热力学统计物理课后答案

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1、第一章 热力学的基本规律1.1试求理想气体的体胀系数a ,压强系数0和等温压缩系数K 。T 解：已知理想气体的物态方程为pV = nRT,（ 1）由此易得2)34)nRpVT(1 (nRT丿 V丿 p 2丿1nRp 0pV1 ( a V1V I dp丿V1.2证明任何一种具有两个独立参量T,p的物质，其物态方程可 由实验测得的体胀系数a及等温压缩系数K，根据下述积分求得：TlnV = J （adT - k dp ）T如果a =丄,k =丄，试求物态方程。T T p解：以T, p为自变量，物质的物态方程为V = V（T, p）,其全微分为dV =(耳 dT + (空dp.(1)IdT 丿dp 丿

2、“pT全式除以 V ，有dp.根据体胀系数和等温压缩系数k的定义，可将上式改写为上式是以T, p为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有3)lnV = J (adT-k dp).T若a=丄,k =丄，式(3)可表为 T T p.(11)lnV = J - dT dp .ITp丿选择图示的积分路线，从(T , p )积分到(T,00P。)，再积分到(T4)p )，相应地体常量)，5)积由V最终变到V，有0.V . Tpln =ln 一 lnV Tp0 0 0即pV p V0 0T T0pV CT.式就是由所给a = T, k7 = 1求得的物态方程。确定常量C需要进一步的实验数据。1.8

3、满足 pVn =C 的过程称为多方过程，其中常数 n 名为多方指数。 试证明：理想气体在多方过程中的热容量C为nn VC = - Cn n - 1 V解：根据式（1.6.1），多方过程中的热容量1）C = lim 程=进+ p匸.-AT01 AT 丿 1st 丿 1st 丿 nnn对于理想气体，内能U只是温度T的函数，黑=C ,（ST丿Vn所以C = C+ p 他nV2）将多方过程的过程方程式 pV压强 p 可得ST丿n将上式微分，TV n-1 = C1常量）。3）= C 与理想气体的物态方程联立，消去Vn-idT + (n - 1)Vn - 2TdV = 0,所以4）SV = VST 丿=-

4、(-i)tn代入式（2），即得5）=C - = 口C ,VT(n -1)n -1 V其中用了式（1.7.8）和（1.7.9）。1.9试证明：理想气体在某一过程中的热容量C-如果是常数，该过程一定是多方过程，多方指数n=C-C。假设气体的定压热容 C - CnV量和定容热容量是常量。解：根据热力学第一定律，有dU 二 dQ + dw.对于准静态过程有dw 二一pdV,对理想气体有dU = C dT,V 气体在过程中吸收的热量为因此式(1)可表为dQ 二 C dT,n(C -C )dT 二 pdV.(2)nV用理想气体的物态方程pV二vRT除上式，并注意C - C = vR,可得pdTdV(C -

5、 C )二(C - C ).n V T p V V将理想气体的物态方程全式求微分，有dp dV dT+ = .p V T式(3)与式(4)联立，消去旦，有T(C - C )dp + (C - C )空=0.n V p n p V令n二C -Cp，可将式(5)表为C - CnV3)4)5)dp dV+ n = 0. p V如果 C , C 和 C 都是常量，将上式积分即得 p VnpVn 二 C (常量)。式(7)表明，过程是多方过程。6)7)1.12假设理想气体的C和C之比Y是温度的函数，试求在准静态pV绝热过程中T和V的关系，该关系式中要用到一个函数F(T)，其表达 式为lnF (T) =

6、fdT(Y - 1)T解：根据式(1.8.1)，理想气体在准静态绝热过程中满足将上式积分，如果y是温度的函数，定义lnF (T) = J1 dTT-1 T2)3)456)yTvlVTVC dT + pdV 二0.(I)V用物态方程 pV 二 nRT 除上式，第一项用 nRT 除，第二项用 pV 除，可 得C dT dVV +-nRT V利用式(1.7.8)和(1.7.9)，C - C = nR,pVCC =YV可将式(2)改定为丄dT+空=0. y -1 T V可得lnF(T) + lnV 二 C (常量),1或F (T)V 二 C (常量)。式(6)给出当y是温度的函数时，理想气体在准静态绝

