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1、天体运动中的向心加速度与重力加速度钦州市第二中学 吴展红在学习了天体运动之后，很多同学认为重力加速度就与向心加速度是一回事，即向心 加速度就等于重力加速度，重力就等于向心力，从而出错。其实不然，下我们从力与运动 的关系来分析这个问题。万有引力定律：是物体间相互作用的一条定律，1687 年为牛顿所发现。任何物体之间 都有相互吸引力，这个力的大小与各个物体的质量成正比例，而与它们之间的距离的平方 成反比。如果用M、m表示两个物体的质量，r表示它们间的距离，则物体间相互吸引力 为F= GMm/r2，G称为万有引力常数，其值约为x10 -11单位N2 /kg 2。为英国物理学家、化学家亨利卡文迪许通过
2、扭秤实验测得。 万有引力定律的发现和提出，使我们认识到自然界中存在的一种基本作用，更重要的是 把其应用于天体的运动以及航天技术的研究当中，从而开创了人类探索宇宙奥妙的新纪元。万有引力与航天这章内容比较晦涩难懂，公式比较多学生容易混淆，万有引力公式与圆 周运动公式相结合，得出一系列的公式。如何能在繁杂的公式中找出其中的奥秘，关键还 是要搞清楚万有引力与航天的规律。欲解决此类问题，现归纳以下几条依据： 在地球上的物体：（1）考虑地球的自转：重力是万有引力产生的，由于地球的自转，因而地球表面的物体 随地球自转时需要向心力。重力实际上是万有引力的一个分力，另一个分力就是物体随地 球自转时需要的向心力。
3、如图所示，由于纬度的变化，物体做圆周运动的向心力F也不断 变化，因而地球表面物体的重力随纬度的变化而变化，即重力加速度g随纬度变化而变化。其中 G 为万有引力常量， M 为地球的质量， m 为地面物体的质量， R 为地球半径， r 为随着纬度的变化物体距离轴线的长度。（万有引力向量=重力向量+向心力向 量）GMm/R2 =mg+ mw2r因为同一个物体的 W 相等，随着纬度的增加 r 越来越小，但是万有引力GMm/R2不变，mg越来越大即：随着纬度的增加，重力加速度g越来越大。 因此在南北极重力加速度最大，在赤道附近最小。向心加速度：g a=w2r=(2 n /T)2r= V2/rGMm/R2
4、 =mg+ ma=mg+ mw2r=mg+ m(2 n /T)2r=mg+ mV2/r重力加速度向心加速度相关公式的推导： GMm/R2 =mg+ mV2/r 或 GMm/R2 =mg+ m（2 n /T）2r（2）忽略地球的自转：在赤道处R=r，物体的万有引力分解的两个分力f 5和mg刚 向好在一条直线上, 则有 F=mg+f ，所以， mg=F-f =GMm/R2-mw2R向向因地球自转角速度很小，GMm/R2mw2R所以GMm/R2mg,（般情况下不考虑自转带来的影响，认为重力等于万有引力，只有在南北极时物体不随地球自转GMm/R2 =mg）“GM=gR2”通常称为黄金代换式，在解题时经
5、常用到。假设地球自转加快，即 mg=GMm/R2-mw2R 知物体的重力将变小.当 GMm/R2=mw2R时，mg=0 此时地球上物体无重力，但是它要求地球自转的角速度w二GM/R3, 比现在地球自转角速度要大得多。地球附近的近地卫星：通常把高度在 500 千米以下的航天器轨道称为低轨道， 500 千米2000 千米高的 轨道称为中轨道。中、低轨道合称为近地轨道（又称顺行轨道） 。近地卫星是指轨道 在地球表面附近的卫星，计算时轨道半径可近似取地球半径（这一点很重要）即：近 地卫星：转动半径（R+h） 地球半径RGMm/ （R+h） 2 = maGMm/R2 = ma= mw2R= mV2/R=
