人教版B版高中数学选修4-5(B版)全套课件

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1、人教版B版高中数学选修4-5(B版）全套PPT课件不等式的基本性质不等式的基本性质1不等式的基本性质不等式的基本性质(第一课时第一课时)观察以下四个不等式：观察以下四个不等式：a+2 a+1-(1)a+33a-(2)3x+12x+6-(3)xa-(4)一一 不等式不等式 同向不等式同向不等式：在两个不等式中在两个不等式中,如果每一个的左边都大于右边如果每一个的左边都大于右边,或每一个的或每一个的左边都小于右边（不等号的方向相同）左边都小于右边（不等号的方向相同）.异向不等式异向不等式：在两个不等式中在两个不等式中,如果一个不等式的左边大于右边如果一个不等式的左边大于右边,而另一个而另一个的左边

2、小于右边（不等号的方向相反）的左边小于右边（不等号的方向相反）.同解不等式同解不等式 形式不同但解相同的不等式。形式不同但解相同的不等式。其它重要概念其它重要概念 绝对不等式、条件不等式、矛盾不等式绝对不等式、条件不等式、矛盾不等式2.基本理论基本理论 1.实数在数轴上的性质实数在数轴上的性质:研究不等式的出发点是实数的大小关系。数研究不等式的出发点是实数的大小关系。数轴上的点与实数轴上的点与实数1-1对应，因此可以利用数对应，因此可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小：轴上点的左右位置关系来规定实数的大小：0ababx用数学式子表示为用数学式子表示为:设设a,b是两个实数是两个实数,

3、它们在数轴上所对应的点分别是它们在数轴上所对应的点分别是A,B,那么那么,当点当点A在点在点B的左边时的左边时,ab.关于关于a,b的大小关系的大小关系,有以下有以下基本事实基本事实:如果如果ab,那么那么a-b是正数是正数;如果如果a=b,那么那么a-b等于零等于零;如果如果a0 若若x1 那么那么(x-1)2 0则则 2x4+1 2x3+x2 若若 x=1 那么那么(x-1)2=0 则则 2x4+1=2x3+x2 综上所述综上所述:若若 x=1 时时 2x4+1=2x3+x2 若若 x1 时时 2x4+1 2x3+x2 求差比较大小求差比较大小分四步进行：作差；变形；定号；分四步进行：作差

4、；变形；定号；下结论。下结论。练习练习比较比较x x2 2+y+y2 2与与xy+x+y-1xy+x+y-1的大小的大小【解题回顾解题回顾】用作差比较法比较两个实数的大小，步骤用作差比较法比较两个实数的大小，步骤是：作差是：作差变形变形判断符号常见的变形判断符号常见的变形手段是通分、因式分解或配方等；变形的结果手段是通分、因式分解或配方等；变形的结果是常数、若干个因式的积或完全平方式等是常数、若干个因式的积或完全平方式等.例例2、比较、比较练习题练习题 1.已知已知 x0,比较比较(x2+2)2 与与 x4+x2+4的大的大小小.2.比较比较(x2+2)2 与与 x4+5x2+2的大小的大小

5、3.比较比较 x3 与与 x2-x+1的大小的大小.【解题回顾解题回顾】本题的解答关键在于选择合适的方法本题的解答关键在于选择合适的方法.【典型例题典型例题】例例3、比较以下两个实数的大小：、比较以下两个实数的大小：)Nn(n2n1n1)2(;1816)1(*1618 与与与与3abbaabb（）比较和a的作商比较法作商比较法：作商作商变形变形与与1比较大小比较大小大多用于比较幂指式的大小大多用于比较幂指式的大小练习练习1mm、若m0,比较m 与2 的大小2 2、选择题：、选择题：已知已知 ，在以下，在以下4 4个不等式中正确的是：个不等式中正确的是：（1）（2）（3）（4）ba b1a1 2

6、2ba)1blg()1alg(22 ba22 小结小结 主要内容主要内容 基本理论基本理论:a-b 0 a b a-b=0 a=b a-b 0 a b0,Cd0,eb0,Cd0,e0,求证：求证：dbecae 【解题回顾解题回顾】在证明不等式时要依据不等式的性质进行，不能自己在证明不等式时要依据不等式的性质进行，不能自己“制造制造”性质来进行性质来进行例例3:3:在三角形在三角形ABCABC中中,求求A-BA-B的取值范围的取值范围.例例4、已知、已知3231 x，求下列式子的取值范围。，求下列式子的取值范围。（1）1-x（2）x(1-x)解题回顾：解题回顾：同向不等式可以做加法运算，异向不等

7、式可以同向不等式可以做加法运算，异向不等式可以做减法运算。当同向不等式两边都为正时，可以做乘法运做减法运算。当同向不等式两边都为正时，可以做乘法运算。本题常见的错误是将取值范围扩大。算。本题常见的错误是将取值范围扩大。变式变式:设设f(x)=axf(x)=ax2 2+bx,+bx,且且1f(-1)2,2f(1)4,1f(-1)2,2f(1)4,求求f(-2)f(-2)的的 取值范围取值范围.【解题回顾解题回顾】本题采用了赋值法，使问题得以简化、明本题采用了赋值法，使问题得以简化、明朗赋值法是解选择题、开放题等常用的方朗赋值法是解选择题、开放题等常用的方法它将复杂的问题简单化，是我们常用的法它将

8、复杂的问题简单化，是我们常用的数学方法数学方法例例5、已知、已知 A、ABCD;B、DABC;C、DBAC;D、BDA S S即即22ba ab2(abab)探索新知探索新知:问：那么它们有相等的情况吗？问：那么它们有相等的情况吗？探索新知探索新知ADBCEFGHba22ab猜想：一般地，对于任意实数猜想：一般地，对于任意实数a a、b b，我们有，我们有当且仅当当且仅当a=ba=b时，等号成立。时，等号成立。222ababABCDE(FGH)ab22ba ab2 22ba ab2(abab)(a ab b)思考：思考：你能给出不等式你能给出不等式 的证明吗？的证明吗？abba2220)(2b