7、热过程中T 和 V 的关系。1.13利用上题的结果证明：当y为温度的函数时，理想气体卡 诺循环的效率仍为耳二1 - 2.T1解：在y是温度的函数的情形下，1.9就理想气体卡诺循环得 到的式(1.9.4)(1.9.6)仍然成立，即仍有Q 二 RTln11Q 二 RT ln22W 二 Q - Q 二 RTln V2- RT In121 V2 V14根据 1.13 题式（ 6 ），对于 1.9 中的准静态绝热过程（二）和4)56)（四），有F (T )V 二 F (T )V ,1 22 3F (T )V 二 F (T )V,2 41 1从这两个方程消去F(T)和F(T )，得 12VV14W 二 R

8、（T -T ）lnZ,（7）12 V18)所以在丫是温度的函数的情形下，理想气体卡诺循环的效率仍为WTr =1 t.Q T111.14 试根据热力学第二定律证明两条绝热线不能相交。解：假设在 p-V 图中两条绝热线交于 C 点，如图所示。设想一 等温线与两条绝热线分别交于A点和B点（因为等温线的斜率小于绝热线的 斜率，这样的等温线总是存在的），则在循环过程ABCA中，系统在 等温过程ab中从外界吸取热量Q，而在循环过程中对外做功W，其 数值等于三条线所围面积（正值）。循环过程完成后，系统回到原来 的状态。根据热力学第一定律，有W 二 Q。这样一来，系统在上述循环过程中就从单一热源吸热并将之完全

9、转 变为功了， 这违背了热力学第二定律的开尔文说法，是不可能的。 因此两条绝 热线不可能相交。1.17温度为0oC的1kg水与温度为iooc的恒温热源接触后， 水温达到100oC。试分别求水和热源的熵变以及整个系统的总熵变。 欲使参与过程的整个系统的熵保持不变，应如何使水温从 ooc 升至 100oC ?已知水的比热容为4.18J-g-1 -K-1.解：0oC的水与温度为100oC的恒温热源接触后水温升为100oC， 这一过程是不可逆过程。为求水、热源和整个系统的熵变，可以设 想一个可逆过程，它使水和热源分别产生原来不可逆过程中的同样 变化，通过设想的可逆过程来求不可逆过程前后的熵变。为求水的

10、熵变，设想有一系列彼此温差为无穷小的热源，其温 度分布在0oC与100oC之间。令水依次从这些热源吸热，使水温由0oC 升至100oC。在这可逆过程中，水的熵变为AS =1 373 mCpdT = mc ln373 = 103x4.18xln373 = 1304.6J-k-1.（1）水 273 T p 273273水从0oC升温至100oC所吸收的总热量Q为Q = mc AT = 103 x 4.18x100 = 4.18x105 J. p为求热源的熵变，可令热源向温度为 100oC 的另一热源放出热量Q。在这可逆过程中，热源的熵变为AS热源4.18 x 105373=-1120.6J K-1

11、.2）由于热源的变化相同，式（2）给出的熵变也就是原来的不可逆过程中热源的熵变。则整个系统的总熵变为AS =AS +AS = 184J - K-1.（3）总水 热源为使水温从0oC升至100oC而参与过程的整个系统的熵保持不 变，应令水与温度分布在0oC与100oC之间的一系列热源吸热。水的 熵变aS%仍由式（1）给出。这一系列热源的熵变之和为水aS% =-i热源373皿严273 T= -1304.6J - K-1.参与过程的整个系统的总熵变为aS% =aS% +aS% = o.总 水 热源4)5)1.19 均匀杆的温度一端为 T ，另一端为 T ，试计算达到均匀温12度1 (t + T)后的

