版人教A版高中数学必修五导练课件：3.3.2　第二课时　简单线性规划的应用

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1、第二课时简单线性规划的应用第二课时简单线性规划的应用 目标导航目标导航 课标要求课标要求1.1.会从实际情境中列举出一些简单的二元线性规划问题会从实际情境中列举出一些简单的二元线性规划问题,并并能加以解决能加以解决.2.2.了解简单的线性规划最优整数解的求解方法了解简单的线性规划最优整数解的求解方法.素养达成素养达成通过对简单线性规划应用的学习通过对简单线性规划应用的学习,培养学生数据处理能力及培养学生数据处理能力及数学建模能力数学建模能力.题型一求最大值的实际应用问题题型一求最大值的实际应用问题课堂探究课堂探究素养提升素养提升 例例11某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过某公司计划在甲

2、、乙两个电视台做总时间不超过300300分钟的广告分钟的广告,广告总费用不超过广告总费用不超过9 9万元万元,甲、乙电视台的广告收费标准分别为甲、乙电视台的广告收费标准分别为500500元元/分分钟和钟和200200元元/分钟分钟,假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能能给公司带来的收益分别为给公司带来的收益分别为0.30.3万元和万元和0.20.2万元万元.问该公司如何分配在甲、问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大才能使公司的收益最大,最大收益是多少万元最大收益是多少万元?规范解答规范解

3、答:设该公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为设该公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x x分钟和分钟和y y分钟分钟,总收益为总收益为z z元元,由题意得由题意得规律总结规律总结利用线性规划解决实际问题的步骤利用线性规划解决实际问题的步骤(1)(1)设出未知数设出未知数(当数据较多时当数据较多时,可以列表格来分析数据可以列表格来分析数据);(2);(2)列出约束条列出约束条件件,确立目标函数确立目标函数;(3);(3)作出可行域作出可行域;(4);(4)利用图解法求出最优解利用图解法求出最优解;(5);(5)得出得出结论结论.即时训练即时训练1 1-1:1:某企业生产甲、乙两种产品

4、某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用已知生产每吨甲产品要用A A原原料料3 3吨吨,B,B原料原料2 2吨吨;生产每吨乙产品要用生产每吨乙产品要用A A原料原料1 1吨吨,B,B原料原料3 3吨吨.销售每吨甲销售每吨甲产品可获得利润产品可获得利润5 5万元万元,每吨乙产品可获得利润每吨乙产品可获得利润3 3万元万元.该企业在一个生产该企业在一个生产周期内消耗周期内消耗A A原料不超过原料不超过1313吨吨,B,B原料不超过原料不超过1818吨吨,求该企业在一个生产周求该企业在一个生产周期内可获得的最大利润期内可获得的最大利润.解解:设生产甲产品设生产甲产品x x吨吨,生产乙产品生产

5、乙产品y y吨吨,则有关系则有关系A A原料原料B B原料原料甲产品甲产品x x吨吨3x3x2x2x乙产品乙产品y y吨吨y y3y3y 备用例备用例11(1)(1)某公司计划同时出售电子琴和洗衣机某公司计划同时出售电子琴和洗衣机,由于两种产品的市由于两种产品的市场需求量非常大场需求量非常大,有多少就能销售多少有多少就能销售多少,因此该公司要根据实际情况因此该公司要根据实际情况(如如资金、劳动力等资金、劳动力等)确定产品的月供应量确定产品的月供应量,以使得总利润达到最大以使得总利润达到最大,已知对已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力,通过调查通

6、过调查,得到关于两得到关于两种产品的有关数据如下表种产品的有关数据如下表:电子琴电子琴(架架)洗衣机洗衣机(台台)月供应量月供应量成本成本(百元百元)30302020300300劳动力劳动力5 51010110110单位利润单位利润(百元百元)6 68 8试问试问:怎样确定两种货的供应量怎样确定两种货的供应量,才能使总利润最大才能使总利润最大,最大利润是多少最大利润是多少?(2)(2)(2016(2016天津卷天津卷)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要需要A,B,CA,B,C三种主三种主要原料要原料.生产生产1 1车皮甲种肥料和生产车皮甲种肥料和生产1 1车皮乙

