车 灯 线 光 源 的 计 算

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1、2002 年全国大学生数学建模竞赛（封面）选择题号：普通组大专组ABC VD（根据所选竞赛题目在方框内打M）学校名称温州大学学生名称黄凤鸣、 苏仁杰、杨贤静指导教师徐徐全国大学生数学建模竞赛浙江赛区组委会二OO二年九月编号：车灯线光源的计算摘 要： 本文针对车灯线光源的有关问题作了详尽、仔细、 深入的分析。在问题一中借助光学原理将光功率之比转化为 空间角之比，近而转化为所对应的球冠面积之比，利用了一 重微积分求得线光源的直射光功率与反射光功率之比。在问 题二中，利用立体几何和空间解析几何两种方法分别论证了 线光源上点光源在测试屏上形成一系列等圆。该证明过程严 谨，结论吻合。在问题三中，构造了两

2、个模型，模型一给出 了反射光亮区上点的隐式解析表达式。理论上证明算法的可 行性。模型二利用光学原理与向量解析几何的概念，构造了 测试屏上反射光亮区上点的显式解析表达式，使解析式简 化，从而可利用 Matlab 进行计算机仿真模拟，最终得到反射 光在测试屏上的亮区。一、问题的提出：汽车头部的车灯的形状可近似为旋转抛物面，车灯的对称 轴水平地指向正前方，其开口半径 36 毫米，深度 21.6 毫米。 经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放 置长度为4毫米的线光源，线光源均匀分布。在焦点F正前 方25米处的A点放置一测试屏，屏与FA垂直。现按照上述的情况，需解决以下问题 问题一：求直射

3、光总功率与反射光总功率之比 问题二：在有标尺的坐标系中画出测试屏上直射光的亮区 问题三：在有标尺的坐标系中，只考虑一次反射的情况下， 画出测试屏上反射光的亮区、问题的分析：根据上述问题，为了方便对模型的阐述，按所给的数据， 用 Matlab 软件预先模拟出其三维图如图 A ，又为便于模型的 直观分析，在不影响结果的前提下，经过一定的纵横比放缩 将其转换为易于观察的立体图 B。（凡后文所涉及的例图均采取类似的方法，即深度比实 际图形有所拉长）由于线光源均匀分布，故可以视之为点光源的集合，该 集合为空间的一条线段上的点，从而问题可以分解集合 I 的 逐点对照射面的光强的积分效果。再分析直射光与反射

4、光，这里由于抛物面深度远小于开 口直径，而光源 I 又集中于焦点附近。因此，抛物面任一的 反射均可以为只须一次反射即进入测试屏。进一步，从光源 I 至开口面出射的光线可以认为是直射至测试屏上的光而从 光源 I 至出射抛物面可以认为是只须一次反射即测试屏上的 光线。以下，我们用空间解析几何方法逐点进行分析解决各问 题。在本文后面问题解决过程中有模型建立和解决方案的 详细分析。三、问题的假设：1、测试屏足够大且能出现所有光线的亮区。2、不考虑光的衍射、吸收、折射、散射对光功率的影响 而认为光在旋转抛物面的反射为全反射。3、线光源上的任意点光源各向同性，即其各方向的发射 都是均匀的。四、模型的建立与

5、求解：问题一、根据车灯的形状为旋转抛物面，以旋转抛物面的顶点为 原点O,以旋转抛物面的对称轴为Z轴，建立如下图1所示 的空间直角坐标：根据空间解析几何中的有关知识，抛物线! x 2二2 pz绕z轴y 二 0旋 转 所 得 的 抛 物 面 方 程 为 X2 + y2二2PZ ，由于旋转抛物面的 焦点处于（0,0,彳）取 上的一点代入抛物面方程即可求 得P，我们取点（0, 21.6, 36）可得：p=30,则焦点F的坐 标为（ 0， 0， 15）。故本题中的旋转抛物曲面方程为！x2 + y2二60zI z 21.6图1显然，与z轴垂直的抛物面开口方程为f2 + y2二60z。I z = 21.6根

6、据光功率的概念，若空间有指定的面积的截面，光功 率即为每秒射到该面积的光能，其单位是W (瓦)我们先 考虑本题情况下若为点光源时的直射光功率与反射光功率 之比，再通过一定积分求得线光源的直射光总功率与反射光 总功率之比。经过焦点长度为 4 毫米的线段上的任意点 C 的 坐标为( 0， L， 15)。以这一点为圆心，作一单位球。在旋 转抛物面开口处任取一点，为计算方便，取 A(0,-36,21.6) ， 与其对称的点B(0,36,21.6)，空间图如图2所示，平面图如图 3 所示：图3 由于点光源在等距离处直射光与反射光发光强度相同 ，光 功率之比即为AC与BC所围的空间角0与其补角之比，从 而

