9种常用三角恒等变换技巧

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1、常用三角恒等变换技巧解答三角函数问题，几乎都要通过恒等变换将复杂问题简单化，将隐性问题明朗化。三 角恒等变换的公式很多，主要有“同角三角函数的基本关系”、“诱导公式”、“和、差、倍、 半角公式”、“辅助角公式（化一公式）”等，这些公式间一般都存在三种差异，如角的差异、 函数名的差异和运算种类的差异，只有灵活有序地整合使用这些公式，消除差异、化异为同， 才能得心应手地解决问题，这是三角问题的特点。下面从九个方面解读三角恒等变换的常用 技巧。一、“角变换”技巧sin 2x + 2 sin 2 x 求 1 tanx的值。角变换的基本思想是，观察发现问题中出现的角之间的数量关系，把“未知角”分解成“已

2、 知角”的“和、差、倍、半角”，然后运用相应的公式求解。3兀7兀 x ，44注意到x =【分析】考虑到“已知角”是x + ：，而“未知角”是x和2x，4可直接运用相关公式求出sin x和cos x。sin x = sinr丸）丸r丸）丸r兀）x +一=sin x +cos 一 cos x + k4 )4k4 )4k 4)兀sin =4102.从而 cos x = 10，tan x = 72sinxcosx + 2sin2 x 原式=itanx2875 37x 兀，4兀所以兀 x + 4 2兀，为了4 0，所以 x + 2兀，sin x + =k4 )524k 4)5【简解】又因为cos2 .【

3、反思】（1）若先计算出cosx = 10，则在计算sinx时，要注意符号的选取；（2）本题的另一种自然的思路是，从已知出发，用和角公式展开，结合“平方关系”通过解二元二 次方程组求出sin x和cos x.但很繁琐，易出现计算错误；（3）本题也可由一/兀、兀2x = 2 + x ，运用诱导公式和倍角公式求出sin2x。sin 2以 人+1 sin 2。人一1k4） 2已知tan（以+。） = X tan。），其中人。1，求证:【分析】所给条件中出现的已知角”是以+。与以-。，涉及的“未知角”是条与2。，将三个角比较分析发现2以=（以+。）+ （以一。），2。=（以+。）一 （以一。），把“未知

4、”角转化为两个已知角的代数和，然后用相关公式求解。sin2 sin【简证】sin2 sinsin()cos()cos() sin()sin()cos()cos() sin()tan()tan()tan()tan()1tan()tan()tan()tan()1【反思】(1)以上除了用到了关键的角变换技巧以外，还用到了 “弦化切”技巧；(2) 本题也可由已知直接求出tan与tan的关系，但与目标相差甚远，一是函数名称不同， 二是角不同，所以较为困难；(3)善于发现所求的三角函数的角与已知条件的角的联系，是 有效进行角变换的前提。常用的角变换关系还有：，22,223- (),754530等.二、名变

5、换根巧名变换是为了减少函数名称或统一函数而实施的变换，需要进行名变换的问题常常有明 显的特征，如已知条件中弦、切交互呈现时，最常见的做法是切弦互化”，但实际上，诱导 公式、倍角公式，平方关系也能进行名变换。例 1 已知向量a 1 tanx,1), b 1 sin2x cos2x,0)，求 f (x) a b 的定义 域和值域；【分析】易知f(x) 1 tanx) 1 sin2x cos2x)，这是一个切弦共存”且单、倍角共在”的式子，因此既要通过切化弦减少函数名称，又要用倍角公式来统一角，使函数 式更简明。【简解】f (x)1 tanx) 1 sin2x cos2x)1 sg 1 2sinxc

6、osx 2cos2 x 1 cosx2 cosx sinx cosx sinx2cos2x由 cosx0得，x k ,k Z , 2cos2x 2所以，f(x) 2cos2x.的定义域是x|x k5k Z ,值域是 2,2 .乙【反思】本题也可以利用万能置换公式先进行弦化切，变形后再进行切化弦味解.sin 以一 cos 以， sin P ，例2已知以,P都是锐角，且tan p=，求的值。sin 以+ cos 以sin 以一 cos 以【分析】已知条件中，等式的右边是分式，符合和差解的正切公式特征，可考虑“弦化 切”，另一方面，若是“切化弦”，则很快出现待求式，与目标很近.sin a兀【简解1】