9、a0)(2ba2()0ab所以时当ba 时当ba 证明：证明：（作差法）（作差法）2)(ba222abab 222.abab所以探究思考：探究思考：重要不等式：重要不等式：一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a a、b b，总有，总有当且仅当当且仅当a=ba=b时，等号成立。时，等号成立。0,0,ababa b如果我们用分别代替可得到什么结论？222abab探究思考：探究思考：22()()2abab2abab替换后得到：替换后得到：即：即：)0,0(ba2abab 即：即：适用范围适用范围文字叙述文字叙述“=”成立条件成立条件222abab2ababa=ba=b两个正数的算术平均数不两个正

10、数的算术平均数不小于它们的几何平均数。小于它们的几何平均数。两数的平方和不两数的平方和不小于它们积的小于它们积的2 2倍。倍。a,bRa0,b0课堂小结：课堂小结：探究思考：探究思考：设设a,b,ca,b,c为正数，求证：为正数，求证：a+b+c3abc(a+b+c3abc(当当且仅当且仅当a=b=ca=b=c时等号成立时等号成立)。解析：由公式解析：由公式a+b=(a+b=(a+ba+b)(a-ab+b)(a-ab+b)分解因式，根据分解因式，根据a+b2aba+b2ab推导。推导。解：解：a+b2ab a+b2ab a-ab+ba-ab+babab a+b(a+b(a+ba+b)abab=

11、ab+ba=ab+ba同理同理 b+cbc+cb,b+cbc+cb,c+aac+ca c+aac+ca把三个等式左右分别相加得：把三个等式左右分别相加得：2 2（a+b+c)ab+ba+ac+ca+bc+cba+b+c)ab+ba+ac+ca+bc+cb =b(a+c)+c(a+b)+a(b+c)=b(a+c)+c(a+b)+a(b+c)b b2ac+c2ac+c2ab+a2ab+a2bc=6abc2bc=6abca+b+c3abc.a+b+c3abc.设设a,b,ca,b,c为正数，求证：为正数，求证：(当且仅当当且仅当a=b=ca=b=c时等号成立时等号成立)。证明证明:令令a=xa=x,

12、b=y,b=y,c=z,c=z x x+y+y+z+z-3xyz-3xyz =(x+y+z)(x=(x+y+z)(x+y+y+z+z-xy-yz-zx)-xy-yz-zx)=（x+y+z)(x-y)x+y+z)(x-y)+(y-z)+(y-z)+(z-x)+(z-x)2 20 0 x x+y+y+z+z 3xyz3xyz即即3a+b+cabc 3探究思考：探究思考：3a+b+cabc 3解：解：x1，x10.yx27x10 x1 x1 25 x1 4x1(x1)4x152 x1 4x159.巩固练习：巩固练习：当且仅当当且仅当 x14x1，即，即 x1 时，等号成时，等号成立立。当当 x1 时

13、，函数时，函数 yx27x10 x1(x1)取取得最小值为得最小值为 9.方法点评：方法点评：形如形如f f(x x)axax2 2bxbxc cmxmxn n(m m0 0，a a0)0)或者或者g g(x x)mxmxn naxax2 2bxbxc c(m m0 0，a a0)0)的函数，可以把的函数，可以把mxmxn n看成一个整体，设看成一个整体，设mxmxn nt t，那么，那么f f(x x)与与g g(x x)都可以转化为关于都可以转化为关于t t的函数的函数。巩固练习：巩固练习：解：解：设设 t x20，从而，从而 xt22.yt2t21(t0)当当 t0 时，时，y0.当当

14、t0 时，时，y12t1t122t1t24.当且仅当当且仅当 2t1t，即，即 t22，x32时，时，y有最大值有最大值 ymax24.谢谢观赏！谢谢观赏！复习：X=0|x|=X0 x0X0-x1.绝对值的定义:2.几何意义:Ax1XOBx2|x1|x2|=|OA|=|OB|一个数的绝对值表示这个数对应的点到原点的距离.类比：|x|3 的解|x|-2的解归纳：|x|0)|x|a (a0)-axa 或 x-a-aa-aa如果 a 0，则 axaxax或axaax如果把|x|2中的x换成“x-1”,也就是|x-1|2中的x换成“3x-1”,也就是|3x-1|2如何解？整体换元。归纳：型如|f(x)

15、|a (a0)不等式的解法:()()f xaaf xa ()()f xaf xaa 或f(x)例 1 解不等式 532x解：这个不等式等价于5325x3533235x822x41x因此，不等式的解集是（1，4）例 2 解不等式32 x5解：这个不等式等价于或（1）（2）532x（1）的解集是（4，+），（2）的解集是（，1），原不等式的解集是（4，+）（，1）。532x巩固练习：求下列不等式的解集|2x+1|9|4x|-6 3|2x+1|5（-3，2）（-，-1/2）（1，+）R（-3，-2）（1，2）例:解不等式|5x-6|6 x引伸：型如|f(x)|a的不等式中 “a”用代数式替换，如何解

16、？解：对绝对值里面的代数式符号讨论：5x-6 0 5x-66-x()或 ()5x-60-（5x-6）6-x解()得：6/5x2解()得：0 x6/5取它们的并集得：（0，2）解不等式|5x-6|6 x()当5x-60,即x6/5时，不等式化为5x-66-x，解得x2,所以6/5x2()当5x-60,即x6/5时，不等式化为 -(5x-6)0 所以0 x6/5综合()、()取并集得（0，2）解：解不等式|5x-6|06-x0时时,转化为转化为-(6-x)5x-6(6-x)-(6-x)5x-60-(6-x)5x-6(6-x)综合得综合得0 x20 x2()()或或 ()()6-x0无解无解解()得

