立体几何知识点归纳

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1、一、立体几何知识点归纳第一章 空间几何体一空间几何体的构造特征1多面体由假设干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共 边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。旋转体把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中，这条定直线称为旋转体的轴。2柱，锥，台，球的构造特征有两个面互相平行，其余各面都是四边形， 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由 这些面所围成的几何体叫做棱柱。棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱的关系：I斜棱柱棱柱棱垂直于底面直棱柱底面是正形正棱柱其他棱柱四棱柱I底面为平行四边形I平行六面体侧棱垂直于底面直平行六面体底面

2、为矩形长方体底面为正方形I正四棱柱卜侧棱与底面边长相等正方体 侧棱都相等，侧面是平行四边形; 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； 直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。1.4 长方体的性质： 长方体一条对角线长的平方等于一个顶 点 上 三 条 棱 的 平 方 与 ；【 如 图 】AC 2 二 AB2 + AD2 + AA 211AB 了解长方体的一条对角线AC与过顶点A的三条棱所成的角分别是a,卩，Y，那么cos2 a + cos2 P + cos2 丫 = 1sin2 a + sin2 P + sin2 丫 = 2 ；1 了解长方体的一条

3、对角线AC与过顶点A的相邻三个面所成的1sin2 a + sin2 P + sin2 y = 1.角分别是a, P，丫，那么 cos2 a + cos2 P + cos2 丫 = 2，:正n棱柱的侧面展开图是由n个全等矩形组成的以底面周长与侧 棱长为邻边的矩形.S二 c h1.6 面积、体积公式： 直棱柱侧其中 c 为S= c - h + 2S , V = S - h直棱柱全 底 棱柱 底底面周长，h为棱柱的高以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.2.2柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面轴截面是全等的矩形.2.3侧面展开图：圆柱的侧

4、面展开图是以底面周长与母线长为邻边的矩 形.2.4面积、体积公式其中 r 为底面S圆柱全=2兀rh + 2兀r2 , V圆柱底兀r2h半径，h为圆柱高AB棱锥有一个面是多边形， 其余各面是有一个公共顶点 的三角形，由这些面所围成的 几何体叫做棱锥。正棱锥如果有一个棱 锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的 棱锥叫做正棱锥。3.2棱锥的性质： 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比； 正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形； 正棱锥中六个元素，即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半，构成四个

5、直角三角形。如上图：SOB,a SOH , SBH , OBH 为直角三角形33侧面展开图：正n棱锥的侧面展开图是有n个全等的等腰三角形 组成的。面积、体积公式：S正棱锥侧=1 ch，S正棱锥全=，V棱锥=.其中c 2为底面周长，h侧面斜高，h棱锥的高以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。4.2 圆锥的性质： 平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截轴截面是等腰三角形；如右图：“AB如右图：12 = h2 + r2.4.3 圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心，以母线长为半径的扇形。4.4 面积、体积公式：面的距离

6、与顶点到底面的距离之比；S圆锥侧=“ rl，S圆锥全=“ r(r +1)，V圆锥=r为底面半径，h为圆锥的高，1为母线长用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的局 部称为棱台.5.2 正棱台的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形； 正棱台的两个底面以及平行于底面的截面是正多边形； 如右图：四边形O、MNO,O、B、BO都是直角梯形 棱台经常补成棱锥研究 .如右图：SOM与ASO N ,SO与ASO B相似，注意考虑相似比.53棱台的外表积、体积公式：s =s +s +s侧，v = 1（s+rSS+s、）h，全 上底其中s,S是上，下底面面积，h为棱下底棱台3用平行于圆锥底面

7、的平面去截圆锥，底面与截面之间的局部叫做圆台.6.2圆台的性质：台的高圆台的上下底面，与底面平行的截面都是圆;圆台的轴截面是等腰梯形; 圆台经常补成圆锥来研究。如右图:aSOASOB相似， 注意相似比的应用是一个扇环； 64圆台的外表积、体积公式：5全=兀r2 +兀R2 +兀（R + r）l，V圆台=-Cs+sS + S）h= 1（Kr2 +兀rR +兀R2）h，其中r，R为上下底面半径， 33h 为高7球71球以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.或空间中，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面，球面所围成的 几何体叫做球体，简称球；7.2 球的性质： 球心与

8、截面圆心的连线垂直于截 面；r =；R二d2其中，球心到截面的 距离为d、球的半径为R、截面的半 径为 r7.3 球与多面体的组合体：球与正四面体，球与长方体，球与正方体 等的内接与外切.注：球的有关问题转化为圆的问 题解决.74球面积、体积公式：S = 4兀r2,V = 4兀R3其中R为球的半径 球球 3例:06年福建卷正方体的八个顶点都在球面上，且球的体积为32 “ ,3那么正方体的棱长为二空间几何体的三视图与直观图1. 投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影与斜投影。是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；正视图光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图；侧视