7、转化为单位球上两部分球冠的面积之比。由上图可得：cos0AC2 + BC2 一 AB22x AFx BF其中AC2=(L+36)2+6.62(L + 36)2 + 6.62 + (L一 36)2 + 6.62 一 722BC2=(L-36)2+6.62AB2=722故 cos0 = s 球冠的面积2x L + 36)2 + 6.62 x 讥L一36)2 + 6.62 h球冠的高度二(1 - cos ) x 12 =2兀 x 1 x (1 一 cos )2 我们利用微积分思想，从(0,一2,15)到(0,2,15)的点光源的直射光功 率之即为线光源的直射光总功率，线光源的反射光总功率即为线光源光

8、总功率与直射光总功率之差。线光源直射光总功率线光源反射光总功率J2 2兀 x (1 - cos )dL-22J2 4ndL-J2 2兀 x (1 - cos 2)dL一2一2 利用半角公式cos-= ：1 + C0S 将cos。代入积分公式。2*2上述关于变量 L 的积分可利用数学软件 matlab 来求解（详细程序见附录 1）：由上述程序可解得 线光源直射光总功率=6.556兀_ 0.6942线光源反射光总功率16兀- 6.556兀问题二、I. 证明部分：（1）用空间几何方法证明测试屏上的投影为圆心在同一如图 4 所示并有定理：在旋转抛物面内部，经过焦点且与 对称轴相垂直的水平方向的线光源上

9、的任一点，在测试屏 上的亮区是一个圆，且各个圆的半径相等。证明：取线光源上的任意两点 M，N 分别做如图所示的 两个三角形（MN/pq）。由于圆 O （即旋转抛物面的开口）和测试屏面同垂直于车 灯的对称轴，故测试屏和圆 O 必定平行。所以推出 pq 平 行于测试屏面，过pq作截面MA”则得pq/AB。得竺=mo A 0 MO1 1 1MO _ Oq MOOB1 1 1由、可得丄O_虫A 0 O B1 1 1 1又/ pO _ Oq:.AO _ OB1 1 1 1即AMAB的底边AB为圆O的直径。根据规则图形的对称性， M 点所发出的光线都能找到两条 光线组成一个三角形，并和a MA”相等，所以

10、M点在测 试屏上形成半径为 R 的圆的像。证明：在旋转抛物面缺口圆 0 上任取一点 C， C 点则为 C 在测试屏上的像，由光的直线传播原理得点 M、 C、 C 在 同一直线上。由上题可知A MOC s A MO1C1 二 _CO_MO 二11 CO MO MO _ OpMO AO 最后得竺一空C 0 AO 又CO _ POCO = AO1 1 1 1 即 R = CO1 1 1故可证明得由线光源上任意点 M 所发出的光在测试屏上形成的像为半径为R1的圆。由pq / MN|pq/O O21MN/O2O1A MNOs a OO2O1 nMO _ NOoo12MO + OO NO + OO NO

11、+ OO1 _2 _OOOOOO122MO _ NOMO NO12又由于MO_Ol,MO AO1 1 1NO _ OqN_ OB2 2 1由 pO _ Oq 得 A O _ O B 即1 1 2 1R _ R12故证明得线光源上任意点在测试屏上所形成的像是半径为常数的等圆。（2）用解析几何法证明测试屏上的投影为一系列等圆的包络。点光源A (x, y, z)为线光源上任意一点，B(X, yl，zj为 旋转抛物面外围圆的任意一点，即为圆面x2 + y2 362上的任意11点。点C (x2, y2，z2)为点B在测试屏上的投影。根据光的直线传播原理, A, B, C 三点必在同一直线上。由 此得到空

12、间不重合的两条平行线的必要条件：x 一 x y z 一 z=2 = 2x -x y z 一z2 1 1又因为y二0，z二0，所以 z = -h， z = -h2 1 1 1C点坐标为(x , y22A点坐标为(x,0,0) ； B点坐标为(x,y,-h )；1 1 1故空间不重合的两条平行线满足x 一 x y h2 = 2 =x -x y h1 1 1因为所有的光都是从半径为 36mm 的圆缺口射出的，故有一个限制条件：x2 + y2 36211又由 A 点在原点左右 2mm 处来回移动，故x g -2,2由得 = A = y二hiX y y h1 h 211x - x h2= n （x 一