7、种肥料所需三种原料的吨数车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示如下表所示:原料原料肥料肥料A AB BC C甲甲4 48 83 3乙乙5 55 51010现有现有A A种原料种原料200200吨吨,B,B种原料种原料360360吨吨,C,C种原料种原料300300吨吨,在此基础上生产甲、在此基础上生产甲、乙两种肥料乙两种肥料.已知生产已知生产1 1车皮甲种肥料车皮甲种肥料,产生的利润为产生的利润为2 2万元万元;生产生产1 1车皮车皮乙种肥料乙种肥料,产生的利润为产生的利润为3 3万元万元.分别用分别用x,yx,y表示计划生产甲、乙两种肥表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数料的车皮数.用用x,

8、yx,y列出满足生产条件的数学关系式列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域并画出相应的平面区域;问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润能够产生最大的利润?并求并求出此最大利润出此最大利润.题型二求最小值的实际应用问题题型二求最小值的实际应用问题 例例22(2019(2019山东菏泽检测山东菏泽检测)某公司的仓库某公司的仓库A A存有货物存有货物12 t,12 t,仓库仓库B B存有货存有货物物8 t.8 t.现按现按7 t,8 t7 t,8 t和和5 t5 t把货物分别调运给甲、乙、丙三个商店把货物分别调运给甲、乙、丙三个商店,从仓

9、从仓库库A A运货物到商店甲、乙、丙运货物到商店甲、乙、丙,每吨货物的运费分别为每吨货物的运费分别为8 8元、元、6 6元、元、9 9元元;从仓库从仓库B B运货物到商店甲、乙、丙运货物到商店甲、乙、丙,每吨货物的运费分别为每吨货物的运费分别为3 3元、元、4 4元、元、5 5元元.应如何安排调运方案应如何安排调运方案,才能使得从两个仓库运货物到三个商店的总才能使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少运费最少?可行域如图所示可行域如图所示.作直线作直线l:x-2y=0,l:x-2y=0,把直线把直线l l平行移动平行移动,当直线当直线l l移至点移至点A(0,8)A(0,8)时时,z=x-,

10、z=x-2y+1262y+126取得最小值取得最小值,z,zminmin=0-2=0-28+126=110,8+126=110,即即x=0,y=8x=0,y=8时时,总运费最少总运费最少.即仓库即仓库A A运给甲、乙、丙商店的货物分别为运给甲、乙、丙商店的货物分别为0 t,8 t,4 t,0 t,8 t,4 t,仓库仓库B B运给甲、运给甲、乙、丙商店的货物分别为乙、丙商店的货物分别为7 t,0 t,1 t,7 t,0 t,1 t,此时可使得从两个仓库运货物此时可使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少到三个商店的总运费最少.方法技巧方法技巧解答线性规划应用题应注意以下几点解答线性规划应用题

11、应注意以下几点:(1)(1)在线性规划问题的应用中在线性规划问题的应用中,常常是题中的条件较多常常是题中的条件较多,因此认真审题因此认真审题非常重要非常重要;(2)(2)线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断;(3)(3)结合实际问题结合实际问题,分析未知数分析未知数x,yx,y等是否有限制等是否有限制,如如x,yx,y为正整数、非为正整数、非负数等负数等;(4)(4)分清线性约束条件和线性目标函数分清线性约束条件和线性目标函数,线性约束条件一般是不等式线性约束条件一般是不等式,而线性目标函数却是一个等式而线性目标函数却是一个等式.即时训练即时训练2-

12、1:2-1:某人承揽一项业务某人承揽一项业务,需做文字标牌需做文字标牌4 4个个,绘画标牌绘画标牌5 5个个,现有现有两种规格的原料两种规格的原料,甲种规格每张甲种规格每张3 m3 m2 2,可做文字标牌可做文字标牌1 1个个,绘画标牌绘画标牌2 2个个;乙乙种规格每张种规格每张2 m2 m2 2,可做文字标牌可做文字标牌2 2个个,绘画标牌绘画标牌1 1个个,求两种规格的原料各用求两种规格的原料各用多少张多少张,才能使得总用料面积最小才能使得总用料面积最小.所用原料的总面积为所用原料的总面积为z=3x+2y,z=3x+2y,作出可行域如图作出可行域如图.在一组平行直线在一组平行直线3x+2y