12、熵增。2 1 2 解：以L表示杆的长度。杆的初始状态是l = 0端温度为T，l = L2端温度为T，温度梯度为(设T T)。这是一个非平衡状1L12态。通过均匀杆中的热传导过程，最终达到具有均匀温度1 (t + T )2 1 2的平衡状态。为求这一过程的熵变，我们将杆分为长度为dl的许多1)小段，如图所示。位于l到l+dl的小段，初温为T = T +1.2 L这小段由初温T变到终温1(T + T )后的熵增加值为T + TT 22T - TT + -1_2 l2 L2 1 2dS = c dl J 牛 dT = c dllnl p T T p其中 c 是均匀杆单位长度的定压热容量。根据熵的可加

13、性，整个均匀杆的熵增加值为AS = f dSl=c JLp0A T + TIn i2r2r2dlT +T c=c L InT 2 pp 2 T T1 2LT +T c L=c Lin t_2 p(T InT T InT T + T 丿p 2 T T 112212121 T + T T in T T in T 八2T T丿122rr22T T八t2 l2 L丿Z T T八T + l2 L丿03）式中C = c L是杆的定压热容量。pp1.21物体的初温t，高于热源的温度T，有一热机在此物体与12热源之间工作，直到将物体的温度降低到T为止，若热机从物体吸 2取的热量为Q,试根据熵增加原理证明，此热

14、机所能输出的最大功 为W =QT（S S ） max 2 1 2 其中 S S 是物体的熵减少量。12解：以AS , AS和AS分别表示物体、热机和热源在过程前后的 a bc熵变。由熵的相加性知，整个系统的熵变为AS = AS +AS +AS . abc 由于整个系统与外界是绝热的，熵增加原理要求AS =AS +AS +AS 0.（1）abc以S , S分别表示物体在开始和终结状态的熵，则物体的熵变为 12AS =S S.（2）a 2 1 热机经历的是循环过程，经循环过程后热机回到初始状态，熵变为零，即AS = 0.（3）b以Q表示热机从物体吸取的热量，表示热机在热源放出的热量，W 表示热机对

15、外所做的功。 根据热力学第一定律，有Q = Q+W,所以热源的熵变为AS 二 0 二 QzW. c T T 22 将式（2）（4）代入式（1），即有S - S + QW 0.21 T2 上式取等号时，热机输出的功最大，故W = Q - T （s - S ）.max 2 1 2式（6）相应于所经历的过程是可逆过程4)56)1.22 有两个相同的物体，热容量为常数，初始温度同为 T 。 i 今令一制冷机在这两个物体间工作，使其中一个物体的温度降低到 T 为止。假设物体维持在定压下，并且不发生相变。试根据熵增加Wmini + T 2T2 原理证明，此过程所需的最小功为解：制冷机在具有相同的初始温度T

16、的两个物体之间工作，将 i热量从物体2送到物体1,使物体2的温度降至T为止。以T表示物 21体 1 的终态温度， C 表示物体的定压热容量，则物体 1 吸取的热量 pQ = C (T - T )1 1 （1）1p1i物体 2 放出的热量为Q = C(T - T )（22p i2经多次循环后，制冷机接受外界的功为W = Q - Q = C(T + T - 2T )（3）12 p 12 i由此可知，对于给定的 T 和 T ， T 愈低所需外界的功愈小。i21用AS , AS和AS分别表示过程终了后物体1，物体2和制冷机的1 2 3 熵变。由熵的相加性和熵增加原理知，整个系统的熵变为显然AS 二 A

17、S +AS +AS 0123AS 二 C In T1,1 p TiAS = C In T2,2 p TiAS = 0.3因此熵增加原理要求AS = C In 0,p T 2i-1-2 1,T 2i对于给定的T和T，最低的T为i 2 1 T2T =亠i T2 代入（3）式即有Wmin=CpT2+ + T - 2TT 2 i25)67)式（7）相应于所经历的整个过程是可逆过程。1.23简单系统有两个独立参量。如果以T, S为独立参量，可 以以纵坐标表示温度T，横坐标表示熵S，构成T-S图。图中的一 点与系统的一个平衡态相对应，一条曲线与一个可逆过程相对应。 试在图中画出可逆卡诺循环过程的曲线，并利

