线性代数自考知识点汇总情况

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1、行列式1. 行列式的性质 性质1行列式与它的转置行列式相等D = DT.性质 2 互换行列式的两行（列），行列式变号.推论 1 如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，则此行列式的值为零.性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式.aaaaaa111213111213如kakaka=kaaa212223212223aaaaaa313233313233推论 2 如果行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式的值为零a b c如 a b c = 0 ka kb kc性质 4的元素都是两数之和，则这个行列式等于两个行列式之和.aaaaaaaaa11121311121

2、3111213a + aa + aa + a=aaa+ aaa21 2122 222323212223212223aaaaaaaaa313233313233313233若行列式的某一行（列）如把行列式的某一行（列）性质 5值不变.的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的aaaaaa111213111213aaa=aaa212223212223aaaa + kaa + kaa + ka313233311132123313如2. 余子式与代数余子式 在n阶行列式中，把元素a所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素a的余子ij ij式，记作M，A = （ 1）

3、mM叫做元素a的代数余子式.ij ijijija11a12a13aa如aaa，兀素a的余子式为M=11122122232323aaaaa3132313233aa元素 a的代数余子式为A=(1)2+3M =1112232323aa31323. 行列式按行（列）展开法则 定理 1 行列式的值等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即D = a A + a A +i1 i1i2 i 2+ a A 或 D = a A + a A + a Ain in 1j 1j2 j 2 j nj nj(i = 1,2, n;j = 1,2 n)aiia12a13如aaa212223aaa31323

4、3=a A +a A +a A11 11 12 12 13 13定理 2 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即+ a A = 0 i 丰 j.nj nj ,a A + a A + a A = 0,或 a A + a A +i1 j1i2 j2in jn1j 1j 2j 2 j(i =1,2, n；j =1,2 n )4. 行列式的计算1）二阶行列式aiiaa12a=a a - a a11 22 12 21aiiaa1213aaa 二aa a + a a a+ a a a-aaa- a a a - a a a2122231122 3312 23 3113

5、 21 321322 3112 21 3311 23 32aaa313233九九11( 3 )对角行列式九2i入九 九，2=（ -1广m-1）九九九12n12n九 九 nnaaaa1111 121naaaa( 4 )三角行列式2122= 22 2n=a aa1122nn aaaa n1n2nnnnaa.aa111,n-11n1naaaan( n-1)212,n -1二2,n-12n=(-1) 2 a aa1n 2,n-1n1 aaaan1 n1n2nn三阶行列式2）21225）消元法：利用行列式的性质，将行列式化成三角行列式，从而求出行列式的值.（6）降阶法：利用行列式的性质，化某行（列）只有

6、一个非零元素，再按该行（列）展开，通过降低行列式的阶数求出行列式的值.（7）加边法：行列式每行（列）所有元素的和相等，将各行（列）元素加到第一列（行，）再提出公因 式，进而求出行列式的值.矩阵1. 常见矩阵1）对角矩阵：主对角线以外的元素全为0的方阵，称为对角矩阵记作八.2）单位矩阵：主对角线上的元素全为1的对角矩阵，称为单位矩阵记作E.3）上三角矩阵：对角线以下的元素全为0的方阵.如a11aa12 1naa22 2na丿nn4）下三角矩阵：对角线以上的元素全为0的方阵.如厂aiia21a22an1an2a丿nn5）对称矩阵：设A为门阶方阵，若At二A，即a = a，则称A为对称矩阵. ij

7、ji6）反对称矩阵：设A为门阶方阵，若At二-A，即a = -a，则称A为反对称矩阵.ij ji7）正交矩阵：设A为门阶方阵，如果AAt二E或AtA二E，则称A为正交矩阵.2. 矩阵的加法、数乘、乘法运算（1）矩阵的加法c八fj注：只有同型矩阵才能进行加减运算; 矩阵相加减就是对应元素相加减.（2）数乘矩阵厂 abc*def 丿=厂 ka kb kc* kd ke kf /注：数乘矩阵就是数乘矩阵中的每个元素.(3)矩阵的乘法：设A = (a ) ,B = (b )j mx sj sxn规定AB = C = (c )ij mxn其中 c = a b + a b + a b = a b （i =