6、m(2 n /T)2R= mw2(R+h)= mV2/(R+h)=m(2 n /T)2(R+h)(1) 轨道半径(R+h*R；运行速度v = 叱=；g(R+h)二/s,是所有卫星的最大绕行速(R + h)度；(2) 运行的周期为T=85min,是所有卫星最小周期；(3) 向心加速度a=g/S2,是所有卫星的最大加速度。(4) 向心加速度 a=g=W2R=V2/R=(2 n/T)2R=GM/R2iGM，小 il_RT角速度転周期期二2气：GM重力加速度=向心加速度人造卫星在离地面h的高空中运行，它处于一种完全失重状态，其重力G = 0,则重力加速度g = 0。但卫星受到了它与地球之间的万有引力尸
7、万，此F万完全来提供卫星绕地球做圆周Mm MmF = G= G= ma运动所需的向心力。由公式 万r2(R+h)2得到卫星做圆周运动的向心加速GMa 二度 (R+h)2 ，方向指向地球的球心。现在我们设想一下，如果某一时刻，卫星的速度为 零，那么想一下，此时的卫星具有的加速度是多少 假如卫星的环绕速度变为零，但它受到的万有引力不变，仍然与它绕地球做圆周运动时受 到的万有引力一样，只不过。此时的万有引力扮演的角色发生了改变，卫星做圆周运动时，V = 0时，F万完全用来向心力，而当 环绕 时，F万全部用来提供卫星的重力，所以卫星的重力GMg =加速度 (R+h)2，方向与尸万同向，即指向球心。也可
8、以从另外途径来证明此结果。当卫星的环绕速度为零时，它受到的重力：Mmmg = G(R + h)21)又因为在地球表面，我们可以得到：Mmmg = GR 22)R2g=小八g3)从以上(1)(2)两式，得到(R+h)2在上文中，我们已得到GM = gR2，代入(3)GMg二式，得：(R+h)2 ，方向指向球心。由此得到同样的结果。根据以上的分析，对于同一颗卫星，在同一位置的两种不同状态下，其向心加速度和重力 加速度是一样的，不但大小一样，而且方向也一样。地球远地卫星：距离地球比较远，距离地球的高度不可以忽略，卫星距离地心 r=R+HGMm/ (R+ h) 2 = maGMm/r2 = ma=mw
9、2(R+ h)= mw2r= mV2/(R+ H)= mV2/r=m(2 n /T)2(R+ h)= m(2 n /T)2r向心加速度 a= w2r=V2/r=(2 n /T)2r= GM/r2地球同步卫星： 即地球同步轨道卫星，又称对地静止卫星，是运行在地球同步轨道上的人造卫星。所谓同 步轨道卫星，是指：卫星距离地球的高度约为h=36000 km,卫星的运行方向与地球自转方 向相同、运行轨道为位于地球赤道平面上圆形轨道、运行周期与地球自转一周的时间相等， 即 23 时 56 分 4 秒，卫星在轨道上的绕行速度约为公里/秒，等于地球自转的角速度。在地 球同步轨道上布设3颗通讯卫星，即可实现除两
10、极外的全球通讯。1)2)3)线速度 v =(R + h) = 3.07 x 103m/ s ；角速度 = V (R + h) = 7.24 x 10-5 rad / s ；周期 T = 24h = 8.64 x 104 s ；(4)向心加速度 a = GM 江 R + h)2 = 0.22 m / s 2；5)轨道半径3r = R + h=T 2 GM4兀2= 4.2 x 107 m(6)对地高度h = 3.6x107m ；以后我们在分析这类问题时，首先要明确研究的是地球表面随地球自转的物体还是上 升到空中成为地球的卫星的物体，重力加速度是否等于向心加速度，要分类讨论。严谨的 学习态度，才是学习物理的金钥匙。
天体运动中的向心加速度与重力加速度