18、用 T-S 图求可逆卡诺 循环的效率。解： 可逆卡诺循环包含两个可逆等温过程和两个可逆绝热过程。在T - S图上，等温线是平行于 T 轴的直线。 可逆绝热过程是等熵过程，因 此在t-S图上绝热线是平行于S轴的直线。图1-5在T-S图上画出 了可逆卡诺循环的四条直线。（一）等温膨胀过程工作物质经等温膨胀过程（温度为T）由状态I到达状态II。1由于工作物质在过程中吸收热量，熵由 S 升为 S 。吸收的热量为12Q = T（S - S ）,（1）1 1 2 1Q等于直线III下方的面积。1（二）绝热膨胀过程工作物质由状态II经绝热膨胀过程到达状态III。过程中工作物 质内能减少并对外做功，其温度由T

19、下降为T，熵保持为S不变。1 2 2（三）等温压缩过程工作物质由状态III经等温压缩过程（温度为T）到达状态W。2工作物质在过程中放出热量，熵由 S 变为 S ，放出的热量为21Q = T（S -S ）,（2）2 2 2 1Q等于直线IIIW下方的面积。2（四）绝热压缩过程工作物质由状态W经绝热压缩过程回到状态I。温度由T升为2T ，熵保持为 S 不变。11在循环过程中工作物质所做的功为W 二 Q -Q ,（3）12W等于矩形IIIIIIW所包围的面积。可逆卡诺热机的效率为W 1 QT（S -S ）T（4）Q QT（S - S 丿T1 1 1 2 1 1上面的讨论显示，应用T S图计算（可逆）

20、卡诺循环的效率是 非常方便的。实际上T S图的应用不限于卡诺循环。根据式（1.14.4）dQ 二TdS,（5）系统在可逆过程中吸收的热量由积分给出。如果工作物质经历了如图中ABCDA的（可逆）循环过程，则 在过程 ABC中工作物质吸收的热量等于面积ABCEF，在过程CDA中工作物质放 出的热量等于面积ADCEF，工作物质所做的功等于闭合曲线ABCDA 所包的面积。 由此可见（可逆）循环过程的热功转换效率可以直接从T -S图中的面积读出。在热工计算中T-S图被广泛使用。补充题1 lmol理想气体，在27oC的恒温下体积发生膨胀，其压 强由20p准静态地降到1 p，求气体所作的功和所吸取的热量。n

21、n解：将气 体的 膨胀过程近似看作准静态过程。 根据式 （1.4.2），在准静态等温过程中气体体积由V膨胀到V，外界对气体所做的功为ABW 二-JVB pdV 二-RTJVB dVVaVa VV=RTln bA=RTln -PA. pB气体所做的功是上式的负值，将题给数据代入，得-W 二 RTln = 8.31 x 300xln20 二 7.47 x103J.pB 在等温过程中理想气体的内能不变，即AU = 0.根据热力学第一定律（式（1.5.3），气体在过程中吸收的热量q为Q 二-W 二 7.47 x 103J.补充题2在25oC下，压强在0至1000p之间，测得水的体积nV = (18.0

22、66一0.715 x 10-3p + 0.046xlO-6p2)cm3 -mol-1如果保持温度不变，将lmol的水从1 p加压至1000 p，求外界所作nn 的功。解：将题中给出的体积与压强关系记为V = a + bp + cp 2,由此易得1）dV = （b + 2cp）dp.（2）保持温度不变，将1mol的水由1 p加压至1000p，外界所做的功为nnW = -J*vb pdV = -JVApAp(b + 2cp)dp =(2 bp2 +1 cp3)10001=33.1J - mol-1.在上述计算中我们已将过程近拟看作准静态过程。补充题3承前1.6题，使弹性体在准静态等温过程中长度由l

