第15讲 导数的性质

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1、第15讲 导数的性质及应用【考点解读】1理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件 和充分条件(导数在极值点两侧异号)；2. 会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值.【知识扫描】1. 函数的单调性函数y= f(x)在某个区间内可导，若f(x) 0，则f (x)为；若广(x) VO,则f (x)为 .(逆命题不成立) 如果在某个区间内恒有广(x) - 0，则f (x).注：连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的.(3) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法： 确定函数f(x)的； 求广(x)，令，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根； 把函

2、数f (x)的间断点(即f (x)的无定义点)的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺 序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间； 确定广(x)在各小开区间内的，根据广(x)的符号判定函数f (x)在各个相应小开区间内的增减性.2. 可导函数的极值 极值的概念设函数f (x)在点x0附近有定义，且对x0附近的所有点都有 (或)，则称f (x0)为函数的一个极大(小)值.称x0为极大(小)值点. 求可导函数极值的步骤： 求导数 f (x)； 求方程f (x) =0的； 检验广(x)在方程广(x) =0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y= f(x

3、)在这个根处取得；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数y= f (x)在这个根处取得.3. 函数的最大值与最小值：(1) 设y= f (x)是定义在区间a ,b 上的函数，y= f(x)在(a ,b )内有导数，则函数y= f(x)在a ,b 上有最大值与最小值；但在开区间内有最大值与最小值.(2) 求最值可分两步进行： 求y= f(x)在(a ,b )内的值； 将y= f (x)的各值与f (a)、f (b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.(3) 若函数y= f (x)在a ,b 上单调递增，则f (a)为函数的， f(b)为函数的;若函数y= f (x)在a,b上单

4、调递减，则f (a)为函数的， f (b)为函数的.【考计点拨】牛刀小试：1曲线y=ex在点(2, e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(D )A. 9 e2B.2e2C.e2D. e2423.(浏阳一中2012届高三月考)设f (x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x 0且 g (3) = 0，则不等式 f ( x) g (对 的解集为2如果函数y=f(x)的图象如图所示，那么导函数y=广(x)的图象可能是(A )【答案】(s, 32(0,3)【解析】因为当 x0,此时f (x)g(x)是增函数.4. 直线y = a与函数fx)=x3 3x的图象有相异的三个公共点，贝U a

5、的取值范围是解析：令 f (x) = 3x2 - 3 = 0, 得 x = 1,可求得fx)的极大值为f(- 1) = 2,极小值为f(1)=-2,如图所示,- 2a0,解要使函数有意义，只要J。,即 0x0在R上恒成立; 当 a0 时，有 x21n a.综上，当aWO时，fx)的单调增区间为(一8,+);当aO时，fx)的单调增区间为lna，+8).考点三 利用导数求函数的极值2x【例3】求函数y=f(x)=x2+2的极值.解 由题易知 f( x) 的定义域为 R.2(1x2) (x2 + 1) 2 2(x2 + 1)_2x2x(x)=(x2+1) 2令y=O，解得x= 1 或x= 1. 当

6、x变化时，y、y的变化情况为:x(8,1)1(1,1)1(1，+8)y0+0y极小值3极大值1当x=1时，y有极小值一3；当x=1时，y有极大值一1 规律总结：求函数极值的方法.一般地，我们求函数yhX)的极值的方法如下：第1步，求导数f (x);第2步，求方程f (x)=0的所有实数根；第3步，考査在每个根x0附近，从左到右，导函数 f (x)的符号如何变化如果f (x)的符号由正变负，则fxO)是极大值；如果由负变正，则fxO)是极小值.例3：设函数f (x) = 2x3 + 3ax2 + 3bx + 8c在x二1及x二2时取得极值.(I)求a、b的值;(II)若对于任意的x 0,3，都有f (x) 0 ；当x e (12)时，f(x) 0 .所以, 当 x 二1 时，f (x)取得极大值f (1)二5 + 8c,又f (0)二8c, f 二9 + 8c .则当x g 0,3时，f (x)的最大值为f二9+ 8?.因为对于任意的x g 0,3，有f (x)c2恒成立，所以9 + 8c c2，解得 c 9，因此c的取值范围为(s, 1) (9, + a).规律总结：解答本题要明确极值点与导函数方程之间的关系：对于三次函数极值点的导数一 定为 0，但导数为 0 的点不一定是极值点.本题解得充分利用上述关系，通过建立方程组求得 了 a和b的值.