13、x） x h = h x （x 一 x）x -x h21111h=1 Xh（x 一 x） + x2将、两式代入得hi（x - x） + x2 + （h y ）2 362h 2h 2hhh才 + x2（1 -屮x2 + （才 y2）2 362362（1 -如x2 + y2 h21h由上式可以看出，这是圆的方程。故线光源上任意点光源在 测试屏上所成的像为一个圆。我们取抛物面上主轴与测试屏 的交点为原点作一以测试屏为平面的直角坐标系，又由于 x是一个动点，且xe -2,2,所以线光源上的点光源在-2,2范围内直线移动，在测试屏上的圆心在对应范围内直线移动，测试屏所成的像如图 6所示：如上大量圆的投影

14、形成一个包络，长为15.14m，即为圆 心轨迹长度。通过以上的证明，最终得出测试屏上投影的模型(图6)II. 计算部分：取最大半径r = 36 x 10-3 m将 h 二 6.6 x 10-3 m, h 二 25m 代入式，得(x2 + 3786.8788x)2 + y2 (136.363)22故当x = -2x 10 -3 m时(x - 7.57)2 + y2 (136.363)222所以 F 点坐标为 (143.93,0)， J (7.57,136.36) ， L(7.57,-136.36) 当x二2X10-3m时(x + 7.57)2 + y2 (136.363)222所以 G 点坐标为

15、(143.93,0)， H(-7.57,136.63)， K(-7.57,-136.63) 矩形 JLK的长町=1514m，宽HK=27272m0102GFKL57,0)(-143.93, 0)(143.93,0)y(7. 57, 136.63)(T57.136 閃)HLJ(-7. S7h-136,63)(7,57,-136.6图7通过以上计算得：模型二所求亮区的范围即为上图 7 所示问题三、模型一：如图 8 建立直角坐标系。经M0点作MM0的法平面CM0 为曲面在点M0的法线。设M0点坐标为（X, y1，Z）此题的解题思路：在同一平面内入射光叫M2和法线M0N0 的夹角0和反射0 1相等，解

16、得反射光线M0M2的方程。 求解入射光线 M0M1 的方程：x L y 0 z 157=kX-L y 0 z 151 1 1x = L + k （x 一 L）iy 二 ky1z 二 15 + k （z 15）1图8 求法线M0N0的方程：曲面在点MO的法线方程为xxy y zzdF = dF = k（=）（=）（=）ox Mo Qx MoQz Mo由第题知曲面方程为F （x,y,z） =x2+y2-60z（zW21.6）QF =2xQxF =2yQyQF =-60Qz则MO （x1，y1，z1）的法线方程为x 一 x 二 yy】=zz12x12y1- 60入射光法线 求入射光和法线方程的向量M

17、M = （x 一L）i + （y 一0）j + （z 一 15）k1 0 1 1 1MN00=（2x ）i + （2y ） j 60k11设入射角为贝0 CO =2x/兀_ L + 2y2 _ 60(Z_5)(x L)2 + (y )2 + (z 15)2 (2x )2 + (2y )2 + 602 111V 11 求反射光的方程，设 M2 为测试屏上的点，其坐标为x2，y2，25000)xxyyz 25000=kx -x y y z 2500011 2 1 2 1 求反射光的向量M M =(x x )i + (y y ) j + (z 25000)k 2 0 1 2 1 2 1 求反射光角

18、的余弦角COSO 二12x (x x )+2y (y y )60(z 25000)1 1 2 21(x x )2+(y y )2+(z 25000)2 (2x )2 + (2y )2 + 60212 12 1 、 1 1 由cos0 = cos0求变量x2 , y2的表达式:2x (x x )+2y (y y )60(z 25000)1 1 2 + + 2 +.(x x )2+(y y )2+(z 25000)2 (2x )2 + (2y )2 + 60212 12 1 1 12x (x L) + 2y 2 60(z 15)士士士二2x(x x )+2y (y y )60(z 25000) n

19、 1_122丄2.(x x)2+(y y)2+(z 25000)- 1 2 1 2 12x (x L) + 2y2 60(z 15)=1 1 11t*v(x L)2 + (y )2 + (z 15)2H 111(x L)2 + (y )2 + (z 15)2 (2x )2 + (2y )2 + 602 1 1 1 1 1其中(x,y,z )为抛物面上的点，L为线光源的点坐标，在 (x,y,z)与L的取值范围内，进行计算机模拟，可以得到测 试屏上的反射光亮区上点坐标的确定值，便可以用成千上万 个点生成测试屏上的亮区。虽然计算式过于复杂，但完全可 以通过计算机来描点实现，理论上可行。 但由于时间仓