13、=z3x+2y=z中中,经过可行域内的点且到原点距离最近的直线经过可行域内的点且到原点距离最近的直线.此直线过直线此直线过直线2x+y=52x+y=5和直线和直线x+2y=4x+2y=4的交点的交点(2,1).(2,1).所以最优解为所以最优解为x=2,y=1,x=2,y=1,所以使用甲种规格原料所以使用甲种规格原料2 2张张,乙种规格原料乙种规格原料1 1张张,可使总的用料面积最小可使总的用料面积最小.题型三实际问题中的整数解问题题型三实际问题中的整数解问题 例例33(2019(2019河南郑州检测河南郑州检测)某人有一幢房子某人有一幢房子,室内面积共室内面积共180 m180 m2 2,拟

14、分隔拟分隔成两类房间作为游客住房成两类房间作为游客住房.大房间每间面积为大房间每间面积为18 m18 m2 2,可住游客可住游客5 5名名,每名游每名游客每天住宿费为客每天住宿费为 4040元元;小房间每间面积为小房间每间面积为15 m15 m2 2,可住游客可住游客3 3名名,每名游客每名游客每天住宿费为每天住宿费为5050元元;装修大房间每间需装修大房间每间需1 0001 000元元,装修小房间每间需装修小房间每间需600600元元.如果他只能筹款如果他只能筹款8 0008 000元用于装修元用于装修,且游客能住满客房且游客能住满客房,他应隔出大房间他应隔出大房间和小房间各多少间和小房间各

15、多少间,才能获得最大收益才能获得最大收益?方法技巧方法技巧对于线性规划中最优整数解的问题对于线性规划中最优整数解的问题,当解方程组得到的解不是整数解当解方程组得到的解不是整数解时时,可用下面的方法求解可用下面的方法求解:(1)(1)平移直线法平移直线法:先在可行域内打网格先在可行域内打网格,再描整点再描整点,平移直线平移直线l,l,最先经最先经过或最后经过的整点坐标是整点最优解过或最后经过的整点坐标是整点最优解.(2)(2)检验优值法检验优值法:当可行域内整点个数较少时当可行域内整点个数较少时,也可将整点坐标逐一代也可将整点坐标逐一代入目标函数求值入目标函数求值,经比较得出最优解经比较得出最优

16、解.(3)(3)调整优值法调整优值法:先求非整点最优解及最优值先求非整点最优解及最优值,再借助不定方程知识调再借助不定方程知识调整最优值整最优值,最后筛选出最优解最后筛选出最优解.即时训练即时训练3 3-1:1:某运输公司接受了向抗洪抢险地方每天至少运送某运输公司接受了向抗洪抢险地方每天至少运送180180吨支吨支援物资的任务援物资的任务,该公司有该公司有8 8辆载重为辆载重为6 6吨的吨的A A型卡车与型卡车与4 4辆载重为辆载重为1010吨的吨的B B型型卡车卡车,有有1010名驾驶员名驾驶员,每辆卡车每天往返的次数是每辆卡车每天往返的次数是A A型卡车为型卡车为4 4次次,B,B型卡车型

17、卡车为为3 3次次.每辆卡车每天往返的成本费为每辆卡车每天往返的成本费为A A型卡车为型卡车为320320元元,B,B型卡车为型卡车为504504元元,请你为该公司调配车辆请你为该公司调配车辆,使公司所花成本费最低使公司所花成本费最低.作直线作直线l:320 x+504y=0.l:320 x+504y=0.作一组与作一组与ll平行的直线平行的直线l:l:320 x+504y=t(t320 x+504y=t(tR R),),由题设由题设x,yx,y是可行域内的整点的横、纵坐标是可行域内的整点的横、纵坐标.在可行域内的整点中在可行域内的整点中,点点(8,0)(8,0)使使t t取最小值取最小值,即

18、当即当l l过点过点(8,0)(8,0)时时,t,t最小最小,即即z zminmin=8=8320=2 560.320=2 560.答答:每天从公司调每天从公司调A A型卡车型卡车8 8辆就能完成任务辆就能完成任务,且公司所花成本费最低且公司所花成本费最低.备用例备用例22(2019(2019山东烟台高二检测山东烟台高二检测)某营养师要为某个儿童预订午餐和某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐晚餐.已知一个单位的午餐含已知一个单位的午餐含1212个单位的碳水化合物个单位的碳水化合物,6,6个单位的蛋白质个单位的蛋白质和和6 6个单位的维生素个单位的维生素C;C;一个单位的晚餐含一个单位的晚餐含8

