没有深入的思维过程 就不会有深刻的理解

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1、没有深入的思维过程 就不会有深刻的理解谈在闭区间上二次函数的最值问题(浙江省 2004 年高中数学教学案例评比三等奖) 浙江省南海实验学校 何金朝 摘要：教学中，许多教师往往比较重视将教科书上的知识教给学生，忽视让学生领略知识 的发生发展和深入过程，造成学生被动、机械、肤浅地获得知识，于是只好通过“题海战 术”来提高学生成绩，加大了学生的学习负担，这不利于学生的学习心理发展，也与国家 的素质教育政策相违背。为转变学生的学习方式和教师的教学方式，本文从一个教学案例 出发，分析学生对获取知识为何没有深入思维，又怎样深入思维，师生如何配合，知识如 何迁移巩固等等，提出自己的一些看法。关键词：思维过程

2、、深刻理解。一、主题心理学理论认为：知识的获得是一种学生主动的认知活动，学习者不应该是信息的被 动接受者，而应该是知识获取过程的参与者。素质教育是以人的发展为本的教育，教育的 一切活动都必须以促进学生身心素质的全面和谐发展为出发点和归宿。素质教育要求我们 必须确立学生主体观和主动全面发展观，促进学生主动参与，深入思维，以获取真正 的理解。二、背景学生在学习完二次函数基本性质知识以后，对于解含有参数的二次函数的最值问题总 感到有些困惑。由此，本文借助“在闭区间上求二次函数的最值”这一案例，分析学生为 什么总感到困惑，原因在哪里？又如何让学生真正掌握求含有参数的二次函数的最值。三、情境描述1、提出

3、问题教师：例1:已知函数f (x)= x 2 + 2 x + 2，当x c, t +1时，求函数/ (x)的最 大值和最小值。此时大多数学生的脸上都有些困惑，等待教师下文，少许同学互相轻声讨论，极少数 同学已开始动笔。2、理解问题(等了几分钟后)教师看到这种情况，于是在黑板上画这个二次函数的图象，一边提 示：根据x的定义域取值范围是一个可以移动的单位长度，当这个单位长度从对称轴的左 侧、包含对称轴、再到对称轴的右侧，函数的最大值和最小值就可以由图象性质分别相应 求出。一边在黑板上画出相应的图象：3、解决问题 此时，下面学生的讨论热闹起来。看到这种情况，教师请一位同学来回答。但是，这 位同学却回

4、答不出。于是，教师提示：(一边在函数图象对称轴的左侧用彩色粉笔画出定 义域区间k t+1部分的图象。教师问：当t+1 -1时，学生 1 答：左侧。教师问：那么f(x)的最大值是多少？学生 3 答： f (t) 。教师问：f(x)的最小值是多少？学生 4 答： f(t +1)。由此，教师在黑板上写上：当t+1 -1时，f (x) = f(t),f(x)= f (t + 1)max min教师问：当t 1 1，即 t 2 时，f (x)= f (t +1), f (x) = f (1) o2 2 max教师在分析的同时，一边在黑板写下过程。教师再问：当t 1时，f (x)的最大值和最小值又是多少呢

5、？(一边在黑板上用彩色粉笔画出相应的一段图象。)学生6答：f (x)的最大值是f (t + 1)，f (x)的最小值是f (t)。四、分析与讨论1、课后的调查与分析 课后，首先我问了这个班级的入学成绩情况，发现成绩一般。接下来，我随机找了10位同学进行书面调查，我给出几个问题请他们回答。 问题 1：教师给出题目后，你遇到了哪些困难？心理是怎样想的？8位同学回答：定义域中含t，不知怎样入手。两位同学回答：定义域中含t较为麻 烦，最值可能与对称轴有关，但不知怎样解题。从同学们的回答可知，学生对含参数的题 目往往感到难以入手。因此，最好先来一题定义域是定值的题目，让学生打开思路。这符 合人的认知规律

6、。问题 2：二次函数求最值，要考虑哪些因数？4位同学回答：对称轴，口(即台耳塔)。6位同学回答：开口方向，对称轴，口(即 台耳塔)。其实，求二次函数最值，我们应考虑的是定义域、开口方向和对称轴。其中， 确定开口方向和对称轴，目的是确定单独性。而与 (即台耳塔)无关。从同学们的回答 知道，求二次函数最值的思路还不清楚。问题 3：这个定义域是动区间，在教师讲解前，你知道如何移动动区间便于求最值？9 位同学回答：不知道。 1 位同学回答：从左到右。可见，同学们对于动区间求最值， 基本没思路。这正是教师必须要重点分析、讲解的地方。问题 4：定义域是动区间，求最值，以什么标准分类？为什么？ 10位同学都

7、答：对称轴。至于为什么， 8位同学答得不正确，其中2位答：位于对称 轴的不同侧，单调性不同。同学们的回答，说明大多数学生只是听懂教师的讲解过程，却 没有掌握知识。问题5：当t 1 t + 1，求最大值时，为什么还要分类讨论?9位同学答的都不正确，只有一位同学答：当 1 t + 1，最大值不能确定。但我把这位同学叫来问他为什么“最大值不能确定”时，他却答不清楚。可见，所以然学生还 是没有完全掌握。这个问题的解决，应是这节课的重点和难点。2、教学方法的反思 从课后的调查来看，这是一个典型的“灌输法”教学课案。对于初中升高中入学比例 很高的的今天，大家所教的学生，其成绩大多是一般的多。怎样让学生深入

