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1、线性回归中的相关系数山东 胡大波线性回归问题在生活中应用广泛，求解回归直线方程时，应该先判断两个变量是否是线 性相关，若相关再求其直线方程，判断两个变量有无相关关系的一种常用的简便方法是绘制 散点图；另外一种方法是量化的检验法，即相关系数法.下面为同学们介绍相关系数法.一、关于相关系数法统计中常用相关系数r来衡量两个变量之间的线性相关的强弱，当x.不全为零，y；也不i1全为零时，则两个变量的相关系数的计算公式是： r就叫做变量y与x的相关系数(简称相关系数).-x)(y - y)艺 x y - nxy说明：(1)对于相关系数r,首先值得注意的是它的符号，当r为正数时，表示变量x， y正相关；当
2、r为负数时，表示两个变量x，y负相关；(2)另外注意r的大小，如果r e o,751 ，那么正相关很强；如果r e -1, -0.75，那么负相关很强；如果r e (-0.75, - 0.30或r e 0.30,0.75)，那么相关性一般；如果 r e-0.25,0.25，那么相关性较弱.下面我们就用相关系数法来分析身边的问题，确定两个变量是否相关，并且求出两个变 量间的回归直线.二、典型例题剖析例1测得某国10对父子身高(单位：英寸)如下:父亲 身高(x )60626465666768707274儿子 身高(y )63.565.26665.566.967.167.468.370.170(1)
3、 对变量y与x进行相关性检验；(2) 如果y与x之间具有线性相关关系，求回归直线方程；(3) 如果父亲的身高为73英寸，估计儿子身高.解:(1) x = 66.8 , y = 67 ,昱x2 = 44794 ,昱 y2 = 44929.22 ,= 4475.6 , x2 = 4462.24,iii =1i=12 = 4489 ,国xy = 44836.4 ,i ii=1男 x y - nxy所以r =44836.4 10 X 4475.6(44794 - 44622.4)(44929.22 - 44890)80.46730.15280.482.04 0.98,所以y与x之间具有线性相关关系.(
4、2)设回归直线方程为y = a + bx ,昱 x y -10 xy 贝y b=方l昱 x 2 - 10 x 2ii=144836.4 4475644794 44622.4-0.4685,a = y 一 bx = 67 一 0.4685 x 66.8 = 35.7042 .故所求的回归直线方程为y = 0.4685x + 35.7042 .(3) 当x = 73英寸时，y = 0.4685x73 + 35.7042 = 69.9047 ,所以当父亲身高为73英寸时，估计儿子的身高约为69.9英寸.点评：回归直线是对两个变量线性相关关系的定量描述，利用回归直线，可以对一些实 际问题进行分析、预测
5、，由一个变量的变化可以推测出另一个变量的变化.这是此类问题常 见题型.例2 10名同学在高一和高二的数学成绩如下表：x74717268767367706574y76757170767965776272其中x为高一数学成绩，y为高二数学成绩.(1) y与x是否具有相关关系；(2) 如果y与x是相关关系，求回归直线方程.解：(1)由已知表格中的数据，利用计算器进行计算得国x = 710，昱y = 723，； = 71，$ = 72.3，昱xy = 51467.iii ii=1i =1i=1:E xyi i-10 xy7E x 2 - 10 x 2 0.75知，有很大的把握认为x与y之间具有线性相关关系.(2) y与x具有线性相关关系，设回归直线方程为y = a + bx，则近x y -10xyi ib = -i=L昱 x 2 10 x2ii =151467 10 x 71x 72.350520 10 x 7121.22，=y bx = 72.3 1.22 x 71 =14.32 .所以y关于x的回归直线方程为y = 1.22x -14.32 .点评：通过以上两例可以看出，回归方程在生活中应用广泛，要明确这类问题的计算公 式、解题步骤，并会通过计算确定两个变量是否具有相关关系.
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