17、：0 x2;()无解 解不等式|5x-6|0时,转化为-(6-x)5x-60-(6-x)5x-6(6-x)X6-(6-x)5x-65x-6(6-x)0 x0是否可以去掉有更一般的结论：|f(x)|g(x)-g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)或f(x)2(x-3)4、2xx2xx 5、|2x+1|x+2|1、|2x-3|4类型2xaxbcxaxbc和125xx例：方法1：几何意义方法2：去绝对值方法3：函数的观点解不等式 237xx24337xx课堂小结：(1)(1)数学知识数学知识:常见的绝对值不等式的解法常见的绝对值不等式的解法(2)数学思想分类讨论的思想整体的思想转化的思想 引例：某

18、电机厂承担一项任务，为自来水厂加工一种圆形管道，管道直径设计为50毫米，由于实际加工过程中存在误差，规定成品管道实际直径与设计值相差不能超过1毫米，否则为次品，设成品管道的实际半径x毫米，那么x应该满足什么条件？解：由题意成品管道的直径为2x 毫米由绝对值的意义可知，结果也可表示为:|2x-50|1050解不等式：|x-1|x-3|方法一方法二方法三反思评价我们的解题方法：解：因为|x-1|x-3|所以 两边平方可以等价转化为 （x-1)2(x-3)2 化简整理：x2平方法：注意两边都为非负数|a|b|依据：a2b2解：如图，设“1”对A，“3”对应B，“X”对应 M（不确定的），即为动点。|

19、x-1|3-x|由绝对值的几何意义可知：|x-1|=MA|x-3|=MB0132AB几何的意义 为MAMB,分类讨论：分类讨论：分析：两个|x-1|、|x-3|要讨论，按照绝对值里面的代数式符号进行讨论。可以借助数轴分类。解:使|x-1|=0,|x-3|=0，未知数x的值为1和30131、当x3时，原不等式可以去绝对值符号化为：x-1x-3 解集为R，与前提取交集，所以x3；2、当1x3时,同样的方法可以解得2x33.当x2同学们再见！|a|=,00,0,0a aaa a|a|AaOx|a-b|AaBxb几何意义几何意义:表示数轴上坐标为表示数轴上坐标为a的点的点A到到原点的距离原点的距离.|

20、a-b|=,0,ab ababba ab几何意义：几何意义：表示数轴上实数表示数轴上实数a,ba,b对应的点对应的点A A，B B之之间的距离，即间的距离，即线段线段ABAB的长度的长度类比不等式基本性质的得出过程，同学们认为类比不等式基本性质的得出过程，同学们认为可以怎样提出关于绝对值不等式性质的猜想？可以怎样提出关于绝对值不等式性质的猜想？从从“运算运算”的角度考察绝对值不等式的角度考察绝对值不等式。如：对于实数如：对于实数a,ba,b，可以考察，可以考察|a|,|b|,|a|,|b|,|a+b|,|a-b|,|a|+|b|,|a|-|b|a+b|,|a-b|,|a|+|b|,|a|-|b

21、|等等之间的关系。之间的关系。用恰当的方法在数轴上把用恰当的方法在数轴上把|a|,|b|,|a+b|a|,|b|,|a+b|表表示出来，同学们观察能发现它们之间有什么关系？示出来，同学们观察能发现它们之间有什么关系？xO aba+bxOaba+bxOaba+bxOaba+bab0ab0时时,xO aba+bxOaba+ba0,b0a0,b0由图可得由图可得:|a+b|=|a|+|b|:|a+b|=|a|+|b|(2)当当ab0,b0a0|a+b|a|+|b|a+b|a|+|b|(3)(3)如果如果ab=0,ab=0,则则a=0a=0或或b=0b=0|a+b|=|a|+|b|a+b|=|a|+|

22、b|综上所述综上所述,可得可得:定理定理1:1:如果如果a,ba,b是实数是实数,则则|a+b|a|+|b|当且仅当当且仅当abab 0 0时时,等号成立等号成立.如果把定理如果把定理1 1中的实数中的实数a,ba,b分别换分别换为向量为向量 ,能得出什么结能得出什么结果果?,a b 当向量当向量 共线呢共线呢?abxyOabab在不等式在不等式|a+b|a|+|b|中中,当向量当向量 不共线时不共线时,则由向量则由向量加法的三角形法则加法的三角形法则,ab用向量用向量 分别替换实数分别替换实数a,b,ab向量向量 构成三角形构成三角形,abab故可得向量形式的不等式故可得向量形式的不等式:|

23、a+b|a|+|b|故该定理的几何意义为故该定理的几何意义为:三角形的两边之和大于第三边三角形的两边之和大于第三边.绝对值三角不等式绝对值三角不等式绝对值三角不等式绝对值三角不等式:|a+b|:|a+b|a|+|b|a|+|b|证明证明:当当abab 0 0时时,ab=|ab|,ab=|ab|a+b|2ab222aabb22|2|aabb2|abab当当ab0时时,ab=-|ab|a+b|2ab222aabb22|2|aabb222|aabb22|2|aabb2|ab|ab故故|a+b|a|+|b|当且仅当当且仅当abab 0 0时时,等号成立等号成立.同学们能再探究一下同学们能再探究一下|a

24、|-|b|a|-|b|与与|a+b|,|a|+|b|a+b|,|a|+|b|与与|a-b|,|a|-|b|a-b|,|a|-|b|与与|a-b|a-b|等之间的关系等之间的关系?如如:如果如果a,ba,b是实数是实数,则则|a|-|b|a-b|a|+|b|再如再如:如果如果a,b,ca,b,c是实数是实数,则则|a-c|a-b|+|b-c|当且仅当当且仅当(a-b)(b-c)(a-b)(b-c)0 0时时,等号成立等号成立.定理定理2 2:如果如果a,b,ca,b,c是实数是实数,则则|a-c|a-b|+|b-c|当且仅当当且仅当(a-b)(b-c)(a-b)(b-c)0 0时时,等号成立等号

