矩阵的运算ppt课件

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1、在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么第二节 矩阵的运算矩阵的线性运算矩阵的线性运算矩阵的乘法矩阵的乘法矩阵的幂乘矩阵的幂乘矩阵的转置矩阵的转置方阵的行列式方阵的行列式共轭矩阵共轭矩阵在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么一、线性运算一、线性运算1.1.加、减法加、减法 mnmnmmmmnnnnijijbababababababababaBABABAbBaAnm221122222221211112121111,),()(1规规定定为为记记作作的的和和与与那那么么矩

2、矩阵阵和和矩矩阵阵设设有有两两个个定定义义)()()2()1(.CBACBAABBA算规律加法运算满足以下的运).(.0)(,)(),(BABAAAAaAaAijij由此规定矩阵的减法为然有显的负矩阵称为矩阵记设矩阵注意注意:只有当两个矩阵是同类型的矩阵时只有当两个矩阵是同类型的矩阵时,才能进行加法运算才能进行加法运算在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么2.2.数乘数乘规规定定为为或或的的乘乘积积记记作作与与矩矩阵阵数数定定义义,2 AAAnmmnmmnnaaaaaaaaaAA212222111211),(为数矩阵为同类型设规

3、律数乘矩阵满足以下运算nmBA)()()1(AA.,统统称称为为矩矩阵阵的的线线性性运运算算起起来来矩矩阵阵相相加加与与数数乘乘矩矩阵阵合合AAA)()2(BABA)()3(在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么二二、矩阵与矩阵的乘法、矩阵与矩阵的乘法)1(132322212123132121111 xaxaxayxaxaxay设有线性变换设有线性变换引例引例)2(232131322212122121111tbtbxtbtbxtbtbx便得式式代入可将的线性变换到若想求出从,)1()2(,2121yytt)3()()()()(2

4、32232222122113123212211212232132212121113113211211111tbababatbababaytbababatbababay即所对应的矩阵的乘积与所对应的矩阵定义为相应把的乘积与为线性变换称线性变换的结果再作线性变换可看成是先作线性变换线性变换,)2()1()3(,)2()1()3(.)1()2()3(在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么322322221221312321221121321322121211311321121111babababababababababababa323

5、122211211232221131211bbbbbbaaaaaa.,2332:矩阵的行数相等前面矩阵的列数与后面即而第二个矩阵为第一个矩阵为注意其中记作矩阵的乘积是一个与规定矩阵,),(ABCcCnmBAij),1;,1(12211njmibabababacskkjiksjisjijiij那那么么矩矩阵阵是是矩矩阵阵是是设设定定义义,)(,)(32nsbBsmaAijij 在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么smijaA)(nsijbB)(一般地，有一般地，有nmijc)(sjisjijiijbababac2211ABC)(

6、21isiiaaasjjjbbb21ijcnssmnmBAC在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么BCABdABCcBCbACaC，B，A )()()()().(,1333223则则下下列列运运算算可可行行的的是是有有例例TTmnnmABdBAcABbBAannmBA)()()()()()().(,)(,2阶方阵的是则下列运算结果为有例在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 431102311014201213013计计算算例例 解解32 1.4+0.(-1)+3

7、.2+-1.11.1+0.1+3.0+-1.31.0+0.3+3.1+-1.42.4+1.(-1)+0.2+2.11.1+1.2+0.0+2.32.0+1.3+0.1+2.4321199129 在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么)()().1BCACAB乘法结合律2.2.矩阵乘法的运算规律矩阵乘法的运算规律矩阵的乘法满足以下规律矩阵的乘法满足以下规律CABAACBACABCBA)()().2 乘法分配律矩阵乘法的运算法则与数的乘法的运算法则的不同点矩阵乘法的运算法则与数的乘法的运算法则的不同点BAAB 矩矩阵阵乘乘法法不不满

8、满足足交交换换律律).142002412,12002011BAABB，A但如AB是是A左乘左乘B，BA是是A右乘右乘B。显然，。显然，AB能成立，能成立，BA不一定能成立不一定能成立在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么3).3).两个非零矩阵相乘的结果可能是零矩阵两个非零矩阵相乘的结果可能是零矩阵若若 AB=0AB=0时时,一般不能得出一般不能得出A A、B B中至少有一个为零矩阵的中至少有一个为零矩阵的结论结论.0,0,0000,1000,0001 BAABBA而而则则如如对于某些特殊的矩阵可能有对于某些特殊的矩阵可能有AB