8、 1,2 ,m, j = 1,2 ,n.）ij i1 1 j i2 2 jis sjik kjk=1注：左矩阵A的列数等于右矩阵B的行数； 左矩阵A的第i行与右矩阵B的第j列对应元素乘积的和是矩阵乘积C的元素c .ij 左矩阵A的行数为乘积C的行数，右矩阵B的列数为乘积C的列数. 如行矩阵乘列矩阵是一阶方阵（即一个数），即(aa11 12a )1sr b)11b21a b + a b +ii ii12 21ab1s s1I b1丿s1设 n 阶方阵 A、B，若 AB=E 或 BA=E，则A, B都可逆，且At = B,B t = A .1)二阶方阵求逆，设A=ra1，则 A-1 二A*Ard

9、ad - bc -c-b两调一除法).列矩阵乘行矩阵是s阶方阵，即厂a、ra baba b 1111 1111 1211 1sa(bbb )=a baba b2121 1121 1221 1s11 121s(Era -1(4、A -11sA2A -12A 丿 A -1丿一般矩阵求逆，初等行变换的方法：4)4. 方阵的行列式由门阶方阵A的元素所构成的行列式(各元素的位置不变)叫做方阵A的行列式记作|a|或det (A).5. 矩阵的初等变换 下面三种变换称为矩阵的初等行(列)变换：（1）互换两行（列）；（2）数乘某行（列）；（3）某行（列）的倍数加到另一行（列）.6. 初等矩阵 单位矩阵经过一次

10、初等变换得到的矩阵，称为初等矩阵.0 0厂1 0 0、1 0 0、如0 10,0 k 0,0 10都是初等矩阵.0 0 1 丿K 0 1丿7.矩阵的秩矩阵A的非零子式的最高阶数，称为矩阵A的秩记作R （A）或r （A）求矩阵的秩的方法：（1）定义法：找出A中最高阶的非零子式，它的阶数即为A的秩.（2）初等行变换法：A ERT行阶梯形矩阵，R （A）二R （行阶梯形矩阵）二非零行的行数.8. 重要公式及结论(1 )矩阵运算的公式及结论九(A + B) = XA + 九B九(AB)=(九 A)B = A(九B)A + B = B + A, (A + B ) + C = A + (B + C ),

11、(AB 丿C = A(BC), (A + B )C = AC + BC,Ek = E(AB )t = BtAtAk1 - Ak2 = Ak + k2 ,( Ak1 )k2 = A% ,(九 A )k =九 k Ak ,(AB)k = A(BAB, EA = AE = A,Ao = E(at ) = A,( A + B )t = At + Bt , (九A)t = XAt ,(A*)T = Cat ),(AB ) = B* A*,AA* = A* A = |A|EAt = |A|,XA| = Xn|A|,|AB = |A|B = |BA|,An = |A”,|A + B|h |A| + |B矩阵

12、乘法不满足交换律，即一般地AB壬AB;矩阵乘法不满足消去律，即一般地若AB=AC，无B=C；只有当A可逆时，有B=C. 一般地若AB=O，则无A=O或B=O.（A + B）l?A2 + 2AB + B2.(2)逆矩阵的公式及定理(A-i)-1 = A, (XA)- = A-i,(AB)- = B-1A-1, Cat )-1 = (A-i TXA- = |A |-,A* = |A|n-1,A-1 = A*,A* = |A| A-1CA* )_1 = CAT ) =A,A-k = Cat )lAlA可逆O |A|工0 O AE （即A与单位矩阵E等价）（3）矩阵秩的公式及结论R(O) = 0, R