25、成立.分析分析:由于由于a-c,a-ba-c,a-b与与b-cb-c都是实数都是实数,且且a-c=(a-b)+(b-c)a-c=(a-b)+(b-c)证明证明:根据定理根据定理1,1,有有:|a-c|=|(a-b)+(b-c)|a-b|+|b-c|当且仅当当且仅当(a-b)(b-c)(a-b)(b-c)0 0时时,等号成立等号成立.则可使用定理则可使用定理1 1的结论进行证明的结论进行证明.xa bcA BCxbcaABCxacbABC在数轴上在数轴上,a,b,c,a,b,c所对应的点分别为所对应的点分别为A,B,C,A,B,C,(1)(1)当点当点B B在点在点A,CA,C之间之间时时,|a

26、-c|=|a-b|+|b-c|,|a-c|=|a-b|+|b-c|(2)(2)当点当点B B在点在点A,CA,C之外之外时时,|a-c|a-b|+|b-c|,|a-c|0|x-a|y-b|,求证求证:|2x+3y-2a-3b|5 证明证明:|2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)|2(x-a)|+|3(y-b)|=2|x-a|+3|y-b|2+3=5 故故|2x+3y-2a-3b|5|2x+3y-2a-3b|5 例例:两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工施工,这两个地点分别位于公路路牌的第这两个地点分别位于公路路牌的第10km

27、10km和和第第20km20km处处.现要在公路沿线建两个施工队的共同现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区临时生活区,每个施工队每天在生活区和施工地点每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次之间往返一次,要使两个施工队每天往返的路程要使两个施工队每天往返的路程之和最小之和最小,生活区应该建于何处生活区应该建于何处?分析分析:如果生活区建于公路路碑的第如果生活区建于公路路碑的第x kmx km处处,两个施工队两个施工队每天往返的路程之和为每天往返的路程之和为S(x)km.S(x)km.那么那么S(x)=2(|x-10|+|x-20|)S(x)=2(|x-10|+|x-20|)故实际问题

28、转化为数学问题故实际问题转化为数学问题:当当x x取何值时取何值时,函数函数S(x)=2(|x-10|+|x-20|)S(x)=2(|x-10|+|x-20|)取得最小值取得最小值.解解:设生活区应该建于公路路碑的第设生活区应该建于公路路碑的第x kmx km处处,两个施工两个施工队每天往返的路程之和为队每天往返的路程之和为S(x)km,S(x)km,则则:S(x)=2(|x-10|+|x-20|)S(x)=2(|x-10|+|x-20|)我们先来考察它的图像我们先来考察它的图像:S(x)=2(|x-10|+|x-20|)=OxS10 20 30204060S(x)=2(|x-10|+|x-2

29、0|)60-4x0 x 10201020S(x)=2(|x-10|+|x-20|)|x-10|+|x-20|=|x-10|+|20-x|(x-10)+(20-x)|=10当且仅当当且仅当(x-10)(20-x)0时取等号时取等号.又解不等式又解不等式:(x-10)(20-x):(x-10)(20-x)0 0 得得:10:10 x x 2020故当故当1010 x x 2020时时,函数函数S(x)=2(|x-10|+|x-S(x)=2(|x-10|+|x-20|)20|)取最小值取最小值20.20.OxS10 20 30204060S(x)=2(|x-10|+|x-20|)（一）绝对值的定义：

30、绝对值的定义：对任意实数对任意实数a，时）（当时）（当时当000)0(aaaaaa复习问题问题我们已学过积商绝对值的性质，我们已学过积商绝对值的性质，哪位同学能回答哪位同学能回答？.0bbababaab，或.当时，有：当时，有：0aaxaxax22ax（二）绝对值的几何意义：绝对值的几何意义：实数实数a的绝对值的绝对值|a|，表示数轴上坐标为，表示数轴上坐标为a的点的点A到原点的距离（图到原点的距离（图1）。）。如：如：|-3|或或|3|在数轴上分别等于点在数轴上分别等于点A或点或点B到坐标原点的距离。到坐标原点的距离。|a|OAx 由绝对值的几何意义可知，由绝对值的几何意义可知，A、B之间的

31、点之间的点与坐标原点的距离小于与坐标原点的距离小于3，可表示为：，可表示为：3x即实数即实数x对应的点到坐标原点的距离小于对应的点到坐标原点的距离小于3 同理，与原点距离大于同理，与原点距离大于3的点对应的实数的点对应的实数可表示为：可表示为：如图如图3x 设设a,b是任意两个实数，那么是任意两个实数，那么|a-b|的几的几何意义是什么？何意义是什么？x|a-b|abAB探究探究 用恰当的方法在数轴上把用恰当的方法在数轴上把|a|，|b|，|a+b|表示出来，你能发现它们之间有何关系？表示出来，你能发现它们之间有何关系？定理定理1 如果如果a,b是实数，则是实数，则|a+b|a|+|b|，当且

32、仅当当且仅当ab0时，等号成立。时，等号成立。绝对值三角绝对值三角不等式不等式 如果把定理如果把定理1中的实数中的实数a,b分别换为向量分别换为向量 ，能得出什么结论？你能解释其几何意，能得出什么结论？你能解释其几何意义吗？义吗？,a b abab探究？探究？(1)当当 不共线时有不共线时有,a b(2)当当 共线且同向时有共线且同向时有abab,a b 绝对值三角绝对值三角不等式不等式如何证明定理如何证明定理1?探究探究 你能根据定理你能根据定理1的研究思路的研究思路,探究一下探究一下|a|，|b|，|a+b|,|a-b|之间的其它关系吗之间的其它关系吗?|a|-|b|a|a|-|b|ab|