9、图光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图；正视图光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图；注：1俯视图画在正视图的下方，“长度与正视图相等；侧视图画 在正视图的右边，“高度与正视图相等，“宽度与俯视图。简 记为“正、侧一样高，正、俯一样长，俯、侧一样宽.2正视图，侧视图，俯视图都是平面图形，而不是直观图。3.直观图：是观察着站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形。直观 图通常是在平行投影下画出的空间图形。3.2 斜二测法：1：在图形中取互相垂直的轴、即取厶oy = 90。；2:画直观图时，把它画成对应的轴ox,oy，取厶oy = 45（orl35。）,它们确定的平面表示水平平面；3

10、：在坐标系xoy中画直观图时，图形中平行于数轴的线段保持平行 性不变，平行于 x 轴或在 x 轴上的线段保持长度不变，平行于 y 轴或在y轴上的线段长度减半。结论：一般地，采用斜二测法作出的直观图面积是原平面图形面积的 解决两种常见的题型时应注意：1由几何体的三视图画直观图时， 一般先考虑“俯视图.2由几何体的直观图画三视图时，能看见的轮廓线与棱画成实线， 不能看见的轮廓线与棱画成虚线。第二章 点、直线、平面之间的位置关系（一） 平面的根本性质无限延展，无边界与三个推论公理 1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。 用途：常用于证明直线在平面内.图形语言： 符号语言：公理 2：

11、不共线的三点确定一个平面. 图形语言： 推论 1：直线与直线外的一点确定一个平面. 图形语言：推论 2：两条相交直线确定一个平面. 图形语言：推论 3：两条平行直线确定一个平面. 图形语言： 用途：用于确定平面。公理 3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公 共点的集合是一条直线两个平面的交线.用途：常用于证明线在面内，证明点在线上.符号语言：图形语言形语言，文字语言，符号语言的转化：二空间图形的位置关系1. 空间直线的位置关系：1.1 平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号 表述：a / b, b / c n a / c等角定理：如果一个角的两边与另一个角

12、的两边分别平行，那么这两 个角相等或互补。1.3 异面直线：1定义：不同在任何一个平面内的两条直线异 面直线；2判定定理：连平面内的一点与平面外一点的直线与 这个平面内不过此点的直线是异面直线。图形语言：p符号语言：经常把一条异面直线平移到另一条异面直线1.4异面直线所成的角：1范围：9 e(0。,90。 ；2作异面直线所 成的角：平移法.如右图，在空间任取一点 O,过O作a/a,b/b， 那么a,b所成的9角为异面直线a,b所成的角。特别地，找异面直线所成的角时，的特殊点如线段中点，端点等上，形成异面直线所成的角.2. 直线与平面的位置关系：图形语言：平行：a/B3平面与平面的位置关系：丄亠

13、斜交：aB =a相交Q 垂直：a丄B三平行关系包括线面平行，面面平行1.线面平行： 定义：直线与平面无公共点. 判定定理：线线平行n线面平行【如图】 性质定理：线面平行n线线平行【如图】 判定或证明线面平行的依据：订定义法反证：ga = 0nIlla用于判断；判定定理：“线线平行n面面平行用于证明；“面面平行n线面平行用于证明；4用于判断；2线面斜交：g a = A直线与平面所成的角简称线面角：假设直线 与平面斜交，那么平面的斜线与该斜线在平面内A.射影的夹角。【如图】PO丄a于O,那么是在平面a内的射影，那么ZPAO就是直线与平面a所成的角。范围：仁【0。,90。,注：假设l ua或l ll

14、 a，那么直线l与平面a所成的 角为0。；假设l丄a，那么直线l与平面a所成的角为90。3. 面面平行： 定义：a.卩=0na/卩； 判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行；符号表述：a, bua, a.b = O, a / a, b / aa /卩【如以下图】图图推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线那么这两个平面互相平行 符号表述：a,b ua,ap|b = O,a,b u 卩,a/a,b/b na / 卩 【如上图】判定 2：垂直于同一条直线的两个平面互相 平行符号表述：a丄a, a丄Bna / p .【如右 图】 判定与证明

15、面面平行的依据：1定义法；2判定定理及推论常用3判定2 面面平行的性质：1面面平行n线面平行；2；面面平行n线线平行3夹在两个平行平面间的平行线段相等。【如图】四垂直关系包括线面垂直，面面垂直1.线面垂直 定义：假设一条直线垂直于平面内的任意一条直线，那么这条直线垂直于平面。符号表述：假设任意a ua ,都有l丄a，且l ，那么l丄a - 判定定理：线线垂直n线面垂直 性质：1l丄a,auanl丄a线面垂直n线线垂直；2a 丄 a, b 丄 an a / b ； 证明或判定线面垂直的依据：1定义反证；2判定定理常用；3较常用；4；5面面垂直n线面垂直常用； 三垂线定理及逆定理：PI斜线定理：从