23、压缩为仕，试计算外界所作的功。解：在准静态过程中弹性体长度有dL的改变时，外界所做的功 是dW = JdL.（1）将物态方程代入上式，有厂 L L2 、dW = bT 0 dL.（2）lL0匕丿在等温过程中 L 是常量，所以在准静态等温过程中将弹性体长度由0L压缩为L时，外界所做的功为0 2W = J ? JdL = bT J 了L0L0L、dL= bTL02L0L0值得注意，不论将弹性体拉长还是压缩，外界作用力都与位移同 向，外界所做的功都是正值。补充题4在OoC和1 p下，空气的密度为1.29kg m-3，空气的定n压比热容C = 996J-kg-1 -K-1, Y = 1.41。今有27

24、m 3的空气，试计算：p(i) 若维持体积不变，将空气由OoC加热至20oC所需的热量。(ii) 若维持压强不变，将空气由OoC加热至20oC所需的热量。(iii) 若容器有裂缝，外界压强为1 p，使空气由OoC缓慢地n加热至20oC所需的热量。解：(a)由题给空气密度可以算27m 3得空气的质量m为1m 二 1.29 x 27 二 34.83kg.1定容比热容可由所给定压比热容算出e0.996 x103e =-p = 0.706 x103j kg-1 K-1.V y1.41维持体积不变，将空气由0oC加热至20oC所需热量Q为V Q = m e (T - T )V1 V 21=34.83x0

25、.706x103x20=4.920 x105 J.(b)维持压强不变，将空气由0oC加热至20oC所需热量q为pQ = me (T 一T)p 1 p 21二 34.83 x 0.996 x 103 x 20二 6.93 8 x 105 J.(c)若容器有裂缝，在加热过程中气体将从裂缝漏出，使容器内空气质量发生变化。根据理想气体的物态方程m+m +为空气的平均摩尔质量，在压强和体积不变的情形下，容器内气 体的质量与温度成反比。 以 m , T 表示气体在初态的质量和温度，11m 表示温度为 T 时气体的质量，有mT = mT, 11 所以在过程(c)中所需的热量Q为Q = c JT2 m(T)d

26、T - mTc J码=mTc ln-2p T1 1 p T T 1 1 p T1 1 1 将所给数据代入，得Q = 34.83 x 273 x 0.996 x103ln 293273=6.678 xlO5 J.补充题 5 热泵的作用是通过一个循环过程将热量从温度较低的 物体传送到温度较高的物体上去。 如果以逆卡诺循环作为热泵的循 环过程，热泵的效率可以定义为传送到高温物体的热量与外界所做 的功的比值。试求热泵的效率。 如果将功直接转化为热量而令高温 物体吸收，则“效率”为何？解：根据卡诺定理，通过逆卡诺循环从温度为T的低温热源吸取2热量Q，将热量Q送到温度为T的高温热源去，外界必须做功2 1

27、1W = Q - Q .12因此如果以逆卡诺循环作为热泵的过程，其效率为耳=1 =Q1TT= 1 = 1 + 2 (1)WQ - Q12T - TT -T1 2 1 2式中第三步用了Q T1 = 1Q T22的结果（式（1.12.7）和（1.12.8）。由式（1）知，效率耳恒大于1。如果T与-相差不大，耳可以相当高。不过由于设备的价格和12运转的实际效率，这种方法实际上很少使用。将功直接转化为热量（如电热器），效率为 1。补充题 6 根据熵增加原理证明第二定律的开氏表述：从单一热 源吸取热量使之完全变成有用的功而不引起其它变化是不可能的。 解：如果热力学第二定律的开尔文表述不成立，就可以令一热机在循环过程中从温度为T的单一热源吸取热量Q，将之全部转化为机械功而输出。热机与热源合起来构成一个绝热系统。在循环过程中，热源的熵变为 Q，而热机的熵不变，这样绝热系统的熵就减少T了，这违背了熵增加原理，是不可能的