33、a|+|b|b|a|+|b|结论结论:注意：注意：1 左边可以左边可以“加强加强”同样成立，即同样成立，即|bababa 2 这个不等式俗称这个不等式俗称“三角不等式三角不等式”三角形中三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 3 同号时右边取同号时右边取“=”，异号时左边取异号时左边取“=”,a b,a b推论推论1：123123|aaaaaa推论推论2：|bababa 证明：在定理中以,bb 代得：|()|ababab 即：|bababannaaaaaa2121 Nnn定理探索定理探索当时，显然成立，0 ba当时，要证0 ba.baba只要证，2

34、22222bababbaa.abab 即证而显然成立 abab 从而证得.bababa定理探索定理探索还有别的证法吗？还有别的证法吗？由与，aaabbb得.bababa.baba用可得什么结论？当我们把看作一个整体时，当我们把看作一个整体时，ba axaax上式逆上式逆定理探索定理探索证明吗？babababa能用已学过得的可以表示为 a.bbaa.bbabbaa.baba即即 .就是含有绝对值不等式的重要定理，bababa例题例题求证.例2 已知，MyabyMax,0,20,2abxy证明：byaaxyabyayaxyabxy.22aaMMbyaaxy,5yb例1 已知 0,x-a求 2x+3

35、y-2a-3b例题例题例3 求证.bbaababa111证明：在时，显然成立.0ba当时，左边 0ba111ba1111ababab .11bbaa练习练习已知求证.1已知，求证.0,0arxraax11,1lan1 lan.；2已知 ，求证：2,2bBaA baBA baBA.|,|,|369例2已知 xyz|23|xyz求证：|23|2|3|xyzxyz 证明：|2|3|xyz|2|3|xyz|,|,|369xyz23|2|3|369xyz|23|xyz.3.|1,|1,11ababab例 已知求证22()111(1)abababab证明：2222212aabbaba b 222210ab

36、a b 22(1)(1)0ab|1,|1,ab由可知22(1)(1)0ab成立，11abab所以.,04a b c dabcdbcda例 4 设都 是 不 等 于的 实 数，求 证0,0,0,0abcdbcda证 明：22abababbcbcbc2ac2cdcddada22cdcdaa2acca由，得，22abcdacbcdaca42acaccaca又422acca课堂练习：1.(1),|(0),|khk 已知|h|求证(2)|,|(0,0),hhcxc cx已知求证0|,0|,hk解：0|hk|hk即110|0|cxxc解：由可知0|hc且11|hcxchx即定理定理2 如果a,b,c是实数

37、,那么当且仅当(a-b)(b-c)0时,等号成立acabbc123123|aaaaaa你能给出定理2的几何解释吗?如何证明定理2?推论:不等式证明的基本方法不等式证明的基本方法比较法比较法比较法是证明不等式最常用最基本的方法比较法是证明不等式最常用最基本的方法,有两种：有两种：（1 1）求差比较法：）求差比较法：因为因为a ab a-bb a-b0,a0,ab a-bb a-b0,0,因此要证明因此要证明a ab,b,只要证明只要证明a-ba-b0,0,证明证明a ab,b,只要证明只要证明a-ba-b0 0即可，这种方法称为求差比较法。即可，这种方法称为求差比较法。（2 2）求商比较法：）求

38、商比较法：因为因为a a b b 0 0 1 1且且a a0 0，b b0 0，因此当，因此当a a0 0，b b0 0时要证明时要证明a ab b，只要证明，只要证明 1 1即可，即可，这种方法称为求商比较法。这种方法称为求商比较法。abab知识归纳真题再现真题再现真题再现变式训练变式训练变式训练变式训练,RcRbRa已知已知：求证求证：cbabcba234222练习巩固练习巩固证明一：证明一：（比较法）比较法）cbabcba234222)812416444(41222cbabcba右左0)1(4)2(3)2(41222cbbacbabcba234222已知已知：求证求证：1,12222yx

39、ba1 byax练习巩固证明二：证明二：（比较法）比较法）)(1byax0)()(2122ybxa1byax)()(212222byaxyxba练习巩固已知已知f(x)=|x+1|+|x-1|,f(x)=|x+1|+|x-1|,不等式不等式f(x)4f(x)4的解集为的解集为M.M.(1)(1)求求M M.(2)(2)当当a,bMa,bM时，证明：时，证明：2|a+b|4+ab|2|a+b|0,b0,a0,b0,求证求证a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+a2 2)4abc)4abc分析：分析：首先，分析待证不等式的特点：不等式的首先，分析待证不等式的特点：不等式的

40、右端是右端是3 3个数个数a,b,ca,b,c乘积的乘积的4 4倍，左端为两项之倍，左端为两项之和，其中每一项都是一个数与另两个数的平方和，其中每一项都是一个数与另两个数的平方和之积和之积.据此，只要把两个数的平方和转化为据此，只要把两个数的平方和转化为这两个数的积的形式，就能使不等式左、右两这两个数的积的形式，就能使不等式左、右两端具有相同的形式端具有相同的形式.其次，寻找转化的依据及证明中要用的其他知其次，寻找转化的依据及证明中要用的其他知识：应用不等式识：应用不等式x2+y22xy就能实现转化，不等就能实现转化，不等式的基本性质是证明的依据式的基本性质是证明的依据.证明证明:b2+c2

