的内、外角平分线。性质5过点B作圆O不与CD重合的弦EF,则AB平分ZEAF.数学应用1. (03北京春季)设A(-c,0),B(c,O)(c 0)为两定点，动点P到点A的距离与到点B的距离之比为定值a (a 0),求点P的轨迹.2.(05江
3、苏)圆O和圆O的半径都是1，OO二4，过动点P分别作圆O和圆O的切线1 2 1 2 1 2PM,PN(M,N分别为切点)，使得PM =J2PN，试建立适当坐标系，求动点P的轨迹 方程.3. (06四川)已知两定点A(-2,0),B(1,0).如果动点P满足|PA| = 2|PB，则点P的轨迹所围成的图形的面积是.4. (08江苏)满足条件AB二2, AC = 41BC的AABC面积的最大值是.5在等腰AABC中，AB = AC,BD是腰AC上的中线，且BD =込,则AABC面积的最大 值是.6已知A(2,0), P是圆C :(x + 4)2 + y2二16上任意一点，问在平面上是否存在一点B，使得PA = 2若存在，求出点B坐标；若不存在，说明理由.PB 2变式：已知圆C: (x + 4)2 + y2二16，问在x轴上是否存在点A和点B，使得对于圆C上PA 1任意一点P，都有= ?若存在，求出A, B坐标；若不存在，说明理由.PB 27.在 AABC 中，AB = 2AC, AD 是 ZA 的平分线，且 AD = kAC.(1) 求k的取值范围；(2) 若AABC的面积为1,求k为何值时，BC最短.
阿波罗尼斯圆及其应用