7、显然cosa丰0时，tan P =1 tan a _ tan / co业=4 = tanla-sin a一 一兀(4 )+1 1 + tan a tan cosa4因为a,p都是锐角，所以P=a一下，4所以，2sin a 4)【简解2】由sin Pcos Psin a 一 cos a , 得， sin a + cos asin P _ cos Psin a 一 cosasin a + cos a则+a + cos a设 sin P = cos P = a sin a - cos asina + cos asin2 P + cos2 P = A2 kin a 一 cos a)2 sin P 2所

8、以，2A2 =1， A-，即.2sin a - cos a2【反思】简解1说明当分子分母都是同角的正弦、余弦的齐次式时，很容易“弦化切”; 简解2很巧妙，其基本思想是整体换元后利用平方关系消元.三、“常数变换”技巧在三角恒等变形过程中，有时需将问题中的常数写成某个三角函数值或式，以利于完善 式子结构，运用相关公式求解，如1 = sin2 x + cos2 x，1 = tan45。，据=tan；等.1 一 sin6 x 一 cos6 x 3. g c例 1 （1）求证： :=f ；（2）化简：sin2x +3cos2x .1 一 sin4 x 一 cos4 x 2【分析】第（1）小题运用1 =

9、（in2 x + cos2 x）和1 = Cin2 x + cos2 x）把分子、分母 都变成齐次式后进行转化；第（2）小题实际上是把同一个角的正弦、余弦的代数和化为熟 悉的y = A sin （dx + G的形式，有利于系统研究函数的图象与性质.(sin2 x + cos2 x)3 一 sin6 x 一 cos6 x 【简解】(1)左边=；(sin2 x + cos2 x)2 一 sin4 x 一 cos4 x_ 3sin2 xcos2 x(sin2 x + cos2 x) _ 32sin2 xcos2 x2 .兀(2) 原式=sin2 x + tan cos 2 xsin sin 2 x

10、cos + cos 2 x sin =sin 2 x + - cos 2 x =33 coscos 3 3【反思】“1”的变换应用是很多的，如万能置换公式的推导，实际上是利用了1 = sin2 x + cos2 x把整式化成分式后进行的，又如例4中，也是利用了1 = tan45。，把分 式变成了整式.四、“边角互化”技巧解三角形时，边角交互呈现，用正、余弦定理把复杂的边角关系或统一成边，运用代数 运算方法求解，或统一成角，运用三角变换求解.例 在 AABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边，且 2a sinA = （2b+c） sinB + （2c+b） sinC， 2a sin

11、A = （2b + c）sin B + （2c + b）sin C（1）求角A的大小；（2）若sinB + sinC = 1，证明AABC是等腰三角形.【分析】本题的条件集三角形的六元素于一身，看似复杂，但等式是关于三边长和三个 角的正弦的齐次式，所以可用正弦定理把“角”化为边或把边化为“角”来求解。【简解】（1）（角化边）由正弦定理二土 = 一 = 一土得，sin A sin B sin C2a2 = （2b + c）b + （2c + b）c，整理得，a2 = b2 + c2 + bc，b 2 + c 2 - a 212所以 cos A =2bc= 2 因为 0，因为空 3兀，所以 sin

12、3 + cos3 = J2 sin 3 + 0，4 4)所以，原式=(sin 2 + cos3) + (sin3 cos3) = 2cos3 .例2求函数f (x) = 2sin2-龙cos 2x，x E I n，-| I的最大值与最小值.【分析】函数式中第一项是正弦的平方，若“降幂”后“角变倍”与第二项的角一致.一 一(兀 一、【间解】.f (x) = 1 cos + 2xk27(3 cos 2 x = 1 + sin 2 x (3 cos 2 x又x E-，习，-w 2 x - - W m，即 2 w 1 + 2sin( 2 x - -1 W 3，L 4 2633k 3 7 f (x)m疽