41、2bc,a0 a(b2+c2)2abc.又又 c2+a2 2ac,b0 b(c2+a2)2abc.a(b2+c2)+b(c2+a2)4abc.例1.如图所示,ABC在平面外,ABP,BCQ,AC=R,求证：P、Q、R三点共线分析：P、Q、R，P、Q、R平面ABC 则P、Q、R是两平面的交线ABRPCQ三、例题讲解三、例题讲解注意：在解决实际问题时，经常要先作语言的变换文字语言文字语言图形语言图形语言符号语言符号语言然后在仔细分析题目的隐含条件，将隐含条件表示出来222)(|21:,.2babaSbCAaCBABCABC求证设中在例三、例题讲解三、例题讲解例例3.3.在在ABCABC中，三个内角

42、中，三个内角A A、B B、C C对应的边分别为对应的边分别为a a、b b、c c，且，且A A、B B、C C成成等差等差数列，数列，a a、b b、c c成成等比等比数列，数列，求证求证ABCABC为等边三角形为等边三角形分析分析将将A，B，C成等差数列，转化为符号成等差数列，转化为符号语言就是语言就是2B=A+C；A，B，C为为ABC的内角，这是一个隐含的内角，这是一个隐含条件，即条件，即A+B+C=180；a，b，c成等比数列转化为符号语言就是成等比数列转化为符号语言就是2b=ac.三、例题讲解三、例题讲解 此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角此时，如果能把角和边统一

43、起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求求.于是，可以用余弦定理进行证明于是，可以用余弦定理进行证明.证明：证明：由由A A，B B，C C成等差数列，有成等差数列，有2B=A+C.因为因为A A，B B，C C为为C C的内角的内角,所以所以+=180.B=.3由由a，b，c成等比数列，有成等比数列，有2b=ac.由由，得，得，得，得由由，得，得注：注：解决数学问题时，学会解决数学问题时，学会语言转换语言转换；还要细致，；还要细致，找出隐含条件。找出隐含条件。符号语言符号语言图形语言图形语言

44、文字语言文字语言由余弦定理及，可得由余弦定理及，可得22222b=a+c-2accosB=a+c-ac.再由，得再由，得22a+c-ac=ac,即即2a-c=0.（）因此因此a=c.从而从而A=C.A=B=C=.3所以所以C C为等边三角形为等边三角形.由由 ,得得四、课堂小结四、课堂小结 1.1.在数学证明中，综合法最常用的数学方法，若从已在数学证明中，综合法最常用的数学方法，若从已知入手能找到证明的途径，则用综合法知入手能找到证明的途径，则用综合法.2.2.综合法的每步推理都是寻找必要条件，在解题表述综合法的每步推理都是寻找必要条件，在解题表述中要注意语言的规范性和逻辑性中要注意语言的规范

45、性和逻辑性.综合法和分析法（二）综合法和分析法（二）分析法分析法 用用P P表示已知条件、已有的定义、公理、定理表示已知条件、已有的定义、公理、定理等等,Q,Q表示所要证明的结论表示所要证明的结论.则则综合法综合法用框图表示为用框图表示为:1 1P PQ Q1 12 2Q QQ Q2 23 3Q QQ Qn nQ QQ Q一、回顾复习一、回顾复习综合法综合法(顺推证法或由因导果法顺推证法或由因导果法)利用利用已知条件已知条件和某些和某些数学定义、公理、定理数学定义、公理、定理等等,经过一系列的推理论证经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论最后推导出所要证明的结论成立成立,这种证明方法叫

46、做这种证明方法叫做综合法。其综合法。其特点是特点是:“:“由因导由因导果果”综合法是由一个个推理组成的综合法是由一个个推理组成的 一般地，从要一般地，从要证明的结论证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的每一步结论成立的充分条件充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为，直至最后，把要证明的结论归结为判定判定一个明显成立一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做止，这种证明的方法叫做分析法。分析法。其特点是：其特点是：执果索因，即要证执果索因，即要证结果结果Q，只需证条件，只需证条件

47、P.1 1Q QP P2 23 3P PP P1 12 2P PP P得到一个明显得到一个明显成立的结论成立的结论二、讲授新课二、讲授新课分析法分析法（逆推证法或执果索因法）（逆推证法或执果索因法）类似于综合法，我们也可以用框图来表示分析法。类似于综合法，我们也可以用框图来表示分析法。用用PiPi表示使所要证明结论成立的充分条件，表示使所要证明结论成立的充分条件，Q Q表示所要证明的表示所要证明的结论结论.则则分析法的思路过程，特点分析法的思路过程，特点用框图表示为用框图表示为:注意：证明最后面的明显成立的条件可以是：注意：证明最后面的明显成立的条件可以是：已知条件、定理、定义、公理等已知条件

48、、定理、定义、公理等练习：证明不等式：练习：证明不等式：(a0,b0).(a0,b0).a a+b ba a b b2 2证法证法1:1:因为因为;所以所以所以所以所以所以 成立成立()b 20a a 20a a+b ba ab b 2a a+b ba ab b a a+b ba ab b2 2证法证法2:2:要证要证;a a+b ba ab b2 2()b 20a a 2a a+b ba ab b只需证只需证;20a a+b ba ab b只需证只需证;()b 20a a只需证只需证;因为因为;成立成立a a+b ba ab b2 2所以所以 成立成立综合法综合法分析法分析法思考：上述两种证

49、法有什么异同？思考：上述两种证法有什么异同？都是直接证明都是直接证明证法证法1 1 从已知条件出发，以已知的定义、公理、从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止为止 综合法综合法相同不同不同 证法证法2 2 从问题的结论出发，追溯导致结论成立的从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件吻合为止条件吻合为止 分析法分析法分析法分析法结论结论 已知条件已知条件 综合法综合法已知条件已知条件结论结论综合法和分析法的推证过程如下：综合法和