13、(A ) minm,n ,R(At ) = R( A),R( kA) = R(A),k 丰0|A| 丰 0 O R(A) = n,R(A + B)n时，m个n维向量一定线性相关.定理仁向量组a1 , a2 ,% (mM2)线性相关的充分必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示.向量组线性无关的充分必要条件是向量组中任何一个向量都不能由其余向量线性表示定理2：如果向量组A： ai , a? ,ar线性无关，而向量组, a? ,ar, a线性相关,则a可由A线性表示，且表示式唯一.定理3：设向量组A：a ,a , ,a , B:a ,a , ,a ,a , ,a1 2r1 2r

14、 r +1m若A线性相关，则向量组B也线性相关；反之，若向量组B线性无关，则向量组A也线性无关. (即部分相关，则整体相关；整体无关，则部分无关).定理4：无关组的截短组无关，相关组的接长组相关.3. 极大无关组与向量组的秩定义 1 如果在向量组 T 中有 r 个向量 a1,a2 , ar ，满足条件： 向量组 a1,a2 , ar 线性无关， V応T , ai，a2，ar，a线性相关.那么称向量a1 , a2 ,ar是向量组T的一个极大无关组.定义 2 向量组的极大无关组中所含向量的个数，称为向量组的秩.定义 3 矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩；矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩。结论 1

15、线性无关的向量组的极大无关组就是它本身。结论2如果向量组的秩是r，那么该向量组的任意r个线性无关的向量都是它的一个极大无关组。定理1设向量组A:a1，a2, -: ar ;及向量组B：b1，b2，bs，如果组A能由组B线性表示，且组A 线性无关，则rWs.推论 1 等价的向量组有相同的秩.定理2矩阵的秩=矩阵列向量组的秩=矩阵行向量组的秩.4. 向量空间定义1设V为n维向量的集合，如果集合V非空，且集合V对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称 集合V为向量空间.5. 基与向量在基下的坐标定义 2 设 V 是向量空间，如果向量组 a1,a2 , ar ，满足条件：(1 )向量组 a1,a2 , a

16、r 线性无关；(2) Va e T，a ,a , ,a ,a 线性相关.1 2 r那么称向量组a1 , a2 ,ar是向量空间V的一个基，基中所含向量的个数称为向量空间V的维数，记作dimV，并称V为r维向量空间.定义3设向量组，a2 ,ar是向量空间V的一个基，则V中任一向量x可唯一地表示为基的一个线性组合，即x =九a +九a +九a ,1 1 2 2 r r称有序数组九，九，九为向量x在基a/,巧，,ar下的坐标.12 r12r线性方程组1. 线性方程组解的判定(1) 线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是它的系数矩阵A和增广矩阵(A,b)的秩相同，即 R(A)=R(A，b).当 R (

17、 A ) =R( A， b) =r 方程组AX=b有惟一解的充分必要条件是r=n; 方程组AX=b有无穷多解的充分必要条件是r n.(2) 方程组AX= b无解的充分必要条件是R(A) fR (A, b).2. 齐次线性方程组有非零解的判定(1) 齐次方程组AX=0有非零解的充分必要条件是系数矩阵A的秩R(A) 0 , r 是 f 的秩) r r i1y = z1 、込11y =rz p ：d p-z2，称为二次型f = xTAx的规范形. r/ ，得 f = z2 + z2 - z211pp+1y = zp+1Jd p+11y =T Zr昶rw r注：规范形是唯一的其中正平方项的个数p称为f = xTAx正惯性指数，负平方项的个数r-p称为 f二xtAx负惯性指数，它们的差p-(r-p)=2p-r称为f二xtAx符号差.3. 正定二次型二次型f二xtAx正定O矩阵A正定O A的特征值全为正O A的各阶顺序主子式都为正.二次型f二xtAx负定O矩阵A负定O A的奇数阶顺序主子式为负，偶数阶顺序主子式为正.