阶常系数非齐次线性微分方程

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1、第十章第十章 微分方程微分方程 第九节第九节 二阶常系数非齐次线性微二阶常系数非齐次线性微分方程分方程如果二阶线性微分方程为如果二阶线性微分方程为y +py +qy=f(x)，其中其中 p、q 均为常数，均为常数，则称该方程为二阶常系数线则称该方程为二阶常系数线性微分方程性微分方程.f(x)称为自由项，当称为自由项，当 f(x)不恒等于不恒等于0 0 时，称为二阶常系数线性非齐次微分方程时，称为二阶常系数线性非齐次微分方程，当当 f(x)恒为恒为 0 0 时，称为二阶线性齐次微分方程时，称为二阶线性齐次微分方程.定理定理 如果函数如果函数 y*是常系数线性非齐次方程是常系数线性非齐次方程 y

2、+p y +q y=f(x)的一个特解，的一个特解，y=Y+y*，是常系数线性非齐次方程的通解是常系数线性非齐次方程的通解.Y 是该方程所对应的是该方程所对应的常系数线性齐次方程的通解，常系数线性齐次方程的通解，则则 前面我们介绍了下面的定理面：前面我们介绍了下面的定理面：因此求二阶常系数线性非齐次方程通解的一般步骤为：因此求二阶常系数线性非齐次方程通解的一般步骤为：(1)求常系数线性齐次方程求常系数线性齐次方程 y +p y +q y=0 的线的线性无关的两个特解性无关的两个特解 y1 与与 y2，得该方程的通解得该方程的通解(2)求常系数线性非齐次方程求常系数线性非齐次方程 y +p y

3、+q y=f(x)的一个特解的一个特解 y*.那么，方程的通解为那么，方程的通解为 y=Y+y*.Y=C1 y1+C2 y2.下面只介绍当非齐次项下面只介绍当非齐次项f(x)取以下两种特殊的函取以下两种特殊的函数形式时，如何求特解：数形式时，如何求特解：)(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程对应齐次方程,0 qyypy通解结构通解结构,*yYy 其中其中.)(次次多多项项式式的的是是是是常常数数，mxxPm 难点难点：如何求特解？如何求特解？方法方法：待定系数法待定系数法.)()(xPexfmx 一、一、型型设非齐方程特解为设非齐方程特解为xexQy)

4、(代入原方程代入原方程)()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm 不是特征方程的根，不是特征方程的根，若若)1(,02 qp ),()(xQxQm 可可设设是特征方程的单根，是特征方程的单根，若若)2(,02 qp ,02 p),()(xxQxQm 可可设设;)(xmexQy ;)(xmexxQy 是特征方程的重根，是特征方程的重根，若若)3(,02 qp ,02 p),()(2xQxxQm 可设可设综上讨论综上讨论,)(xQexymxk 设设 是重根是重根是单根是单根不是根不是根2,10k注意注意上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性阶常系数非齐次线性微分方程（微分方

5、程（k是重根次数）是重根次数）.)(2xmexQxy 特别地特别地xAeqyypy 是是特特征征方方程程的的重重根根是是特特征征方方程程的的单单根根不不是是特特征征方方程程的的根根 xxxexAxepAeqpAy222,2,例例 1求方程求方程 y +y +y=2e2x 的一个特解的一个特解.解解a a=2 它不是特征方程它不是特征方程 r2+r+1=0 的根，的根，取取 k=0，,e2*xBy 则则,e2*2xBy ,e4*2xBy 代入方程，得代入方程，得故原方程的特解为故原方程的特解为.e72*2xy 所以，设特解为所以，设特解为.B72 提示 因为f(x)Pm(x)ex3x1 0不是特

6、征方程的根 所以非齐次方程的特解应设为 y*b0 xb1 把它代入所给方程 得 例2 求微分方程y2y3y3x1的一个特解 解 齐次方程y2y3y0的特征方程为r22r30 比较两端 x 同次幂的系数 得 b01 因此所给方程的特解为31*xy b0 xb12b0 xb13b0 xb13b0 x2b03b1 2b03b0 x3b1 3b0 x2b03b13x1 提示 3b03 2b03b11 x 同次幂的系数 得 b01 311b 特解形式.232的的通通解解求求方方程程xxeyyy 解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程,0232 rr特征根特征根，2121 rr,221xxe

7、cecY 是单根，是单根，2 ,)(2xeBAxxy 设设代入方程代入方程,得得xABAx 22,121 BAxexxy2)121(于是于是原方程通解为原方程通解为.)121(2221xxxexxeCeCy 例例3 3型型二二、sin)(cos)()(xxPxxPexfnlx sincos)(xPxPexfnlx 22jeePeePexjxjnxjxjlx xjnlxjnlejPPejPP)()()22()22(,)()()()(xjxjexPexP ,)()(xjexPqyypy 设设,)(1xjmkeQxy 利用欧拉公式利用欧拉公式,)()(xjexPqyypy 设设,)(1xjmkeQx

8、y xjmxjmxkeQeQexy ,sin)(cos)()2()1(xxRxxRexmmxk 次多项式，次多项式，是是其中其中mxRxRmm)(),()2()1(nlm,max,10 是单根是单根不是根不是根jjk注意注意上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程阶常系数非齐次线性微分方程.sin4的的通通解解求求方方程程xyy 解解对应齐方通解对应齐方通解,sincos21xCxCY 作辅助方程作辅助方程,4jxeyy ,是单根是单根j ,*jxAxey 故故代入上式代入上式,42 Aj,2jA ,)cos2(sin22*jxxxxjxeyjx 所求非齐方程特解为所求非齐

9、方程特解为,cos2xxy 原方程通解为原方程通解为.cos2sincos21xxxCxCy （取虚部）（取虚部）例例4 4.2cos的的通通解解求求方方程程xxyy 解解对应齐方通解对应齐方通解,sincos21xCxCY 作辅助方程作辅助方程,2 jxxeyy ,2 不是特征方程的根不是特征方程的根j ,)(2*jxeBAxy 设设代入辅助方程代入辅助方程 13034ABAj,9431jBA ，,)9431(2*jxejxy 例例5 5)2sin2)(cos9431(xjxjx 所求非齐方程特解为所求非齐方程特解为,2sin942cos31xxxy 原方程通解为原方程通解为.2sin942

10、cos31sincos21xxxxCxCy ,)2sin312cos94(2sin942cos31jxxxxxx （取实部）（取实部）注意注意xAexAexx sin,cos.)(的的实实部部和和虚虚部部分分别别是是xjAe 三、小结可以是复数）可以是复数）(),()()1(xPexfmx);(xQexymxk ,sin)(cos)()()2(xxPxxPexfnlx ;sin)(cos)()2()1(xxRxxRexymmxk (待定系数法待定系数法)只含上式一项解法只含上式一项解法：作辅助方程作辅助方程,求特解求特解,取取特解的实部或虚部特解的实部或虚部,得原非齐方程特解得原非齐方程特解.思考题思考题写出微分方程写出微分方程xexyyy228644 的待定特解的形式的待定特解的形式.思考题解答思考题解答设设 的特解为的特解为2644xyyy *1yxeyyy2844 设设 的特解为的特解为*2y*2y*1*yy 则所求特解为则所求特解为0442 rr特征根特征根22,1 rCBxAxy 2*1xeDxy22*2（重根）（重根）*2y*1*yy CBxAx 2.22xeDx