13、 3, f 3)讪=2.【反思】以上两例表明，“升降幂技巧”仅仅是解题过程中的一个关键步骤，只有有效地 整合各种技巧与方法才能顺利地解题。如例7中用到了常数“变换技巧”，例8中用到了“辅 助角”变换技巧.六、“公式变用”技巧.sin 2 以sin 2 以几乎所有公式都能变形用或逆向用，如sin以=，cos= =2cos 以2 sin 以tan以 土 tan P = tanCx P)( tan以 tan 。)等，实际上，“常数变换”技巧与“升降幂”技巧等 也是一种公式变用或逆用技巧.例 1 求值：（1） cos20 cos40 cos60 cos80 ；（2） tan70。tan10。3tan7

14、0。tan10。【分析】第（1）小题中，除60。是特殊角外，其他角成倍角，于是考虑使用倍角公式;第（2）小题中两角差为60。，而3是两角差的正切值，所以与两角差的正切公式有关。宜sin40o sin80。60。sin160。_ sin160。_ 1【间解】（1）原式一2sin20。2sin40。算2sin80。 16sin20。16 （2）原式=tan（70。10。）（1 + tan70。tan10。） 2tan70。tan10。= t3。sin 2 n 以（）【反思】第（1）小题的一般性结论是：cos以cos2以cos2n1以_n e N*2 n sin 以例 2 求证：tan x tan

15、2x + tan 2x tan 3x + tan Rn 1）xtan nx = an nx n。tan x【分析】左边通项是两角正切的积，且两角差为定值，而在正切的和、差角公式中出现 了两角正切的积，可尝试.tan kx tan(k 1) x【简证】因为tanx = tanlkx 览1zxJ=，k = 2,3,4,n1 + tan kx tan(k 1) xtan kx tan（k 1） x ,所以 tan（k 1） x tan kx = 1，tan xtan 2 x tan xtan3x tan 2 xtan 4 x tan3xtan nx tan（n 1） x左边=+ + ntan xta

16、n xtan xtan xtan nx=ntan x【反思】这里通过“角变换”和公式变形得出裂项公式，然后累加消项，这也是数列求 和的一种常见技巧.七、“辅助角变换”技巧通常把a sin x + b cos x = a2 + b2 sin（ x +中）叫做辅助角公式（也叫化一公式），其作 用是把同角的正弦、余弦的代数和化为y = A sin侦x + G的形式，来研究其图象与性质.尤a 一5其是当丁 = 1，略3，土-时，要熟记其变换式，口sinx + cosx _i2（si b3(兀、3 sin x一 cos x = 2(sin x 一一 等I 6)例求函数y = 1 + sin x的值域.3

17、 + cos x【分析】初看此题，似无从下手，若把分式变成整式，就出现了 a sin x + bcos x，然 后利用三角函数的有界性建立关于y的不等式.【简解】 由 y = + *n* 得3y + y cosx = 1 + sinx，所以 sinx y cosx = 3y 1， 3 + cos x从而 x.1 + y 2 sin（x + 中）=3 y 1，y1、其中辅助角中由sin中=1，cos中=J 决定.所以，由 |sin（x + 中）=3 y 1v1 + y2【反思】（1）解答本题的方法很多，比较多用的方法是类比斜率计算公式，把问题转化 为直线斜率问题，也有用万能置换后，转化为分式函数

18、求解的（2）辅助角公式的形成，也.一 、-,（ . b 、，可设可以看成是“常数变换”的结果.事实上，a sin x + bcosx = a sin x + cos x b-=tan中，再进行“切化弦”变换，就得到了 “化一公式”.a八、“换元变换”技巧与 sin x cos x这时，可设 t = sin x + cos x （或 t = sin x cos x ）则 sin x cos x = M（或 sin x cos x =把三角函数转化为熟悉的函数来求解.二 （sin x - cos x例1求函数y = 1.1 + sin x + cos x（兀Px e 0,-I V 2刀的值域.【分