9、=BA,这时称这时称A、B是可交换的矩阵是可交换的矩阵CBACABCBA但如,.0000,1000,0001CBACAB 矩阵乘法不满足消去律矩阵乘法不满足消去律).2在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么.,),(32121，BAABbbbBaaaAnn求求设矩阵设矩阵例例 niiinnnnbabababaBA1221111解nnnnnnnnnnabababababababababAB 21222121211111.:矩矩阵阵的的每每行行中中提提出出来来从从即即不不能能分分别别把把有有公公因因子子不不能能认认为为矩矩阵阵注注意

10、意ibBA在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么.210114阶阶矩矩阵阵可可交交换换的的全全体体求求可可与与例例 A.,的元素素的方程求解列出对应元由可交换的矩阵为设与分析BBAABBA即由阶方阵为可交换的设与解,.24321BAABxxxxBA,1011101143214321xxxxxxxx434332142131xxxxxxxxxxxx得为任意取值23140 xxxx.,0221121为任意常数其中阶方阵为可交换的全体故与xxxxxBA434231xxxxxx即由矩阵相等的定义由矩阵相等的定义,得得 433211xxxx

11、xx在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么.,5相相等等的的主主对对角角线线上上元元素素之之和和与与证证明明阶阶方方阵阵均均为为和和设设例例BAABnBAnnijnnijnnijnnijdBADcABCbBaA)(,)(,)(,)(且记设证niiniiiiiibababacC2211的主对角线上的元素则,),2,1(1nkkiikiinibac即 nininkkiikiibac111)(和为的主对角线上的元素之于是矩阵C和为的主对角线上的元素之可得同理BAD,niniiinkkiiknkniikkinkkkcbaabd11111

12、1)()(.和相等的主对角线上的元素之与故BAAB在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例6 用矩阵方程表示下式线性方程组用矩阵方程表示下式线性方程组 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa21112222212111212111解解 mnmmnnnmaaaaaaaaaAxxxxbbbb2122221112112121,令令很容易验证得很容易验证得 Ax=b在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么1 1、定义、定义 设设A A是一个是一个n

13、 n阶矩阵，对于正整数阶矩阵，对于正整数k,k,个kkAAAA称为称为A A的的k k次幂次幂。三、矩阵的幂乘三、矩阵的幂乘lk,kllklklkAAAAA,2 2、幂乘的运算规律：任意正整数、幂乘的运算规律：任意正整数,有有,)(kkkBAAB但一般来说在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么)()42)()3)()22)()1?,2222222222EAEAEAEAEAEABABABABABABAnEnBA 以下式子哪些成立以下式子哪些成立阶单位矩阵阶单位矩阵为为阶方阵阶方阵为为设设例题例题?式子可以成立式子可以成立在什么条件

14、下不成立的在什么条件下不成立的不成立的原因是什么不成立的原因是什么什么什么以上式子成立的原因是以上式子成立的原因是?)(,nEA你能推导出公式你能推导出公式一般地一般地EACACACAEAnnnnnnnn 12211)(在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么.3次次幂幂的的方方法法的的求求矩矩阵阵nA方法一方法一 数学归纳法数学归纳法.,32再用数学归纳法证明之的规律发现等先计算kAAAnAA求设例,10111102110111011101122A解1031,23AAA同理猜想猜想101nAn.1011,101,1成立下证成立时

15、假设kAkAknkk.,10111011101,1结论成立事实上kkAAAkk在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么方法二方法二 利用二项展开公式利用二项展开公式 将矩阵将矩阵A A分解成分解成A=F+G,A=F+G,要求矩阵要求矩阵F F与与G G的方幂容易计算的方幂容易计算,且且FG=GF.FG=GF.一般地一般地,F,F和和G G有一个是单位矩阵有一个是单位矩阵E E时时,计算更加容易计算更加容易.EBCBCBCBEBnnnnnnnn12211)(应用二项展开公式.1方法求解例以下用二项展开公式的EBAA100100101

16、011分解先将矩阵解)2(0,0000001000102nBBn从而因nBEBBCBCEBEAnnnnn221)(于是10100101001nn在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么kAA试求已知矩阵例,0010012000100010000100010000000BB，EA其中解故由二项展示公式得可交换与即且满足可以验证,),()(0,000000100432BEEBBBEBBBB22211)()()()(BECBECEBEAnnnnnnn221)1(BnnBnEnnn在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识