20、促， 在此我们不做进一步探讨。模型二：在模型一的基础上，构造平行四边形，并利用其平行边特性，即有如下定理a / b o a x b = o、*IM M = (M M n )n0 0 1 e e2M M = MN00图9M N-M M =M N 0 0 1 1MN x MM = 0 o MN/MM1002所以得2(M 0M1 * n) n - M M x MM = 0|n |20 10 2又因为n = 2xi + 2 yj - 60k令 a= (x x )2x + (y y )2y + (z z )(-60)4 x 2 + 4 y 2 + (-60)2得 +2yj + (-60)k - (x -

21、 x )i +(y- y )j +(z- z )k x(x-x )i +(y-y )j+(z-z )k=0也-(y 一 yi)= k4Ax - (x - x )i = kx-x0其中，M :x2+ y2-60z=0一 1 2 d(z 一 Z1)= ky-y0z-z0M : x1l= 0, y -2,2, z =154 x 2 + 4 y 2 + (-60)2其中 x2 + y2 21.6 ) 构造三重循环，把 L ，x ，y 的值代入上述推导得到的A,t, xo,y o公式中，便可得到测试屏上点的确定值0,y0)经过半分钟的 Matlab 虚拟运算模拟，反射点在测试屏上 的像最终如下图所示（详

22、细程序请参见附录 2）2600-5003000-20001000 C 10002000300020001500 -1000-10001500-20002500五、模型的评价与推广 本模型利用光学中空间角的概念，巧妙地把光功率 之比转化为两个球冠 的面积之比。利用一重积分把线光源离散成点光源求解， 从而使一个复杂的物理概念过度到简单的数学模型。问题二中利用空间解析几何与空间立体几何同时证 明了直射光在亮点区的点的轨迹，两种方法的结果吻合。 用 Matlab 绘图，亮区一致，其中解析法给出的点的轨迹 简明扼要。问题三中，反射光线的亮区情况较复杂，建立一个简 单的数学表达式几乎不可能。所以我们构造了

23、三重循环， 有效地利用计算机仿真模拟了测试屏上亮区的情况。但 表达式过于复杂，如果给我们足够的时间，应该可以给 出比较满意的答案。问题三中的模型二，利用离散的基本性质与光学的基 本理论知识，构造出比模型一更简单的显式表达式，从 而使用 Matlab 进行计算机仿真模拟成为可能，由于时间 仓促，模型二还存在一定缺陷，未能给出一条简单明了 的亮区解析表达式。参考文献：1 王 楚光学北京大学出版社20012 郑宝东线形代数与空间解析几何哈尔滨工业大学出版社20003 陈绍菱解析几何经济科学出版社19954 吴迪光高等数学浙江大学出版社19995 张志涌MATLAB教程北京航空航天大学出版社 2000

24、附录 1：syms LFX=l-sqrt(l+(2*LT+2679.12-5184)/(2*sqrt(L+36)八2+6.6八2)*(L-36)八2+6.6八2)/2)temp=int(FX,L,-2,2)temp=vpa(temp)S1=temp*2*pi运行结果：S1= 6.5559855344467751704192067994616*pi附录 2：x=-36:0.1:36;y=x;z=(x.A2+y.A2)/60;l=-2:0.1:2;h=0;for tt=1:721for ll=1:41if z(1,tt)=21.6h=h+1;dd=(x(1,tt)-l(1,ll)*2*x(1,tt

25、)+2*y(1,tt)*y(1,tt)+(x(1,tt)*x(1,tt)+y(1,tt)*y(1,tt)/60)-15)*(-60)/(4*x(1,tt)*x(1,tt)+4*y(1,tt)*y(1,tt)+(-60)*(-60);temp=(-120*dd-(x(1,tt)*x(1,tt)+y(1,tt)*y(1,tt)/60)+15)/(x(1,tt)*x(1,tt)+y(1,tt)*y(1,tt)/60-25015);xx=x(1,tt)-(4*dd*x(1,tt)/temp)+(x(1,tt)-l(1,ll)/temp;yy=x(1,tt)-(4*dd*x(1,tt)/temp)+y(1,tt)/temp;xxx(1,h)=xx;yyy(1,h)=yy;end;end,end;plot(xxx,yyy);