19、析】同时出现sin x + cos x与sin x cos x时可用（sin x + cos xI = 1 + 2sin x cos x【简解】设sin x + cos x = t，因为0 x ，2t =、2（sin，所以t e （1,巨，又由（sin x + cos x=1 + 2 sin x cos x 得-12 1sin x cos x =2所以，12 1sin x - cos x _ 2- _ t 11 + sin x + cos x 1 +12一Ji 1由 t e （1,*2得，0 y 一-一A【反思】（1）本题若不换元，则需要用到“添、凑、配”技巧，而怎样进行“添、凑、 配”，则是

20、因题而异，无明显特征.；（2）引进“新元”后，一定要说明“新元”的取值 范围；（3）平方关系的变式（sinx + cosxl = 1 + 2sinxcosx应用广泛，如在解答命题有些函数，式子里同时出现sinx + cosx （或sinx cosx）“已知sin9 , cos9是方程x2-kx + k +1 = 0的两根，求k的值.”时，关键步骤是 在运用韦达定理后，利用变式消元后求解。求证:x - y y - z z - x x - y y - z z - x :-+ += 1 + xy 1 + yz 1 + zx 1 + xy 1 + yz 1 + zx【分析】所证等式中每个分式与两角差的

21、正切相似，而所证等式与三角形中的结论tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C相似，从而尝试换元，利用三角知识证代数问题。【简解】设tan以=x,tanP = y,tan丫 = z，因为G - P）+（P 一丫）=以 一丫，所以 tanfia-。）+。-丫）= tan G-丫），tan(a-p)+ tan (p-y)()1 - tan(a-p)tan (p-y)=剧 -y)，变形整理得 tan (a - P)+ tan (P -y )+ tan (y -a)= tan (a 一 P)tan (P - y )tan (y - a)所以tan a - tan

22、 P + tan P - tan y + tan y - tan a，1 + tan a tan P1 + tan P tan y1 + tan y tan atan a - tan P tan P - tan y tan y - tan a , 1 + tan a tan P 1 + tan P tan y 1 + tan y tan a即，x - y y - z z - x x - y y - z z - x :-+ += 1 + xy 1 + yz 1 + zx 1 + xy 1 + yz 1 + zx【反思】本题解法也体现了类比思维的作用，若用常规方法处理，则运算十分繁琐九、“万能置换

23、”技巧“万能置换”技巧，实际从属于“名变换”技巧，其特征是用半角的正切值表示原角的 正弦、余弦与正切.2 x例讨论函数y =的最大值与最小值.1 + x 2【分析】本题可通过求导或利用基本不等式求解.但类比函数式的结构与万能置换公式2 tan xsinx =相同，于是问题得到转化., x1 + tan 2 2【简解】设x = tant（-兀t v兀），则t2 tan =sin t，1 + tan 2 一2兀兀，y max= 1，当且仅当t =-也就是x = tan = 1时，24-兀)=-1 时，y . =-1 min当且仅当t = -3也就是x = tan -丁2k 4 J【反思】(1)当问

24、题条件中出现单角的正切与倍角三角函数问题时，可考虑使用万能置 换公式；(2)运用万能置换技巧既可以把代数问题转化成三角函数问题，也可以把三角问题尤 一 x尤1 + sin xtan22 + 2tan2 +1转化为代数问题，如例11中，可设t = tan；，则y =，即23 + cos xx ,2tan2 + 4212 + 2t +1y = ，然后可用判别式法求解.2t 2 + 4最后还要指出，这里介绍的所谓技巧只是解决问题时关键步骤的一种特定的做法，每一 个问题的解决常常伴随着几种技巧的综合运用，所以，只有准确理解三角公式的内在关系及 其基本功能，善于发现问题中角、名、结构的差异，准确地选择转换策略，化异为同，才能 准确有效地运用三角恒等变换的常用技巧解决问题