16、平面外一点向这个平面所引的垂线段与斜线段中，PO丄a 1斜线相 等o射影相等；2斜线越长o射影越长;3垂线段最短。【如图】PB = PC o OB = OC ；PAPB o OAOB三垂线定理及逆定理：PO丄a，斜线在平面a内的射影为，a ua ,假设a丄OA，那么a丄PA 垂直射影n垂直斜线，此为三垂线定理；假设a丄PA，那么a丄OA垂直斜线n垂直射影，此为三垂线定理的逆定理； 三垂线定理及逆定理的主要应用：1证明异 面直线垂直；2作、证二面角的平面角；3 作点到线的垂线段；【如图】 二面角：1定义：【如图】范围： ZA0B e 0。,180。h D，. 作二面角的平面角的方法：1定义法；2

17、三垂线法常用；3垂面法.3性质：假设a丄卩，二面角的一个平面角为ZMON，那么 ZMON 二 90。；面面垂直n线面垂直;. 二、立体几何常见 型归纳例讲1、概念辨析题：1此题型一般出现在填空题，选择题中，解题方法可采用排除法，筛选法等。2对于判断线线关系，线面关系，面面关系等方面的问题，必须在 熟练掌握有关的定理与性质的前提下，利用长方体，正方体，实 物等为模型来进展判断。你认为正确的命题需要证明它，你认为错误的命题必须找出反例。3相关例题：课本与报纸上出现很多这样的题型，举例说明如下：例：04年北京卷设m, n是两条不同的直线，a,p,y是三个不同的 平面，给出以下四个说法：m丄a, n

18、/an m丄n ； a / p, p / y, m 丄 an m 丄 丫 ： m / a, n /an m / na丄丫, p丄yna / p，说法正确的序号是：2、证明题。证明平行关系，垂直关系等方面的问题。1根底知识网络：平行与垂直关系垂直关系平行关系平面i几何线线平行判判.线面平行卜1. a 丄 a, b 丄 an a / b2a 丄 a,a/b n b 丄 a3. a 丄a,a 丄 P na/p性判定推判平面i几何T线线垂直面面平行面 判， 线面垂直X直面面垂直请根据以上知识网络图，写出相关定理的图形语言与符号语言.2相关例题：例 106 广州市高一质量抽测如右图，在正方体一A1B1C

19、1气中，E、F为棱、的中点.1求证：/平面严；2求证：B D丄平面Ciiii例2.如图，矩形中，10, 6,将矩形沿对角线把折起，使A移到a点,1且A在平面上的射影O恰好在上.1I求证：bc丄AD ；1“求证：平面abc丄平面ABD ；1 1皿求三棱锥a -bcd的体积答案:1V= 48Aj- BCD3、计算题。包括空间角异面直线所成的角，线面角，二面角与空间几何体的外表积、体积的计算。1对于空间角与空间距离的计算，关键是做好“三步曲 ：1:找;2:证；3:计算。解题步骤：一找作：利用平移法找出异面直线所成的角；1可固定一条直线平移另一条与其相交；2可将两条一面直线 同时平移至某一特殊位置。常

20、用中位线平移法二证：证明所找作的角就是异面直线所成的角或其补角。常需要证明线线平行；三计算：通过解三角形，求出异面直线所成的角；求直线与平面所成的角仁【0。,90小关键找“两足：垂足与斜足解题步骤：一找：找作出斜线与其在平面内的射影的夹角注意三垂线定理的应用；二证：证明所找作的角就是直线与平面所成的角或其补角常需证明线面垂直；三计算：常通过解直角三角形，求出线面角。解题步骤：一找：根据二面角的平面角的定义，找作出二面角的平面角；二证：证明所找作的平面角就是二面角的平面角常用定义法，三垂线法，垂面法；三计算：通过解三角形，求出二面角的平面角。2对于几何体的外表积、体积的计算，关键是搞清量与量之间

21、关系, 熟练应用公式进展计算。三视图，求几何体体积。平面图形直观图面 积与原图形面积的互相转化。3相关例题：例1如图，四棱锥p的底面为正方形，丄底面，.求证：1平面丄平面；2求与平面所成的角； 例2个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角 三角形ABO，假设0B 1，那么原 的面积是丿Y A. 1 B总 CdZO 2 B x 2 2pEC例306深圳宝安中学期末考如图，为一个几何体的正视图，侧视图与俯视图为全等的等腰梯形，上、下底边长分别为2，4。俯视图中， 内、均外为正方形，边长分别为2，4，几何体的高为3，求此几何体的外表积与体积。答案S全面积=20+12戶，V棱台28三、训练题/ B1

22、如图，正方体ABCD ABC D中，棱长为a1求证：直线AB /平 面ACD1111112求证：平面acd丄平面BDD ；1 12.如图，棱长为1的正方体占卩D中，第17页A例4如下图，正四棱锥S侧棱长为辽,底面边长为Q , E是的中点,-中，AB丄AC,PA丄平面，且=，点E是的1求证：AC丄PB ；2求证：PB/中点.平面;3假设PA = AB = AC = a ,求三棱锥E一的体积；4求二面角E-D的大小.单元考题那么异面直线与所成角的大小为B(A) 90(C) 45(D) 30例5如图，在底面为平行四边形的四棱锥P(B) 60求证：丄平面BD；求证：丄平面(3)求三棱锥体积.3如图，是正方形，O是正方形的中心，丄底面,E是的中点。求证：1/平面；2丄平面