8、思维，充分参 与理解过程，就显得特别重要。为此，我把这节课大致设计如下：1、提出问题（略）2、理解问题解题的过程是实现解决目标的运动过程，首先要让学生学会从理解题意中捕捉有用的（1）教师教师教师 难在哪?教师引发学生提问你做过这样的题目吗?从题目本身你可获取那些信息?上述信息与要解决的问题之间有什么联系?如果你还感到有困难，试问自己困不妨设法把问题的难度降下来，去想一个与它类似且熟悉的问题，如已知闭区 间上的最值，谁能试试?（2）问题留给学生教师：你们不妨自己取定一个闭区间，求一下函数的最值。教师：归纳出求二次函数在已知闭区间上的最值的规律?通过在不同位置的闭区间上求最值，学生的思维被打开。利

9、用已知闭区间的图象，同 学们可以发现，函数的最值与闭区间、对称轴的位置有关。当对称轴不在闭区间内时，原 二次函数的最值不能取到，这时需利用函数的增减性求最值；当对称轴在闭区间内时，原 二次函数的最值能取到，还要比较闭区间端点处的函数值的大小。上述学习过程使学生形成了稳定清晰的知识结构，为学生原有知识和要解决的例1 之 间搭起了知识桥梁。（3）集体研讨问题探究是研讨的基础，研讨是探究的深化。教师在经历了学生上述不寻常的学习过程后，学生完全有能力通过自主建构做出他们的数学，关键在于教师能否将问题留给自己的学生。教师可利用计算机大屏幕演示1在不同位置时的函数最值的变化情况，引导学生的思维朝着成功的方

10、向迈进。此时学生容易在图中找到答案。但对t, t + 1的中点2t+12表述学生问题肯定较多。可让学生再充分讨论，且让学生多次碰壁，最后归纳出：2t +11即t 1，即t 2 时，f(x)= f(t +1),f(x) = f(l)。2 2 max学生需要从这种有意义的学习过程中获得能力，需要在群体中进行交流，从中获得对 事物的理性认识，丰富认知体验，提高认知水平。3、迁移问题为了巩固知识，还得对知识进行迁移应用。教师：(给出例2)已知函数f (x) = x2 2ax+2,(x e R)，当x *h,2 时，求函数的最大值和最小值。教师：你能象解例1一样试着给自己提出问题吗？哪怕是一个念头，也不

11、要放过，它 很可能是问题解决的突破口，问题解决的关键在于我们有没有解决问题的积极态度。教师的这番话，意在激发学生的学习自主性，调动学生的潜能，促使学生提出问题， 并展开积极的讨论。由于学生在例1的学习活动中已获得了知识、技能和解题方法，完善了已有认知结构， 对例 2 的研究有着重要影响。这时教师可引导学生去发现例2、例1的变化，促使学生对 原有认知结构进行改造，这样既求解了例2，同时又培养了学生的迁移能力。4、归纳问题教师提出问题： 在例 1、例 2 的解题过程中你遇到了哪些困难，是怎样解决的？出现了什么错误，错因在哪 ？收获最大的是什么？ 求二次函数的最值一般有几种情况，解题规律是什么？ 请

12、你编一道求二次函数最值的题目。(作业) 解题过程中应如何向自己提出问题，如何将未知的问题向已知的问题转化，？总之，这节解题教学课，学生从最原始的零星、片段的感觉，模糊而笼统的印象，直 到最终形成抽象的形式体系，通过不断的反思，在意识中建立起不同阶段的思维对象，随 着认知过程的不断深入，对数学概念的掌握与获得能力得到不断提高。3、对研究性学习的思考建构主义学习理论强调以学生为中心，不仅要求学生由外部刺激的被动接受者转变为 知识意义的主动建构者，而且要求教师由知识的传授者、灌输者转变成为学生主动建构意 义的帮助者、促进者和合作者。这就意味着教师要在教学过程中采取全新的教学结构和模 式，摒弃以教师为

13、中心，单纯强调以知识传授，把学生作为知识灌输对象的传统教学模式。学生蕴藏着巨大的智慧和力量，教师的任务就是唤起他们的学习兴趣，点燃他们智慧 的火花，释放他们实践的能量。也感触到在今后的教学中，要转变教育观念，切实提高教 学质量，要让学生感受、理解知识产生和发展过程，培养学生的科学精神和创新思维的习 惯，要重视学生收集处理信息的能力，获取新知识的能力，分析和解决问题的能力和表达 能力。在对研究性学习教学的探索中，不但学生们在学会学习的实践中有所感悟、有所体 验、有所提高，使学生获得前所未有的发展；而且也锻炼了我们教师，在“研究性学习” 中，教师将遇到自己从未思考过、甚至从未见过新问题。教师的素质在实践中将得到有效 的提高。“创新是民族的灵魂”，让我们从课堂上做起！