19、8个单位的碳水化合物个单位的碳水化合物,6,6个单位个单位的蛋白质和的蛋白质和1010个单位的维生素个单位的维生素C.C.另外另外,该儿童这两餐需要的营养中至少该儿童这两餐需要的营养中至少含含6464个单位的碳水化合物个单位的碳水化合物,42,42个单位的蛋白质和个单位的蛋白质和5454个单位的维生素个单位的维生素C.C.如如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.52.5元和元和4 4元元,那么要满足上述的那么要满足上述的营养要求营养要求,并且花费最少并且花费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐晚餐?则则z z

20、在可行域的四个顶点在可行域的四个顶点A(9,0),B(4,3),C(2,5),D(0,8)A(9,0),B(4,3),C(2,5),D(0,8)处的值分别是处的值分别是z zA A=2.5=2.59+49+40=22.5,0=22.5,z zB B=2.5=2.54+44+43=22,3=22,z zC C=2.5=2.52+42+45=25,5=25,z zD D=2.5=2.50+40+48=32.8=32.z zB B最小最小,因此因此,应当为该儿童预订应当为该儿童预订4 4个单位的午餐和个单位的午餐和3 3个单位的晚餐个单位的晚餐,就可满足就可满足要求要求.题型四易错辨析题型四易错辨析

21、寻找可行域内整点致误寻找可行域内整点致误纠错纠错:(1)(1)本题错误的原因是没能准确作出一组平行直线本题错误的原因是没能准确作出一组平行直线y=-x+z;y=-x+z;可行域内的整点寻找不准确可行域内的整点寻找不准确.(2)(2)准确作图准确作图,充分考虑实际问题的特殊性充分考虑实际问题的特殊性.当图上的整点不好分辨时当图上的整点不好分辨时,应将几个有可能符合题意的整点的坐标都求出来然后逐一检验应将几个有可能符合题意的整点的坐标都求出来然后逐一检验,而不而不能采取能采取“四舍五入四舍五入”的办法的办法.目标函数为目标函数为z=x+y,z=x+y,作一组平行直线作一组平行直线y=-x+z,y=

22、-x+z,经过可行域内的点且和原点距离最大的直线必为过点经过可行域内的点且和原点距离最大的直线必为过点B(8,0)B(8,0)的直线的直线,这时这时x+y=8.x+y=8.因为因为x,yx,y均为正整数均为正整数,所以所以(8,0)(8,0)不是最优解不是最优解.在可行域内找整点在可行域内找整点,使使x+y=7.x+y=7.经验证经验证,可知点可知点(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)均为最优解均为最优解.答答:每根钢管截每根钢管截500 mm500 mm的毛坯两根的毛坯两根,600 mm,600 mm的毛坏五根的

23、毛坏五根,或截或截500 mm500 mm的的毛坯三根毛坯三根,600 mm,600 mm的毛坯四根的毛坯四根,或截或截500 mm500 mm的毛坯四根的毛坯四根,600 mm,600 mm的毛坯的毛坯三根三根,或截或截500 mm500 mm的毛坯五根的毛坯五根,600 mm,600 mm的毛坯两根的毛坯两根,或截或截500 mm500 mm的毛坯的毛坯六根六根,600 mm,600 mm的毛坯一根最合理的毛坯一根最合理.学霸经验分享区学霸经验分享区(1)(1)利用线性规划求最大值、最小值问题利用线性规划求最大值、最小值问题,主要是利润最大、效率最主要是利润最大、效率最高、省工、省材料等问

24、题高、省工、省材料等问题,要将求最值的变量设为要将求最值的变量设为z,z,将将z z表示成其他表示成其他变量的函数变量的函数,求其最大值或最小值求其最大值或最小值.(2)(2)对于线性规划问题对于线性规划问题,由于题干太长由于题干太长,数据太多数据太多,为便于理清数据间为便于理清数据间的关系的关系,不妨用列表法不妨用列表法.(3)(3)在实际应用问题中在实际应用问题中,有些最优解往往需要整数解有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆比如人数、车辆数等数等)而直接根据约束条件得到的不一定是整数解而直接根据约束条件得到的不一定是整数解,可以运用枚举法可以运用枚举法验证求最优整数解验证求最优整数解,