50、分析法的推证过程如下：5273.4求证：例都是正数，所以要证都是正数，所以要证和和证明：因为证明：因为5273 5273只需证，225273）（）（521 只需证：2521 只需证：显然成立，所以因为2521成立52732021210只需证：5273.4求证：例都是正数，所以要证都是正数，所以要证和和证明：因为证明：因为5273 5273225273）（）（521 2521 显然成立，所以因为2521成立52732021210 在本例中，如果我们从在本例中，如果我们从“2125”出发，出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论.但但由于我们很难想到从由于我们

51、很难想到从“2125”入手，所以用入手，所以用综合法比较困难综合法比较困难.反思反思 点评(1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；2）分析法证明思路为：从求证的结论出发，逐步）分析法证明思路为：从求证的结论出发，逐步寻求使结论成立的充分条件，直至把证明的结论寻求使结论成立的充分条件，直至把证明的结论归结为一个明显成立的条件即可。归结为一个明显成立的条件即可。(3)用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证”、“只需证”、“即证”等关联词语练习练习.求证：求证：6372证法一：为了证明为了证明6372成立成立因为因为,6372都是正数和所以只需证

52、明所以只需证明22)63()72(成立成立展开得展开得18291429即即1821421814 1814 因为因为1814 成立，所以成立，所以6372成立成立证法二：1814 1814 18214222)63()72(637218291429例例5.如图如图,SA,SA平面平面ABC,ABBC,ABC,ABBC,过过A A作作SBSB的垂线的垂线,垂足为垂足为E,E,过过E E 作作SCSC的垂线的垂线,垂足为垂足为F,F,求证求证 AFSCAFSCF FE ES SC CB BA A证法一证法一:要证要证AFSCAFSC只需证只需证:SC:SC平面平面AEFAEF只需证只需证:AESC:A

53、ESC只需证只需证:AE:AE平面平面SBCSBC只需证只需证:AEBC:AEBC只需证只需证:BC:BC平面平面SABSAB只需证只需证:BCSA:BCSA只需证只需证:SA:SA平面平面ABCABC因为因为:SA:SA平面平面ABCABC成立成立所以所以.AFSC.AFSC成立成立分析：分析：本题条件较多，而本题条件较多，而且垂直关系较多，我们不且垂直关系较多，我们不容易发现如何使用这些垂容易发现如何使用这些垂直条件，因此利用综合法直条件，因此利用综合法比较困难，我们采用分析比较困难，我们采用分析法，法，证法二证法二:SA:SA平面平面ABCABC AEBC AEBC又又AESB,AESB

54、,且且BCSB=BBCSB=B AE AE平面平面SBCSBC AESC AESC又又EFSC,EFSC,且且AEEF=EAEEF=E SC SC平面平面AEFAEF AFSC AFSCBCSABCSA BC BC平面平面SABSAB又又ABBC,ABBC,且且ABSA=AABSA=A请结合上述例子和自己感受，说说综合法和分析法的各自特点请结合上述例子和自己感受，说说综合法和分析法的各自特点 和它们的适用情况。和它们的适用情况。（1 1）综合法）综合法：由因导果由因导果，当条件明确，思路清晰时适用；，当条件明确，思路清晰时适用；（2 2）分析法：）分析法：执果索因执果索因，当条件多，入手难，思

55、路乱时适用。，当条件多，入手难，思路乱时适用。（3 3）综合法是分析法的逆过程。）综合法是分析法的逆过程。已知条件已知条件结论结论结论结论 已知条件已知条件 用用P P表示已知条件表示已知条件,定义定义,定理定理,公理等公理等,用用Q Q表示要证的结论表示要证的结论,则则 上述过程可用框图表示为上述过程可用框图表示为:P P1P1 P2Pn-1 PnQm-1 QmQ Q1Q1 Q2四、综合应用四、综合应用：在解决问题时，我们经常把在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用综合法和分析法结合起来使用 （即两面夹攻）（即两面夹攻）：根据条件结构特点去转化结论，得到中间结论根据条件结构特点去

56、转化结论，得到中间结论Q Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P P，若若P P可以推出可以推出Q Q，就可以证明结论成立，就可以证明结论成立)tan1(2tan1tan1tan1sincossin ,sin2cossin ),(2,6.22222求证：且已知例zkk分析：分析：证明式中没有证明式中没有,因此我们要将因此我们要将 消掉消掉,如何消掉如何消掉？而且在条件中只有弦而且在条件中只有弦,而在证明结果里面只有切而在证明结果里面只有切,因此我们要因此我们要弦化切。弦化切。证明：证明：,22222222222222222sin +c o s

57、-2 sin c o s=14 sin -2 sin =1.1-ta n 1-ta n=1+ta n 2(1+ta n )sin sin 1-1-c o s c o s=sin sin 1+2(1+)c o s c o s（），因因 为为所所 以以 将将(1 1)(2 2)代代 入入，可可 得得另另 一一 方方 面面 要要 证证即即 证证（3）222222221cos-sin =(cos-sin)211-2sin =(1-2sin)2 4sin-2sin =1.，即即证证即即证证即即证证由于上式与相同，于是问题得证由于上式与相同，于是问题得证.1.综合法：综合法：(sin+cos)2-2sin

58、cos1(2sin)2-2sin214sin2-2sin212(cos2sin2)cos2-sin2即：即：2(cos2sin2)cos2+sin2cos2-sin2cos2+sin2)tan1(2tan1tan1tan12222（二倍角公式）（二倍角公式）2.分析法：分析法：)tan1(2tan1tan1tan122222(cos2sin2)cos2+sin2cos2-sin2cos2+sin2要证：要证：只要证：只要证：2(cos2sin2)cos2-sin2只要证：只要证：只要证：只要证：4sin2-2sin21(sin+cos)2-2sincos1只要证：只要证：这是三角函数的基本性质