17、到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么nnnnnnnnn0002)1(121你能用数学归纳法的思想求出这一结论吗你能用数学归纳法的思想求出这一结论吗?作业！作业！在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么nAnnnnnnnnnnnnA求设例,1111111113nBBBBnEAA2,111111111,1容易得出其中分解成将解nBnBnEBnEBnEBnEA2222221212)1(于是.),(1AAABnEn故幂等矩阵在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么,

18、).(1,利用乘法结合律列矩阵矩阵都是其中若nAT.,),31,21,1(,)3,2,1(nTAA求设已知例方法三方法三 利用乘法结合律利用乘法结合律得应用矩阵乘法的结合律因为解,3321)31,21,1(T则有是一个数并注意,TTTTT)()(TkT1)()()(1TkTAkT1)()()(TTTkA)()()(TTTnTnA因为TTTT)()(TnT1)(在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么AnT1)()()(1TnT 123332123121133,2,131211311nn 123332123121131n 除了以上求

19、矩阵幂的方法以外除了以上求矩阵幂的方法以外,还有应用矩阵的分块求矩阵的还有应用矩阵的分块求矩阵的幂幂;利用相似矩阵对角化的方法求矩阵幂利用相似矩阵对角化的方法求矩阵幂.这些方法将在后续的内这些方法将在后续的内容中介绍容中介绍.在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么四、四、矩阵的转置矩阵的转置.,.,51为为对对称称矩矩阵阵称称矩矩阵阵时时当当记记作作的的转转置置矩矩阵阵阵阵叫叫做做矩矩到到的的矩矩阵阵的的行行换换成成同同序序数数的的列列得得把把矩矩阵阵定定义义AAAAAA TT 的的转转置置矩矩阵阵为为矩矩阵阵例例如如 1130

20、21A 101231TA:,2满满足足下下述述运运算算规规律律算算矩矩阵阵的的转转置置也也是是一一种种运运 AATT)()1(TTTBABA)()2(TTAA)()3(TTTABAB)()4(10011A已已知知矩矩阵阵例例TABB)(,0110,求1001TA解0110,TB0110)(TTTBAAB故这一解法是否正确这一解法是否正确?正确如何解正确如何解?在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么2311021A已知例102324171,BTAB)(,求1023241712311021AB因为解法1013173140103131

21、4170)(TAB所以TTTABAB)(2解法1031314170213012131027241在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么单位阶为满足设列矩阵例nEXXxxxXTTn,1),(221.,2,EHHHXXEHTT且是对称阵证明矩阵22221121121),(),(:nnnTnnTxxxxxxxxxXX注意TTTXXEH)2(证TTTXXE)2(.,2)(2是对称矩阵所以HHXXEXXETTTT22)2(TTXXEHHH)(44TTTXXXXXXETTTXXXXXXE)(44EXXXXETT44在日常生活中，随处都可以看

22、到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么.0,0:.3AAAnAT则若证明阶实方阵是设例.0,0,AAAAAATT比较对应元素即可得由计算的元素设出分析nnnnnnnnnnnnTnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaAACaaaaaaaaaA212221212111212222111211212222111211,则设解222212222222121212211nnnnnnaaaaaaaaa)(,0素只考虑主对角线上的元得由TAAC),2,1(022221niaaaciniiii0,),2,1,(0Anjiaij故于是在日常生活中，随处都可以看到

23、浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么然而，对于矩阵然而，对于矩阵 和和2 2、方阵、方阵A A的行列式具有下列性质：矩阵的行列式具有下列性质：矩阵B B是与是与A A同阶的方阵同阶的方阵五、方阵的行列式五、方阵的行列式1 1、定义、定义 n n阶矩阵阶矩阵A A的元素按原有的位置构成的行列式，的元素按原有的位置构成的行列式，称为矩阵称为矩阵A A的行列式，记作的行列式，记作detAdetA或或ATAAdetdetAkkAndet)det(BAABdetdetdet sAAA,21nnAAAAAA2121nmAmnBBAABBAABdetdet)det(),det()det(性质性质3 3 可以推广到有限个方阵乘积行列式的情形。即若可以推广到有限个方阵乘积行列式的情形。即若均为均为n n阶矩阵，则阶矩阵，则，即使，即使ABAB和和BABA都有意义，都有意义，一般地，有一般地，有作业：书本作业：书本53页第页第3、4（2）（）（4）（）（5）、）、5、8、9、10