25、或者运用平移直线求最优整数解或者运用平移直线求最优整数解.最优整数解有最优整数解有时并非只有一个时并非只有一个,应具体情况具体分析应具体情况具体分析.课堂达标课堂达标解析解析:由题意由题意,要运送最多的货物要运送最多的货物,先找到两类型汽车运送的总货物量先找到两类型汽车运送的总货物量,即即z=6x+4y.z=6x+4y.选选A.A.1.1.现有现有5 5辆载重辆载重6 6吨的汽车吨的汽车,4,4辆载重辆载重4 4吨的汽车吨的汽车,设需设需x x辆载重辆载重6 6吨汽车和吨汽车和y y辆载重辆载重4 4吨汽车吨汽车,要运送最多的货物要运送最多的货物,完成这项运输任务的线性目标函数完成这项运输任务

26、的线性目标函数为为()(A)z=6x+4y(A)z=6x+4y (B)z=5x+4y (B)z=5x+4y(C)z=x+y(C)z=x+y (D)z=4x+5y (D)z=4x+5yA A2.2.某服装制造商有某服装制造商有10 m10 m2 2的棉布料的棉布料,10 m,10 m2 2的羊毛料和的羊毛料和6 m6 m2 2的丝绸料的丝绸料,做一做一条裤子需要条裤子需要1 m1 m2 2的棉布料的棉布料,2 m,2 m2 2的羊毛料和的羊毛料和1 m1 m2 2的丝绸料的丝绸料,做一条裙子需做一条裙子需要要1 m1 m2 2的棉布料的棉布料,1 m,1 m2 2的羊毛料和的羊毛料和1 m1 m

27、2 2的丝绸料的丝绸料,做一条裤子的纯收益是做一条裤子的纯收益是 2020元元,一条裙子的纯收益是一条裙子的纯收益是4040元元,为了使收益达到最大为了使收益达到最大,若生产裤子若生产裤子x x条条,裙子裙子y y条条,利润为利润为z z元元,则生产这两种服装所满足的数学关系式与目标函数则生产这两种服装所满足的数学关系式与目标函数分别为分别为()A A解析解析:由题意可知由题意可知A A正确正确,选选A.A.3.3.(2019(2019天津高二检测天津高二检测)某企业生产甲、乙两种产品均需用某企业生产甲、乙两种产品均需用A,BA,B两种原料两种原料,已知生产已知生产1 1吨每种产品所需原料及每

28、天原料的可用限额如表所示吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生如果生产产1 1吨甲、乙产品可获利润分别为吨甲、乙产品可获利润分别为3 3万元、万元、4 4万元万元,则该企业每天可获得最则该企业每天可获得最大利润为大利润为()D D 甲甲乙乙原料限额原料限额A(A(吨吨)3 32 21212B(B(吨吨)1 12 28 8(A)12(A)12万元万元(B)16(B)16万元万元(C)17(C)17万元万元(D)18(D)18万元万元4.4.某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物,集装箱的体积、质量、可获利集装箱的体积、质量、可获利润和托运能力限制数据列在

29、下表中润和托运能力限制数据列在下表中,那么为了获得最大利润那么为了获得最大利润,甲、乙两种甲、乙两种货物应各托运的箱数为货物应各托运的箱数为()A A货物货物体积每体积每箱箱(m(m3 3)质量每箱质量每箱(50 kg)(50 kg)利润每箱利润每箱(百元百元)甲甲5 52 22020乙乙4 45 51010托运限制托运限制24241313(A)4,1(A)4,1(B)3,2(B)3,2(C)1,4(C)1,4(D)2,4(D)2,45.5.某公司租赁甲、乙两种设备生产某公司租赁甲、乙两种设备生产A,BA,B两类产品两类产品,甲种设备每天能生产甲种设备每天能生产A A类产品类产品5 5件和件和B B类产品类产品1010件件,乙种设备每天能生产乙种设备每天能生产A A类产品类产品6 6件和件和B B类产品类产品2020件件.已知设备甲每台的租赁费为已知设备甲每台的租赁费为200200元元,设备乙每台的租赁费为设备乙每台的租赁费为300300元元,现现该公司每天至少要生产该公司每天至少要生产A A类产品类产品5050件件,B,B类产品类产品140140件件,所需租赁费最少为所需租赁费最少为元元.答案答案:2 3002 300点击进入点击进入 课时作业课时作业