59、这是三角函数的基本性质)tan1(2tan1tan1tan12222abbaba16)sintan,sintan22cossincos122244 （：求证求证已知已知、求证：、求证：五、课堂练习五、课堂练习aaaa2cos42sin3,1tan2tan1.3求证：已知综合法分析法特点由因索果由果索因条件充分条件不要条件格式PQ1Q2.QnQQP1P2.PnP关系解答个一般方式解法的探讨实际证题过程，分析与综合是统一运用的PQ1Q2.Qn QPn.P2 P1P六、课堂小结六、课堂小结不等式证明的基本方法不等式证明的基本方法反证法和放缩法反证法和放缩法知识归纳知识归纳反证法从证明矛盾命题（即命题

60、的否定）为假进反证法从证明矛盾命题（即命题的否定）为假进而证明命题为真的证明方法叫做反证法。而证明命题为真的证明方法叫做反证法。反证法的逻辑依据：反证法的逻辑依据：“矛盾律矛盾律”和和“排中律排中律”。适用原则：正难则反。适用原则：正难则反。通常含有通常含有“至少至少”、“唯一唯一”或含有否定词的或含有否定词的命题适宜用反证法。命题适宜用反证法。知识归纳知识归纳反证法的证题模式可以简要的概括为反证法的证题模式可以简要的概括为“否定否定-推理推理-否定否定”；即从否定结论开始，经过正确无误的推理导；即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思致逻辑矛盾，

61、达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是想就是“否定只否定否定只否定”。应用反证法证明的主要三步是：否定结论应用反证法证明的主要三步是：否定结论-推导出推导出矛盾矛盾-结论成立。结论成立。实施的具体步骤是：实施的具体步骤是：第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；正确推理导出矛盾；第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。知识归纳知识归纳放缩法是在证明不等式或变形中，将条件或结放缩法

62、是在证明不等式或变形中，将条件或结论或变换中的式子放大或缩小进行求证的方法。论或变换中的式子放大或缩小进行求证的方法。放缩时要看准目标，做到有的放矢，注意放缩放缩时要看准目标，做到有的放矢，注意放缩适度。放缩法是证明不等式的常用技巧，有些适度。放缩法是证明不等式的常用技巧，有些不等式若恰当地运用放缩法可以很快得证，要不等式若恰当地运用放缩法可以很快得证，要控制难度。控制难度。典例分析典例分析典例分析典例分析证明：左边等于证明：左边等于22221111.123n11111111.423341nn714n74=典例分析典例分析变式训练变式训练21 1n 1111.23n 2.n求证：求证：变式训练

63、变式训练典例分析典例分析典例分析典例分析变式训练变式训练已知已知a、b异面直线，且分别在平面异面直线，且分别在平面，内，内，=L,求证：求证：a，b至少有一条与至少有一条与l相交。相交。变式训练变式训练巩固练习巩固练习设设x,yx,y为正数，且为正数，且x+yx+y=1,=1,用反证法用反证法证明：证明：2211（-1）(-1)9.xy分析：直接利用反证法的证明步骤，分析：直接利用反证法的证明步骤，反设所证明的不等式，推出错误结论反设所证明的不等式，推出错误结论（2x-12x-1）0,0,即可证明原不等式成立。即可证明原不等式成立。证明：假设2211（-1）(-1)xy9，由于x，y0,且x+

64、y=1,所以：2222211(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)y11+yy11+yyxxyyxyxxxxxyxyx2（1+）xy9，由此得（2x-1)0,这是不可能的。故原不等式成立。巩固练习巩固练习谢谢欣赏！谢谢欣赏！平面上的柯西不等式平面上的柯西不等式的代数和向量形式的代数和向量形式 大数学家柯西（大数学家柯西（Cauchy)Cauchy)法国数学家、力学家。法国数学家、力学家。17891789年年8 8月月2121日生于巴黎，日生于巴黎，18571857年年5 5月月2323日日卒于索镇。曾为巴黎综合工科学校卒于索镇。曾为巴黎综合工科学校教授，当选为法国科学院院士。曾教授，当选为

65、法国科学院院士。曾任国王查理十世的家庭教师。任国王查理十世的家庭教师。柯西在大学期间，就开始研读拉格朗日和拉普拉斯的柯西在大学期间，就开始研读拉格朗日和拉普拉斯的著作。柯西最重要的数学贡献在微积分、复变函数和微分方著作。柯西最重要的数学贡献在微积分、复变函数和微分方程等方面。程等方面。此外，柯西对力学和天文学也有许多贡献。著作甚丰此外，柯西对力学和天文学也有许多贡献。著作甚丰，共出版了七部著作和，共出版了七部著作和800800多篇论文，多篇论文，18821882年开始出版他的年开始出版他的全集，至全集，至19701970年已达年已达2727卷之多。卷之多。22222()()()abcdacbd

66、与的大小2222()()ab cd2()acbd探究思考探究思考探究：探究：与与 的的大小关系。大小关系。分析：把该式首先展开，再用配方法，问题就分析：把该式首先展开，再用配方法，问题就可以解决。可以解决。解：解：展开乘积得：展开乘积得：(a(a2 2+b+b2 2)(c)(c2 2+d+d2 2)=a)=a2 2c c2 2+b+b2 2d d2 2+a+a2 2d d2 2+b+b2 2c c2 2由于由于a a2 2c c2 2+b+b2 2d d2 2+a+a2 2d d2 2+b+b2 2c c2 2=(=(ac+bdac+bd)2 2+(ad-+(ad-bcbc)即即(a(a2 2+b+b2 2)(c)(c2 2+d+d2 2)=()=(ac+bdac+bd)2 2+(ad-+(ad-bcbc),),而而(ad-(ad-bcbc)2 20,0,因此因此(a(a2 2+b+b2 2)(c)(c2 2+d+d2 2)()(ac+bdac+bd).).探究思考探究思考若若a,b,c,da,b,c,d都是实数都是实数,则则(a(a2 2+b+b2 2)(c)(c2 2+d+d2 2